Límite de una función (2ºBach)
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| El límite de una función <math>f(x)\;</math>, cuando <math>x~</math> tiende a <math>c~</math>, es <math>L ~</math>, si y sólo si, para todo <math> \varepsilon > 0 \; </math>, existe un <math> \delta > 0 \; </math>, tal que para todo número real <math>x~</math> del dominio de la función, si <math>0 < |x-c| < \delta \;</math>, entonces <math> |f(x)-L| < \varepsilon \;</math>. | El límite de una función <math>f(x)\;</math>, cuando <math>x~</math> tiende a <math>c~</math>, es <math>L ~</math>, si y sólo si, para todo <math> \varepsilon > 0 \; </math>, existe un <math> \delta > 0 \; </math>, tal que para todo número real <math>x~</math> del dominio de la función, si <math>0 < |x-c| < \delta \;</math>, entonces <math> |f(x)-L| < \varepsilon \;</math>. | ||
| - | En notación formal: | + | Es decir, |
| <center><math>\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L</math><math>\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon | <center><math>\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L</math><math>\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon | ||
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Tabla de contenidos |
Límite de de una función en un punto
El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.
La vida en la recta real (11'13") Sinopsis: La clave para entender el Cálculo Diferencial de una variable y divertirse con él es aprender a "meterse en la piel" de un habitante genérico "x" de la recta real. En este vídeo describimos la vida de "x" ("x" eres tú) en el alambre infinito donde vive: un universo de una única dimensión.
- Los puntos en la recta real.
- Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
- Aproximación a
y 
.
Recordando cosas importantes (11'47") Sinopsis: - Concepto de distancia entre dos puntos.
- Concepto de entorno de un punto.
- Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
- Aproximación a y .
La Madre del Cordero del Cálculo (8'53") Sinopsis: En este vídeo, el más importante de todos, hablamos del mágico instante en que tú, el número real "x", por amor, consagras gozosamente tu existencia a la observación y análisis de la Dulcinea "f(x)" que da sentido a tu vida y la llena de alegría y diversión.
Definición informal de límite
De manera informal, diremos que una función 
tiene límite 
en 
, o que tiende a cuando 
se acerca a , si se puede hacer que 
esté tan cerca como queramos de , haciendo que esté suficientemente cerca de , pero sin llegar a .
Definición formal de límite
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función 
, cuando tiende a , es , si y sólo si, para todo 
, existe un 
, tal que para todo número real del dominio de la función, si 
, entonces 
.
Es decir,
Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.
El límite de una función en un punto según Cauchy (18'31") Sinopsis: Definición rigurosa de límite de una función en un punto.
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Límite de una función en un punto
Demostrar que 
usando la definición formal de límite.
Utilizando la definición, debemos demostrar que para cualquier 
dado podemos hallar un 
para el cual se cumpla:
[1]Tomando 
será posible probar esto. Esto es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier 
dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.
Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis:
[2]Dado que
y que , por [2]:
queda demostrado [1].
Nótese que bien podríamos haber elegido
o 
, por ejemplo. En tanto 
, siempre podremos demostrar [1].Funciones sin límite en un punto
Función sin límite
La función de Dirichlet, 
definida como:
tiene la peculiaridad de que, para cualquier valor 
de su dominio, el 
no existe.
Para demostrar la anterior afirmación, es necesario hacer uso del hecho de que cualquier intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.
Funciones sin límite en un punto (17'06") Sinopsis: Sólo tiene sentido calcular los límites laterales de una función en un punto cuando la función está definida en las "proximidades" del punto.
Límites laterales
Límite de una función en un punto. Límites laterales (28'30") Sinopsis: En este vídeo hablamos de los dos límites laterales de una función "f" en un punto "a" (límite de "f" en "a" por la izquierda y límite de "f" en "a" por la derecha), interpretándolos en términos geométricos. Si dichos dos límites laterales de "f" en "a" son iguales a "L", se dice que "L" es el límite de "f" en "a".
- Conceptos de límite de una función por la derecha y por la izquierda de un punto.
- Concepto de límite de una función en un punto.
- Se puede calcular el límite en un punto independientemente de que el punto pertenezca o no al dominio de la función. Ejemplos.
