Límite de una función (2ºBach)
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| Tomando <math>\delta = \frac{1}{3} \, \varepsilon</math> será posible probar esto. Esto es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier <math>\varepsilon</math> dado, que es precisamente lo que enuncia la definición. | Tomando <math>\delta = \frac{1}{3} \, \varepsilon</math> será posible probar esto. Esto es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier <math>\varepsilon</math> dado, que es precisamente lo que enuncia la definición. | ||
| - | Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis <math>0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon</math>. | + | Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis: |
| + | |||
| + | <center><math>0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon</math>{{b4}} [2]</center> | ||
| Dado que | Dado que | ||
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| <center><math>|(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|\;</math></center> | <center><math>|(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|\;</math></center> | ||
| - | y que , por hipótesis, | + | y que , por [2]: |
| <center><math>\textstyle 3|x-2|<3 \, \cfrac{1}{3} \, \varepsilon=\varepsilon</math></center> | <center><math>\textstyle 3|x-2|<3 \, \cfrac{1}{3} \, \varepsilon=\varepsilon</math></center> | ||
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Tabla de contenidos[esconder] |
Límite de de una función en un punto
El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.
y 
.
Definición informal de límite
De manera informal, diremos que una función 
tiene límite 
en 
, o que tiende a cuando 
se acerca a , si se puede hacer que 
esté tan cerca como queramos de , haciendo que esté suficientemente cerca de , pero sin llegar a .
Definición formal de límite
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función 
, cuando tiende a , es , si y sólo si, para todo 
, existe un 
, tal que para todo número real del dominio de la función, si 
, entonces 
.
Esto, escrito en notación formal:
Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.
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Límite de una función en un punto
Demostrar que 
usando la definición formal de límite.
dado podemos hallar un 
para el cual se cumpla:
[1]
será posible probar esto. Esto es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier 
dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.
[2]
o 
, por ejemplo. En tanto 
, siempre podremos demostrar [1].Funciones sin límite en un punto
Función sin límite
definida como:
en el dominio para el cual exista el 
