Límite de una función (2ºBach)

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{{Ejemplo|titulo=Límite de una función en un punto|enunciado=Demostrar que <math>\lim_{x\to 2}(3x-5)=1</math> usando la definición formal de límite. {{Ejemplo|titulo=Límite de una función en un punto|enunciado=Demostrar que <math>\lim_{x\to 2}(3x-5)=1</math> usando la definición formal de límite.
|sol= |sol=
-Utilicemos entonces la definición, debemos demostrar que para cualquier <math>\varepsilon</math> dado podemos hallar un <math>\delta</math> para el cual se cumple {{Ecuación|<math>0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(3x-5)-1|<\varepsilon</math>|*}}+Utilizando la definición, debemos demostrar que para cualquier <math>\varepsilon\;</math> dado podemos hallar un <math>\delta\;</math> para el cual se cumpla:
-Tomando <math>\textstyle\delta = \frac{1}{3}\varepsilon</math> es posible probar esto. Es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier <math>\varepsilon</math> dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.+<center><math>0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(3x-5)-1|<\varepsilon</math>{{b4}} [1]</center>
-Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis <math>\textstyle 0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon</math>. +Tomando <math>\delta = \frac{1}{3} \, \varepsilon</math> será posible probar esto. Esto es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier <math>\varepsilon</math> dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.
-Veamos que <math>|(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|</math>, luego por hipótesis <math>\textstyle 3|x-2|<3\frac{1}{3}\varepsilon=\varepsilon</math> y queda demostrado {{Eqnref|*}}.+Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis <math>0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon</math>.
-Nótese que bien podríamos haber elegido <math>\delta=\frac{1}{6}\varepsilon</math> o <math>\delta=\frac{1}{15}\varepsilon</math>, por ejemplo. En tanto <math>\delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon</math>, siempre podremos demostrar {{Eqnref|*}}.+Dado que
 + 
 +<center><math>|(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|\;</math></center>
 + 
 +y que , por hipótesis,
 + 
 +<center><math>\textstyle 3|x-2|<3 \, \cfrac{1}{3} \, \varepsilon=\varepsilon</math></center>
 + 
 +queda demostrado [1].
 + 
 +Nótese que bien podríamos haber elegido <math>\delta=\frac{1}{6}\varepsilon</math> o <math>\delta=\frac{1}{15}\varepsilon</math>, por ejemplo. En tanto <math>\delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon</math>, siempre podremos demostrar [1].
}} }}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

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Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

Definición informal de límite

De manera informal, diremos que una función f ~ tiene límite L~ en c~ , o que f ~ tiende a L ~ cuando x~ se acerca a c ~, si se puede hacer que f(x)~ esté tan cerca como queramos de L ~, haciendo que x~ esté suficientemente cerca de c~, pero sin llegar a c~.

Definición formal de límite

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x)\;, cuando x~ tiende a c~, es L ~, si y sólo si, para todo \varepsilon > 0 \;, existe un \delta > 0 \;, tal que para todo número real x~ del dominio de la función, si 0 < |x-c| < \delta \;, entonces |f(x)-L| < \varepsilon \;.

Esto, escrito en notación formal:

\lim_{x\to c}  \, \,f(x) = L\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
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Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.
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Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

ejercicio

Límite de una función en un punto


Demostrar que \lim_{x\to 2}(3x-5)=1 usando la definición formal de límite.

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