Cálculo de primitivas de funciones tipo (2ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión actual

Menú:

Enlaces internos	Para repasar o ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Calculadora

Tabla de contenidos

1 Primitiva de un cociente de polinomios
2 Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos
3 Primitivas de algunas funciones irracionales

[editar]

Primitiva de un cociente de polinomios

Cálculo de la primitiva de un cociente de polinomios (10'58") Sinopsis:

El cálculo de la primitiva de un cociente de polinomios requiere su descomposición en fracciones simples.

Ejercicios resueltos: Cálculo de la primitiva de un cociente de polinomios

Ejercicio 1 (7'34") Sinopsis:

$\int \cfrac{7x-10}{x^2-3x+2} \cdot dx$

Ejercicio 2 (7'32") Sinopsis:

$\int \cfrac{x-8}{x^2-x-2} \cdot dx$
$\int \cfrac{3x^2-14x+14}{x^3-7x^2+14x-8} \cdot dx$

Ejercicio 3 (13'02") Sinopsis:

$\int \cfrac{3x+1}{x^2-2x+1} \cdot dx$
$\int \cfrac{3x^2+9x+4}{x^3-4x^2+4x} \cdot dx$
Determine f(x) sabiendo que $f'(x)=\cfrac{x^4-x^3-x-1}{x^3-x^2}$ y $f(2)=ln \, 4$

Ejercicio 4 (8'25") Sinopsis:

$\int \cfrac{3x-x^2}{x^3-3x^2+3x-1} \cdot dx$
$\int \cfrac{3x+4}{x^2-2x+5} \cdot dx$

Ejercicio 5 (11'21") Sinopsis:

$\int \cfrac{3x^2-3x-1}{x^3-4x^2+9x-10} \cdot dx$
$\int \cfrac{x-1}{x^3-x} \cdot dx$
$\int \cfrac{7x^2-8x+2}{3x^3-5x^2+2x} \cdot dx$
$\int \cfrac{2x^4-9x^2-x+10}{x^4-5x^2+4} \cdot dx$

[editar]

Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos (10'52") Sinopsis:

Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos.

Ejercicios resueltos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int R[sen(x); cos(x)] \cdot dx$

Ejercicio 1 (6'34") Sinopsis:

Estos casos se resuelven con el cambio $tg \, \cfrac{x}{2}=z$ :

$\int \cfrac{1}{1- sen \, x} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{3- cos \, x} \cdot dx$
$\int \cfrac{sen \, x}{1+ sen \, x + cos \, x} \cdot dx$

Ejemplos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int R[sen(x)] \cdot cos(x) \cdot dx$

Ejercicio 1 (3'49") Sinopsis:

Haremos el cambio $sen \, x = z$ :

$\int \cfrac{sen^2 \, x}{1+ sen^2 \, x} \cdot cos \, x \cdot dx$
$\int \cfrac{1-sen \, x}{sen \, x+ sen^2 \, x} \cdot cos \, x \cdot dx$
$\int \cfrac{cos^3 \, x}{2- sen \, x} \cdot cos \, x \cdot dx$

Ejemplos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int R[cos(x)] \cdot sen(x) \cdot dx$

Ejercicio 1 (3'21") Sinopsis:

Haremos el cambio $cos \, x = z$ :

$\int \cfrac{1-cos \, x}{cos \, x + cos^2 \, x} \cdot sen \, x \cdot dx$
$\int \cfrac{sen^3 \, x}{3 - cos \, x} \cdot dx$

Ejemplos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int R[tg(x)] \cdot dx$

Ejercicio 1 (2'53") Sinopsis:

Haremos el cambio $tg \, x = z$ :

$\int \cfrac{1}{1+tg \, x} \cdot dx$
$\int \cfrac{2 \, tg \, x}{1+tg \, x} \cdot dx$

Ejemplos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int R[sen^{2m}x;cos^{2n}x] \cdot dx \quad m,n \in \mathbb{Z}$

Ejercicio 1 (3'09") Sinopsis:

Haremos el cambio $tg \, x = z$ :

