Cálculo de primitivas de funciones tipo (2ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Primitiva de un cociente de polinomios
2 Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos
3 Primitivas de algunas funciones irracionales

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Primitiva de un cociente de polinomios

Cálculo de la primitiva de un cociente de polinomios (10'58") Sinopsis:

El cálculo de la primitiva de un cociente de polinomios requiere su descomposición en fracciones simples.

Ejercicios resueltos: Cálculo de la primitiva de un cociente de polinomios

Ejercicio 1 (7'34") Sinopsis:

$\int \cfrac{7x-10}{x^2-3x+2} \cdot dx$

Ejercicio 2 (7'32") Sinopsis:

$\int \cfrac{x-8}{x^2-x-2} \cdot dx$
$\int \cfrac{3x^2-14x+14}{x^3-7x^2+14x-8} \cdot dx$

Ejercicio 3 (13'02") Sinopsis:

$\int \cfrac{3x+1}{x^2-2x+1} \cdot dx$
$\int \cfrac{3x^2+9x+4}{x^3-4x^2+4x} \cdot dx$
Determine f(x) sabiendo que $f'(x)=\cfrac{x^4-x^3-x-1}{x^3-x^2}$ y $f(2)=ln \, 4$

Ejercicio 4 (8'25") Sinopsis:

$\int \cfrac{3x-x^2}{x^3-3x^2+3x-1} \cdot dx$
$\int \cfrac{3x+4}{x^2-2x+5} \cdot dx$

Ejercicio 5 (11'21") Sinopsis:

$\int \cfrac{3x^2-3x-1}{x^3-4x^2+9x-10} \cdot dx$
$\int \cfrac{x-1}{x^3-x} \cdot dx$
$\int \cfrac{7x^2-8x+2}{3x^3-5x^2+2x} \cdot dx$
$\int \cfrac{2x^4-9x^2-x+10}{x^4-5x^2+4} \cdot dx$

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Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos (10'52") Sinopsis:

Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos.

Ejercicios resueltos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int R[sen(x); cos(x)] \cdot dx$

Ejercicio 1 (6'34") Sinopsis:

Estos casos se resuelven con el cambio $tg \, \cfrac{x}{2}=z$ :

$\int \cfrac{1}{1- sen \, x} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{3- cos \, x} \cdot dx$
$\int \cfrac{sen \, x}{1+ sen \, x + cos \, x} \cdot dx$

Ejemplos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int R[sen(x)] \cdot cos(x) \cdot dx$

Ejercicio 1 (3'49") Sinopsis:

Haremos el cambio $sen \, x = z$ :

$\int \cfrac{sen^2 \, x}{1+ sen^2 \, x} \cdot cos \, x \cdot dx$
$\int \cfrac{1-sen \, x}{sen \, x+ sen^2 \, x} \cdot cos \, x \cdot dx$
$\int \cfrac{cos^3 \, x}{2- sen \, x} \cdot cos \, x \cdot dx$

Ejemplos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int R[cos(x)] \cdot sen(x) \cdot dx$

Ejercicio 1 (3'21") Sinopsis:

Haremos el cambio $cos \, x = z$ :

$\int \cfrac{1-cos \, x}{cos \, x + cos^2 \, x} \cdot sen \, x \cdot dx$
$\int \cfrac{sen^3 \, x}{3 - cos \, x} \cdot dx$

Ejemplos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int R[tg(x)] \cdot dx$

Ejercicio 1 (2'53") Sinopsis:

Haremos el cambio $tg \, x = z$ :

$\int \cfrac{1}{1+tg \, x} \cdot dx$
$\int \cfrac{2 \, tg \, x}{1+tg \, x} \cdot dx$

Ejemplos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int R[sen^{2m}x;cos^{2n}x] \cdot dx \quad m,n \in \mathbb{Z}$

Ejercicio 1 (3'09") Sinopsis:

Haremos el cambio $tg \, x = z$ :

$\int \cfrac{1}{4 \, sen^2 \, x + 9 \, cos^2 \, x} \cdot dx$
$\int \cfrac{1}{1 + sen^2 \, x } \cdot dx$

Ejercicios resueltos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int R[sen^m x;cos^n x] \cdot dx \quad m,n \in \mathbb{Z}$

Ejercicio 1 (6'33") Sinopsis:

Caso "m" y "n" alguno impar:

$\int sen^5 \, x \cdot cos^2 \, x \cdot dx$
$\int sen^4 \, x \cdot cos^7 \, x \cdot dx$
$\int \cfrac{cos^4 \, x}{sen^3 \, x} \cdot dx$
$\int sec \, x \cdot dx$

Ejercicio 2 (2'56") Sinopsis:

Caso "m" y "n" pares alguno negativo:

$\int \cfrac{sen^2 \, x}{cos^2 \, x} \cdot dx$
$\int cosec^2 \, x \cdot dx$

Ejercicio 3 (10'15") Sinopsis:

Caso "m" y "n" pares no negativos:

$\int sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x \cdot dx$
$\int sen^6 \, x \cdot dx$

Ejemplos: Primitivas de funciones racionales de senos y cosenos

Caso $\int sen \, ax \cdot cos \, bx \cdot dx$ , $\int sen \, ax \cdot sen \, bx \cdot dx$ ó $\int cos \, ax \cdot cos \, bx \cdot dx$ con $\quad a \ne b$

Ejercicio 1 (5'55") Sinopsis:

$\int sen \, 2x \cdot cos \, 6x \cdot dx$
$\int sen \, 6x \cdot sen \, 2x \cdot dx$
$\int cos \, 4x \cdot cos \, 2x \cdot dx$

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Primitivas de algunas funciones irracionales

Ejercicios resueltos: Primitivas de algunas funciones irracionales

Ejercicio 1 (4'50") Sinopsis:

$\int \cfrac{x+ \sqrt[3]{x}}{1- \sqrt{x}} \cdot dx$
$\int \cfrac{x+ \sqrt[3]{2x-3}+ \sqrt[4]{2x-3}}{1- \sqrt[6]{2x-3}} \cdot dx$

Ejercicio 2 (8'54") Sinopsis:

En el caso de que tengan un factor del tipo $\sqrt{a^2-b^2x^2}$ , usaremos el cambio de variable $bx=a \cdot sen \, z$ :

$\int \cfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} \cdot dx$
$\int \sqrt{1-x^2} \cdot dx$
$\int \cfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \cdot dx$
$\int \sqrt{9-4x^2} \cdot dx$

Ejercicio 3 (4'00") Sinopsis:

En el caso de que tengan un factor del tipo $\sqrt{a^2+b^2x^2}$ , usaremos el cambio de variable $bx=a \cdot tg \, z$ :

$\int \cfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{x-\sqrt{1+x^2}} \cdot dx$

Ejercicio 4 (4'04") Sinopsis:

En el caso de que tengan un factor del tipo $\sqrt{b^2x^2-a^2}$ , usaremos el cambio de variable $bx=a \cdot sec \, z$ :

$\int \cfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^3} \cdot dx$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/C%C3%A1lculo_de_primitivas_de_funciones_tipo_%282%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

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