Límite de una función (2ºBach)
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| El límite de una función <math>f(x)\;</math>, cuando <math>x~</math> tiende a <math>c~</math>, es <math>L ~</math>, si y sólo si, para todo <math> \varepsilon > 0 \; </math>, existe un <math> \delta > 0 \; </math>, tal que para todo número real <math>x~</math> del dominio de la función, si <math>0 < |x-c| < \delta \;</math>, entonces <math> |f(x)-L| < \varepsilon \;</math>. | El límite de una función <math>f(x)\;</math>, cuando <math>x~</math> tiende a <math>c~</math>, es <math>L ~</math>, si y sólo si, para todo <math> \varepsilon > 0 \; </math>, existe un <math> \delta > 0 \; </math>, tal que para todo número real <math>x~</math> del dominio de la función, si <math>0 < |x-c| < \delta \;</math>, entonces <math> |f(x)-L| < \varepsilon \;</math>. | ||
| - | En notación formal: | + | Es decir, |
| <center><math>\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L</math><math>\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon | <center><math>\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L</math><math>\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon | ||
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Tabla de contenidos[esconder] |
Límite de de una función en un punto
El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.
y 
.
Definición informal de límite
De manera informal, diremos que una función 
tiene límite 
en 
, o que tiende a cuando 
se acerca a , si se puede hacer que 
esté tan cerca como queramos de , haciendo que esté suficientemente cerca de , pero sin llegar a .
Definición formal de límite
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función 
, cuando tiende a , es , si y sólo si, para todo 
, existe un 
, tal que para todo número real del dominio de la función, si 
, entonces 
.
Es decir,
Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.
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Límite de una función en un punto
Demostrar que 
usando la definición formal de límite.
dado podemos hallar un 
para el cual se cumpla:
[1]
será posible probar esto. Esto es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier 
dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.
[2]
o 
, por ejemplo. En tanto 
, siempre podremos demostrar [1].Funciones sin límite en un punto
Función sin límite
La función de Dirichlet, 
definida como:
tiene la peculiaridad de que, para cualquier valor 
de su dominio, el 
no existe.