$\int \cfrac{1}{4 \, sen^2 \, x + 9 \, cos^2 \, x} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{1 + sen^2 \, x } \cdot dx$

Ejercicios resueltos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int R[sen^m x;cos^n x] \cdot dx \quad m,n \in \mathbb{Z}$

Ejercicio 1 (6'33") Sinopsis:

Caso "m" y "n" alguno impar:

$\int sen^5 \, x \cdot cos^2 \, x \cdot dx$
$\int sen^4 \, x \cdot cos^7 \, x \cdot dx$
$\int \cfrac{cos^4 \, x}{sen^3 \, x} \cdot dx$
$\int sec \, x \cdot dx$

Ejercicio 2 (2'56") Sinopsis:

Caso "m" y "n" pares alguno negativo:

$\int \cfrac{sen^2 \, x}{cos^2 \, x} \cdot dx$
$\int cosec^2 \, x \cdot dx$

Ejercicio 3 (10'15") Sinopsis:

Caso "m" y "n" pares no negativos:

$\int sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x \cdot dx$
$\int sen^6 \, x \cdot dx$

Ejemplos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int sen \, ax \cdot cos \, bx \cdot dx$ , $\int sen \, ax \cdot sen \, bx \cdot dx$ ó $\int cos \, ax \cdot cos \, bx \cdot dx$ con $\quad a \ne b$

Ejercicio 1 (5'55") Sinopsis:

$\int sen \, 2x \cdot cos \, 6x \cdot dx$
$\int sen \, 6x \cdot sen \, 2x \cdot dx$
$\int cos \, 4x \cdot cos \, 2x \cdot dx$

[editar]

Primitivas de algunas funciones irracionales

Ejercicios resueltos: Primitivas de algunas funciones irracionales

Ejercicio 1 (4'50") Sinopsis:

$\int \cfrac{x+ \sqrt[3]{x}}{1- \sqrt{x}} \cdot dx$
$\int \cfrac{x+ \sqrt[3]{2x-3}+ \sqrt[4]{2x-3}}{1- \sqrt[6]{2x-3}} \cdot dx$

Ejercicio 2 (8'54") Sinopsis:

En el caso de que tengan un factor del tipo $\sqrt{a^2-b^2x^2}$ , usaremos el cambio de variable $bx=a \cdot sen \, z$ :

$\int \cfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} \cdot dx$
$\int \sqrt{1-x^2} \cdot dx$
$\int \cfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \cdot dx$
$\int \sqrt{9-4x^2} \cdot dx$

Ejercicio 3 (4'00") Sinopsis:

En el caso de que tengan un factor del tipo $\sqrt{a^2+b^2x^2}$ , usaremos el cambio de variable $bx=a \cdot tg \, z$ :

$\int \cfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{x-\sqrt{1+x^2}} \cdot dx$

Ejercicio 4 (4'04") Sinopsis:

En el caso de que tengan un factor del tipo $\sqrt{b^2x^2-a^2}$ , usaremos el cambio de variable $bx=a \cdot sec \, z$ :

$\int \cfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^3} \cdot dx$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/C%C3%A1lculo_de_primitivas_de_funciones_tipo_%282%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

Cálculo de primitivas de funciones tipo (2ºBach)

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Primitiva de un cociente de polinomios

Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Primitivas de algunas funciones irracionales

