Números complejos: Operaciones (1ºBach)

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Revisión de 15:23 24 jun 2017

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Tabla de contenidos

1 Operaciones con números complejos en forma binómica
2 Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica
3 Propiedades de las operaciones con números complejos
4 Ejercicios
- 4.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 150)

Operaciones con números complejos en forma binómica

Suma: $\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

Resta: $\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

Multiplicación: $\,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$

División: $\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,$ , siempre que $c+di\,$ no sea nulo.

Operaciones con complejos en forma binómica

Suma de números complejos (8´53") Sinopsis:

Definición de suma de números complejos en forma binómica.
Representación gráfica.
Ejemplos.
Propiedades.

Producto de números complejos (11´26") Sinopsis:

Definición de producto de números complejos en forma binómica.
Ejemplos.
Propiedades.

Cociente de números complejos (7´45") Sinopsis:

Definición de cociente de números complejos en forma binómica.
Ejemplos.

Potenciación de números complejos expresados en forma binómica (3´50") Sinopsis:

Las potencias de números complejos hacen uso de la fórmula del binomio de Newton. No obstante, son mucho más fáciles si se realizan en forma polar como se verá en otro apartado de este tema.

Ejemplos: Operaciones con complejos en forma binómica

Efectúa las siguientes operaciones:

1. $\,(3 + 2i) + (5 + 6i)$

Solución:

Solución:

$\,(3 + 2i) + (5 + 6i)=3 + 5 + 2i + 6i=8 + 8i$

2. $\,(6 - 5i) - (4 - 7i)$

Solución:

Solución:

$\,(6 - 5i) - (4 - 7i)=6-4-5i+7i=2+2i$

3. $\,(3 + 4i) (2 - 5i)$

Solución:

Solución:

$\,(3 + 4i) (2 - 5i)=6-15i+8i-20i^2=6-7i+20=26-7i$

4. $\,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}$

Solución:

Solución:

$\,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}=\frac{(5 - 3i)(4-2i)}{(4 + 2i)(4-2i)}=\frac{(20-10i-12i+6i^2)}{(16-8i+8i-4i^2)}=$

$~~=\frac{(20-6-10i-12i)}{(16+4)}=\frac{14}{20}-\frac{22}{20}i$

Ejercicios: Operaciones con complejos en forma binómica

Ejercicio 1 (1´47") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=5-3i\;$ y $z_2=-4+2i\;$ , halla $z_1+ z_2\;$ y $z_1- z_2\;$ .

Ejercicio 2 (4´15") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=3+2i\;$ y $z_2=2-i\;$ , halla $z_1+ z_2\;$ y $z_1- z_2\;$ .

Ejercicio 3 (4´53") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=7-i\;$ y $z_2=3-5i\;$ , halla $z_1 \cdot z_2\;$ y $z_1 : z_2\;$ .

Ejercicio 4 (7´21") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=3+2i\;$ y $z_2=2-i\;$ , halla $z_1 \cdot z_2\;$ y $z_1 : z_2\;$ .

Ejercicio 5 (16´47") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=2+3i\;$ y $z_2=4-5i\;$ , halla:

a) $5z_1+ 7z_2\;$

b) $z_1- \overline{z_2}\;$

c) $z_1 \cdot z_2\;$

d) $\overline{z_1} :z_2\;$

e) $|\overline{z_1+z_2}|\;$

Ejercicio 6 (9´48") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=-3+4i\;$ y $z_2=5-2i\;$ , halla $(\overline{z_1})^2 - (z_2)^3\;$ y $z_1 : z_2\;$ .

2 ejercicios (Suma) (5´55") Sinopsis:

Videotutorial.

3 ejercicios (Ecuaciones con soluciones complejas) (9´24") Sinopsis:

Videotutorial.

3 ejercicios (Producto) (9´19") Sinopsis:

Videotutorial.

3 ejercicios (Producto) (7´05") Sinopsis:

Videotutorial.

2 ejercicios (Cociente) (6´46") Sinopsis:

Videotutorial.

