Límite de una función (2ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Límite de de una función en un punto
2 Límites laterales
3 Límites infinitos

Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tenerlo bien claro.

La vida en la recta real (11'13") Sinopsis:

La clave para entender el Cálculo Diferencial de una variable y divertirse con él es aprender a "meterse en la piel" de un habitante genérico "x" de la recta real. En este vídeo describimos la vida de "x" ("x" eres tú) en el alambre infinito donde vive: un universo de una única dimensión.

Los puntos en la recta real.
Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
Aproximación a $+\infty$ y $-\infty$ .

Recordando cosas importantes (11'47") Sinopsis:

Concepto de distancia entre dos puntos.
Concepto de entorno de un punto.
Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
Aproximación a $+\infty$ y $-\infty$ .

La Madre del Cordero del Cálculo (8'53") Sinopsis:

En este vídeo, el más importante de todos, hablamos del mágico instante en que tú, el número real "x", por amor, consagras gozosamente tu existencia a la observación y análisis de la Dulcinea "f(x)" que da sentido a tu vida y la llena de alegría y diversión.

Definición informal de límite

De manera informal, diremos que una función $f ~$ tiene límite $L~$ en $c~$ , o que $f ~$ tiende a $L ~$ cuando $x~$ se acerca a $c ~$ , si se puede hacer que $f(x)~$ esté tan cerca como queramos de $L ~$ , haciendo que $x~$ esté suficientemente cerca de $c~$ , pero sin llegar a $c~$ .

Definición formal de límite

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función $f(x)\;$ , cuando $x~$ tiende a $c~$ , es $L ~$ , si y sólo si, para todo $\varepsilon > 0 \;$ , existe un $\delta > 0 \;$ , tal que para todo número real $x~$ del dominio de la función, si $0 < |x-c| < \delta \;$ , entonces $|f(x)-L| < \varepsilon \;$ .

Es decir,

$\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L$ $\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Nota: Para entender bien este concepto, recuérdese la definición de distancia entre dos puntos de la recta real, según la cual, $d(x,c)=|x-c| \;$ .

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy. Decir que $c~$ es un punto de acumulación del dominio de la función equivale a decir que cualquier intevalo abierto de centro $c~$ contiene a puntos del dominio de la función distintos de $c~$ , o dicho informalmente, que nos podemos acercar a $c~$ tanto como queramos mediante puntos del dominio distintos de $c~$ .

El límite de una función en un punto según Cauchy (18'31") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite de una función en un punto.

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Límite de una función en un punto

Demostrar que $\lim_{x\to 2}(3x-5)=1$ usando la definición formal de límite.

Solución:

Utilizando la definición, debemos demostrar que para cualquier $\varepsilon\;$ dado podemos hallar un $\delta\;$ para el cual se cumpla:

$0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(3x-5)-1|<\varepsilon$ [1]

Tomando $\delta = \frac{1}{3} \, \varepsilon$ será posible probar esto. Esto es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier $\varepsilon$ dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.

Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis:

$0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon$ [2]

Dado que

$|(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|\;$

y que , por [2]:

$\textstyle 3|x-2|<3 \, \cfrac{1}{3} \, \varepsilon=\varepsilon$

queda demostrado [1].

Nótese que bien podríamos haber elegido $\delta=\frac{1}{6}\varepsilon$ o $\delta=\frac{1}{15}\varepsilon$ , por ejemplo. En tanto $\delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon$ , siempre podremos demostrar [1].

Funciones sin límite en un punto

Función sin límite

La función de Dirichlet, $D:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida como:

$D(x) = \begin{cases} c & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{Q} \\ d & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{I} \\ \end{cases}$

tiene la peculiaridad de que, para cualquier valor $a\;$ de su dominio, el $\lim_{x \to a}f(x)$ no existe.

Solución:

Para demostrar la anterior afirmación, es necesario hacer uso del hecho de que cualquier intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Funciones sin límite en un punto (17'06") Sinopsis:

Sólo tiene sentido calcular los límites laterales de una función en un punto cuando la función está definida en las "proximidades" del punto.

Límites laterales

Límite de una función en un punto. Límites laterales (28'30") Sinopsis:

En este vídeo hablamos de los dos límites laterales de una función "f" en un punto "a" (límite de "f" en "a" por la izquierda y límite de "f" en "a" por la derecha), interpretándolos en términos geométricos. Si dichos dos límites laterales de "f" en "a" son iguales a "L", se dice que "L" es el límite de "f" en "a".

Conceptos de límite de una función por la derecha y por la izquierda de un punto.
Concepto de límite de una función en un punto.
Se puede calcular el límite en un punto independientemente de que el punto pertenezca o no al dominio de la función. Ejemplos.

Límites infinitos

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Categorías: Matemáticas | Funciones

 <center><math>\lim_{x\to c}  \, \,f(x) = L</math><math>\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
 </math></center>
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+{{p}}
-Para entender bien este concepto, recuérdese la definición de [[Números reales (1ºBach)#Distancia |distancia]] entre dos puntos de la recta real, según la cual, <math>d(x,c)=|x-c| \;</math>.
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+'''Nota:''' Para entender bien este concepto, recuérdese la definición de [[Números reales (1ºBach)#Distancia |distancia]] entre dos puntos de la recta real, según la cual, <math>d(x,c)=|x-c| \;</math>.
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 Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un [[punto de acumulación]] del dominio de la función y se debe al matemático francés [[Cauchy|Luis Cauchy]]. Decir que <math>c~</math> es un punto de acumulación del dominio de la función equivale a decir que cualquier intevalo abierto de centro <math>c~</math> contiene a puntos del dominio de la función distintos de <math>c~</math>, o dicho informalmente, que nos podemos acercar a <math>c~</math> tanto como queramos mediante puntos del dominio distintos de <math>c~</math>.

Límite de una función (2ºBach)

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Definición informal de límite

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