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas

 }}
 {{p}}
-{{Video_enlace2
+__TOC__
-|titulo1=	Primitiva de un cociente de polinomios (Primer contacto)
-|duracion='"
+==Primitiva de un cociente de polinomios==
-|sinopsis=
+{{Video_enlace_fonemato
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_08.html
-}}
-{{Video_enlace2
 |titulo1=Cálculo de la primitiva de un cociente de polinomios
-|duracion='"
+|duracion=10'58"
-|sinopsis=
+|sinopsis=El cálculo de la primitiva de un cociente de polinomios requiere su descomposición en fracciones simples.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_09.html
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=aFuwlMJx0BY&list=PLECA0C7A8B59E5534&index=30
 }}
 {{p}}
 {{ejemplo2
-|titulo=Ejemplos: ''Cálculo de la primitiva de un cociente de polinomios''
+|titulo=Ejercicios resueltos: ''Cálculo de la primitiva de un cociente de polinomios''
 |enunciado=
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=1. Ejemplos
+|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion='"
+|duracion=7'34"
-|sinopsis=2 ejemplos
+|sinopsis=
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_09a.html
+#<math>\int  \cfrac{7x-10}{x^2-3x+2} \cdot dx</math>
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Um2B_ffpk9A&list=PLECA0C7A8B59E5534&index=31
 }}
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=2. Ejemplos
+|titulo1=Ejercicio 2
-|duracion='"
+|duracion=7'32"
-|sinopsis=2 ejemplos
+|sinopsis=
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_09b.html
+#<math>\int  \cfrac{x-8}{x^2-x-2} \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{3x^2-14x+14}{x^3-7x^2+14x-8} \cdot dx</math>
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=xJX8nGYmJdc&list=PLECA0C7A8B59E5534&index=32
 }}
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=3. Ejemplos
+|titulo1=Ejercicio 3
-|duracion='"
+|duracion=13'02"
-|sinopsis=2 ejemplos
+|sinopsis=
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_09c.html
+#<math>\int  \cfrac{3x+1}{x^2-2x+1} \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{3x^2+9x+4}{x^3-4x^2+4x} \cdot dx</math>
+#Determine f(x) sabiendo que <math>f'(x)=\cfrac{x^4-x^3-x-1}{x^3-x^2}</math> y <math>f(2)=ln \, 4</math>
+|url1=https://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-integral/01-calculo-de-primitivas-2/0803-tres-ejercicios-4
 }}
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=4. Ejemplos
+|titulo1=Ejercicio 4
-|duracion='"
+|duracion=8'25"
-|sinopsis=2 ejemplos
+|sinopsis=
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_09d.html
+#<math>\int  \cfrac{3x-x^2}{x^3-3x^2+3x-1} \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{3x+4}{x^2-2x+5} \cdot dx</math>
+|url1=https://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-integral/01-calculo-de-primitivas-2/0804-dos-ejercicios-2
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 5
+|duracion=11'21"
+|sinopsis=
+#<math>\int  \cfrac{3x^2-3x-1}{x^3-4x^2+9x-10} \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{x-1}{x^3-x} \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{7x^2-8x+2}{3x^3-5x^2+2x} \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{2x^4-9x^2-x+10}{x^4-5x^2+4} \cdot dx</math>
+|url1=https://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-integral/01-calculo-de-primitivas-2/0805-cuatro-ejercicios-3
 }}
 }}
 {{p}}
-{{Video_enlace2
+==Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos==
-|titulo1=Primitivas de funciones racionales de sen(x) y cos(x)
+{{Video_enlace_fonemato
-|duracion='"
+|titulo1=Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos
-|sinopsis=
+|duracion=10'52"
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_10.html
+|sinopsis=Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=MqQgYdrhcLY&index=34&list=PLECA0C7A8B59E5534
 }}
 {{p}}
 {{ejemplo2
-|titulo=Ejemplos: ''Primitivas de funciones racionales de sen(x) y cos(x)''
+|titulo=Ejercicios resueltos: ''Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos''
-|enunciado=:Ejemplos de casos generales
+|enunciado=Caso <math>\int R[sen(x); cos(x)] \cdot dx</math>
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=1. Ejemplos
+|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion='"
+|duracion=6'34"
-|sinopsis=2 ejemplos