3 ejercicios (Cociente) (8´11") Sinopsis:

Videotutorial.

3 ejercicios (Cociente) (7´19") Sinopsis:

Videotutorial.

2 ejercicios (Potencia) (6´49") Sinopsis:

Videotutorial.

Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica

Suma de números complejos en forma binómica Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la suma de números complejos en forma binómica.

Resta de números complejos en forma binómica Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la resta de números complejos en forma binómica.

Multiplicación de números complejos en forma binómica Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la multiplicación de números complejos en forma binómica.

División de números complejos en forma binómica Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la división de números complejos en forma binómica.

(Pág. 151)

Propiedades de las operaciones con números complejos

Propiedades

Propiedades de la suma:
- Asociativa: $z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_1\;$
- Conmutativa: $z_1+z_2=z_2+z_1\;$
- Existencia de elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma.
- Existencia de opuesto: Todo número complejo, $a+bi\,$ , tiene un opuesto, $-a-bi\,$

Propiedades del producto:
- Asociativa: $z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)=(z_1 \cdot z_2) \cdot z_1$
- Conmutativa: $z_1 \cdot z_2=z_2 \cdot z_1$
- Existencia de elemento neutro: El 1 es el elemento neutro del producto.
- Existencia de inverso: Todo número complejo, $a+bi\,$ , distinto de 0, tiene inverso, $\cfrac{1}{a+bi}$ :

$\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\cfrac{a-bi}{a^2+b^2}=\cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}i$

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: $z_1\cdot(z_2+z_3)=z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$

Ejercicios

Ejercicios resueltos

a) Obtener un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean $5-2i\;$ y $5+2i\;$ .

b) ¿Cuánto ha de valer x para que $(2x+i)^2\;$ sea imaginario puro?

Solución:

a) $P(x)= [x-(5-2i)][x-(5+2i)]= \cdots = x^2-10x+29\;$

b) Hay que desarrollar el cuadrado e igualar la parte real a cero.

Solución: $x=\pm 2$

Operaciones con complejos

Ejercicio 1 (17´15") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=3-2i\;$ , $z_2=1-4i\;$ , $z_3=1+i\;$ y $z_4=i\;$ , calcula:

a) $z_4+z_4^2+z_4^3+z_4^4\;$ .

b) $z_3^2\;$

c) $z_1 \cdot z_2\;$

d) $z_4^{130}\;$

e) $z_1 : z_2\;$

f) $|\overline{z_1}|\;$

Nota: El módulo de un número complejo $z=a+bi\;$ es igual a $|z|=\sqrt{a^2+b^2}\;$ . Esto se verá más adelante.

Ejercicio 2 (7´40") Sinopsis:

Dados los complejos $z_1=31-i\;$ y $z_2=3-i\;$ , halla el módulo de $\overline{\left( \cfrac{z_2}{z_1} \right)}\;$ .

Ejercicio 3 (8´46") Sinopsis:

Calcula: $\cfrac{i^{243}+i^{14}}{i^{221}+i^{200}}$ .

Ejercicio 4 (8´53") Sinopsis:

a) Halla el valor de "x" sabiendo que $5+xi=6-3i\;$ .

b) Sea $M=(3+2xi)^2\;$ .¿Qué valor debe tomar "x" para que M sea imaginario puro? ¿Y para que M sea un número real?

Operaciones con complejos

Actividad: Operaciones con complejos

a) Halla un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean $2+i\;$ y $2-i\;$ .

b) Halla x para que $(2+xi)^2\;$ sea imaginario puro.

c) Halla la parte imaginaria de $(1-i)^3\;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) expand [x-(2+i)][x-(2-i)]

b) solve Re[(2+x*i)^2]=0

c) Im[(1-i)^3]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Operaciones con números complejos

(Pág. 150-151)

2b,d,h,k; 3; 4

1; 2a,c,e,f,g,i,j; 5

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_complejos:_Operaciones_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría | Números

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Tabla de contenidos

Operaciones con números complejos en forma binómica

Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica

Propiedades de las operaciones con números complejos

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