Límite de una función (2ºBach)

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}} }}
-===Videotutoriales=== 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=La vida en la recta real 
-|duracion=11'13" 
-|sinopsis=La clave para entender el Cálculo Diferencial de una variable y divertirse con él es aprender a "meterse en la piel" de un habitante genérico "x" de la recta real. 
-En este vídeo describimos la vida de "x" ("x" eres tú) en el alambre infinito donde vive: un universo de una única dimensión. 
-*Los puntos en la recta real. 
-*Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda. 
-*Aproximación a <math>+\infty</math> y <math>-\infty</math>. 
- 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/11-la-vida-en-la-recta-real-5 
-}} 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Recordando cosas importantes 
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-|sinopsis={{p}} 
-*Concepto de distancia entre dos puntos. 
-*Concepto de entorno de un punto. 
-*Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda. 
-*Aproximación a <math>+\infty</math> y <math>-\infty</math>. 
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-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=La Madre del Cordero del Cálculo 
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-|sinopsis=En este vídeo, el más importante de todos, hablamos del mágico instante en que tú, el número real "x", por amor, consagras gozosamente tu existencia a la observación y análisis de la Dulcinea "f(x)" que da sentido a tu vida y la llena de alegría y diversión. 
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-|titulo1=El límite de una función en un punto según Cauchy 
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-|sinopsis=Definición rigurosa de límite de una función en un punto. 
- 
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==Límites laterales== ==Límites laterales==

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Tabla de contenidos

Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

Definición informal de límite

De manera informal, diremos que una función f ~ tiene límite L~ en c~ , o que f ~ tiende a L ~ cuando x~ se acerca a c ~, si se puede hacer que f(x)~ esté tan cerca como queramos de L ~, haciendo que x~ esté suficientemente cerca de c~, pero sin llegar a c~.

Definición formal de límite

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x)\;, cuando x~ tiende a c~, es L ~, si y sólo si, para todo \varepsilon > 0 \;, existe un \delta > 0 \;, tal que para todo número real x~ del dominio de la función, si 0 < |x-c| < \delta \;, entonces |f(x)-L| < \varepsilon \;.

Esto, escrito en notación formal:

\lim_{x\to c}  \, \,f(x) = L\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
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Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.
Aumentar
Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

ejercicio

Límite de una función en un punto


Demostrar que \lim_{x\to 2}(3x-5)=1 usando la definición formal de límite.

Funciones sin límite en un punto

ejercicio

Función sin límite


La función de Dirichlet, D:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida como:

D(x) = \begin{cases} c & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{racional} \\ d & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{irracional} \\ \end{cases}

no tiene ningún número a\; en el dominio para el cual exista el \lim_{x \to a}f(x).


Límites laterales

Límites infinitos

Herramientas personales
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