+|sinopsis=Estos casos se resuelven con el cambio <math>tg \, \cfrac{x}{2}=z</math>:
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_10a.html
-}}
+#<math>\int  \cfrac{1}{1- sen \, x} \cdot dx</math>
-{{Video_enlace2
+#<math>\int  \cfrac{1}{3- cos \, x} \cdot dx</math>
-|titulo1=2. Ejemplos
+#<math>\int  \cfrac{sen \, x}{1+ sen \, x + cos \, x} \cdot dx</math>
-|duracion='"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=UG7aRH0ut18&list=PLECA0C7A8B59E5534&index=35
-|sinopsis=2 ejemplos
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_10b.html
 }}
 }}
 {{p}}
 {{ejemplo2
-|titulo=Ejemplos: ''Primitivas de funciones racionales de sen(x) y cos(x)''
+|titulo=Ejemplos: ''Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos''
 |enunciado=Caso <math>\int R[sen(x)] \cdot cos(x) \cdot dx</math>
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=1. Ejemplos
+|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion='"
+|duracion=3'49"
-|sinopsis=
+|sinopsis=Haremos el cambio <math>sen \, x = z</math>:
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_10c.html
+#<math>\int  \cfrac{sen^2 \, x}{1+ sen^2 \, x} \cdot cos \, x \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{1-sen \, x}{sen \, x+ sen^2 \, x} \cdot cos \, x \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{cos^3 \, x}{2- sen \, x} \cdot cos \, x \cdot dx</math>
+|url1=https://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-integral/01-calculo-de-primitivas/100201-el-caso
 }}
 }}
 {{p}}
 {{ejemplo2
-|titulo=Ejemplos: ''Primitivas de funciones racionales de sen(x) y cos(x)''
+|titulo=Ejemplos: ''Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos''
 |enunciado=Caso <math>\int R[cos(x)] \cdot sen(x) \cdot dx</math>
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=1. Ejemplo
+|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion='"
+|duracion=3'21"
-|sinopsis=
+|sinopsis=Haremos el cambio <math>cos \, x = z</math>:
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_10d.html
+#<math>\int  \cfrac{1-cos \, x}{cos \, x + cos^2 \, x} \cdot sen \, x \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{sen^3 \, x}{3 - cos \, x} \cdot dx</math>
+|url1=https://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-integral/01-calculo-de-primitivas/100202-el-caso
 }}
 }}
 {{p}}
 {{ejemplo2
-|titulo=Ejemplos: ''Primitivas de funciones racionales de sen(x) y cos(x)''
+|titulo=Ejemplos: ''Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos''
 |enunciado=Caso <math>\int R[tg(x)] \cdot dx</math>
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=1. Ejemplo
+|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion='"
+|duracion=2'53"
-|sinopsis=
+|sinopsis=Haremos el cambio <math>tg \, x = z</math>:
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_10e.html
+#<math>\int  \cfrac{1}{1+tg \, x} \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{2 \, tg \, x}{1+tg \, x} \cdot dx</math>
+|url1=https://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-integral/01-calculo-de-primitivas/100203-el-caso
 }}
 }}
 {{p}}
 {{ejemplo2
-|titulo=Ejemplos: ''Primitivas de funciones racionales de sen(x) y cos(x)''
+|titulo=Ejemplos: ''Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos''
 |enunciado=Caso <math>\int R[sen^{2m}x;cos^{2n}x] \cdot dx \quad m,n \in \mathbb{Z}</math>
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=1. Ejemplo
+|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion='"
+|duracion=3'09"
-|sinopsis=
+|sinopsis=Haremos el cambio <math>tg \, x = z</math>:
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_10f.html
+#<math>\int  \cfrac{1}{4 \, sen^2 \, x + 9 \, cos^2 \, x} \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{1}{1 + sen^2 \, x } \cdot dx</math>
+|url1=https://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-integral/01-calculo-de-primitivas/100204-el-caso
 }}
 }}
 {{p}}
 {{ejemplo2
-|titulo=Ejemplos: ''Primitivas de funciones racionales de sen(x) y cos(x)''
+|titulo=Ejercicios resueltos: ''Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos''
 |enunciado=Caso <math>\int R[sen^m x;cos^n x] \cdot dx \quad m,n \in \mathbb{Z}</math>
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=1. Ejemplo
+|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion='"
+|duracion=6'33"
-|sinopsis=
+|sinopsis=Caso "m" y "n" alguno impar:
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_10g.html
+#<math>\int  sen^5 \, x \cdot cos^2 \, x \cdot dx</math>
+#<math>\int  sen^4 \, x \cdot cos^7 \, x \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{cos^4 \, x}{sen^3 \, x} \cdot dx</math>
+#<math>\int  sec \, x \cdot dx</math>
+|url1=https://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-integral/01-calculo-de-primitivas/100205a-dos-ejemplos-del-caso-strongastrong
 }}
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=2. Ejemplo
+|titulo1=Ejercicio 2
-|duracion='"
+|duracion=2'56"
-|sinopsis=
+|sinopsis=Caso "m" y "n" pares  alguno negativo:
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_10g_b.html
+#<math>\int  \cfrac{sen^2 \, x}{cos^2 \, x} \cdot dx</math>
+#<math>\int  cosec^2 \, x \cdot dx</math>
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=eisxzQcUyyg&index=36&list=PLECA0C7A8B59E5534
 }}
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=3. Ejemplo
+|titulo1=Ejercicio 3
-|duracion='"
+|duracion=10'15"
+|sinopsis=Caso "m" y "n" pares no negativos:
+#<math>\int  sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x \cdot dx</math>
+#<math>\int  sen^6 \, x \cdot dx</math>
+|url1=https://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-integral/01-calculo-de-primitivas/100205c-dos-ejemplos-del-caso-strongcstrong
+}}
+}}
+{{p}}
+{{ejemplo2
+|titulo=Ejemplos: ''Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos''
+|enunciado=Caso <math>\int sen \, ax \cdot cos \, bx \cdot dx</math>{{b}},{{b4}}<math>\int sen \, ax \cdot sen \, bx \cdot dx</math>{{b4}}ó{{b4}}<math>\int cos \, ax \cdot cos \, bx \cdot dx</math> con <math>\quad a \ne b</math>
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 1
+|duracion=5'55"
 |sinopsis=
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_10g_c1.html
+#<math>\int  sen \, 2x \cdot cos \, 6x \cdot dx</math>
+#<math>\int  sen \, 6x \cdot sen \, 2x \cdot dx</math>
+#<math>\int  cos \, 4x \cdot cos \, 2x \cdot dx</math>
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=oXp7YFhvp9w&index=37&list=PLECA0C7A8B59E5534
 }}
-{{Video_enlace2
+}}
-|titulo1=4. Ejemplo
+{{p}}
-|duracion='"
+==Primitivas de algunas funciones irracionales==
+{{ejemplo2
+|titulo=Ejercicios resueltos: ''Primitivas de algunas funciones irracionales''
+|enunciado=
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 1
+|duracion=4'50"
 |sinopsis=
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/01/in01_10g_c2.html
+#<math>\int  \cfrac{x+ \sqrt[3]{x}}{1- \sqrt{x}} \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{x+ \sqrt[3]{2x-3}+ \sqrt[4]{2x-3}}{1- \sqrt[6]{2x-3}} \cdot dx</math>
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=H6rcO3Zz1MY&list=PLECA0C7A8B59E5534&index=39
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 2
+|duracion=8'54"
+|sinopsis=En el caso de que tengan un factor del tipo <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>, usaremos el cambio de variable <math>bx=a \cdot sen \, z</math>:
+#<math>\int  \cfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} \cdot dx</math>
+#<math>\int  \sqrt{1-x^2} \cdot dx</math>
+#<math>\int  \cfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \cdot dx</math>
+#<math>\int  \sqrt{9-4x^2} \cdot dx</math>
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=RUr3epLabP8&index=40&list=PLECA0C7A8B59E5534
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 3
+|duracion=4'00"
+|sinopsis=En el caso de que tengan un factor del tipo <math>\sqrt{a^2+b^2x^2}</math>, usaremos el cambio de variable <math>bx=a \cdot tg \, z</math>:
+#<math>\int  \cfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{x-\sqrt{1+x^2}} \cdot dx</math>
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=0Ay6TQ0aXZc&index=41&list=PLECA0C7A8B59E5534
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 4
+|duracion=4'04"
+|sinopsis=En el caso de que tengan un factor del tipo <math>\sqrt{b^2x^2-a^2}</math>, usaremos el cambio de variable <math>bx=a \cdot sec \, z</math>:
+#<math>\int  \cfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^3} \cdot dx</math>
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=cFtco7T-pOY&index=42&list=PLECA0C7A8B59E5534
 }}
 }}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]