Reglas de derivación (2ºBach)

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Hemos visto en el apartado anterior como se obtiene la función derivada de una función. Es un proceso largo y pesado. Existen una serie de reglas, demostradas por medio de ese procedimiento, que nos permitirán aliviar el trabajo del cálculo de la función derivada.

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Derivada de las funciones elementales

Reglas de derivación

Función constante:

$D(k)=0 \, , \ \forall k \in \mathbb{R}$

Función identidad:

$D(x)=1\;$

Función potencia:

$D(x^n)=n \, x^{n-1}\;$

Funciones trigonométricas directas:

$D(sen\,x)=cos \, x$

$D(cos\,x)=-sen \, x$

$D(tg\,x)=1+tg^2\,x=\cfrac{1}{cos^2 x}$

Funciones trigonométricas recíprocas:

$D(arc\,sen\,x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$D(arc\,cos\,x)=\cfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$D(arc\,tg\,x)=\cfrac{1}{1+x^2}$

Funciones exponenciales:

$D(e^x)=e^x\;$

$D(a^x)=a^x \cdot ln\,a$

Funciones logarítmicas:

$D(ln\,x)=\cfrac{1}{x}$

$D(log_a\,x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,a}$

Demostración:

Derivada de la función constante (4'14") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función constante $f(x)=c\,$

Derivada de la función potencia de exponente constante (11'03") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función potencia de exponente constante $f(x)=x^n\,$

Derivada de la función seno (5'21") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función seno $f(x)=sen \, x$

Derivada de la función coseno (4'42") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función coseno $f(x)=cos \, x$

Derivada de la función tangente (3'54") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función tangente $f(x)=tg \, x$

Derivada de la función exponencial de base e (6'38") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función exponencial de base e $f(x)=e^x \,$

Derivada de la función logaritmo neperiano (4'10") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función logaritmo neperiano $f(x)=ln \, x$

Derivada de la función exponencial de base a (4'37") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función exponencial de base a $f(x)=a^x \,$

Derivada de la función logaritmo de base a (5'47") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función logaritmo neperiano $f(x)=log_a \, x$

Derivada de la función potencia de exponente constante (otro método) (5'41") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función potencia de exponente constante usando logaritmos $f(x)=x^n\,$

Derivada de la función arco seno (3'56") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco seno $f(x)=arcsen \, x$

Derivada de la función arco coseno (4'32") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco coseno $f(x)=arccos \, x$

Derivada de la función arco tangente (4'10") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco tangente $f(x)=arctg \, x$

Otras reglas:

Derivada de la función cotangente (4'16") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función cotangente $f(x)=cotg \, x$

Derivada de la función secante (3'21") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función secante $f(x)=sec \, x$

Derivada de la función cosecante (3'47") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función cosecante $f(x)=cosec \, x$

Derivada de la función arco cotangente (3'59") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco cotangente $f(x)=arccotg \, x$

Derivada de la función arco secante (4'14") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco secante $f(x)=arcsec \, x$

Derivada de la función arco cosecante (4'35") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco cosecante $f(x)=arccosec \, x$

Derivada de una función elevada a otra función (9'25") Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función elevada a otra función $f(x)=f(x)^{g(x)} \,$

Ejemplos:

$f(x)=x^5 \ \rightarrow \ f'(x)=5x^4$
$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{2} \, x^{(\frac{1} {2}-1)}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x)=2^x \ \rightarrow \ f'(x)=2^x \cdot ln \, x$
$f(x)=log_2 \,x \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,2}$

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Derivada de operaciones con funciones

Reglas de derivación

Producto de una función por una constante:

$D[k\,f(x)]=k\,f'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=5x^3 \ \rightarrow \ f'(x)=5\,D(x^3)=5 \cdot 3x^2=15x^2$

Suma de funciones:

$D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=3x^4+3x^2-1 \ \rightarrow \ f'(x)=D(3x^4)+D(3x^2)+D(-1)=$

$=12x^3+6x +0=12x^3+6x\;$

Producto de funciones:

$D[f(x) \cdot g(x)]=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=x^3 \cdot cos\,x \ \rightarrow \ f'(x)=D(x^3) \cdot cos \, x +x^3 \cdot D(cos \, x)$

$=3x^2 \cdot cos \, x - x^3 \cdot sen \, x$

Cociente de funciones:

$D \left[ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right]=\cfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\;$

Ejemplo:

$f(x)=\cfrac{sen \, x}{cos \, x} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{D(sen \, x) \cdot cos \, x -sen \, x \cdot D(cos \, x)}{cos^2x}=$

$=\cfrac{cos^2 x +sen^2 x}{cos^2 x}=\cfrac{1}{cos^2 x}$

Composición de funciones (Regla de la cadena):

$D\{g[f(x)]\}=g'[f(x)] \cdot f'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=sen^2 x \ \rightarrow \ f'(x)=2 \, sen \, x \cdot D[sen \, x]=2 \, sen \, x \cdot cos \, x$

Demostración:

Derivada del producto de una función por una constante (8'37") Sinopsis:

Demostración de la regla de derivación de una función por una constante: $D[k\,f(x)]=k\,f'(x)\;$

Derivada de la suma de funciones (8'53") Sinopsis:

Demostración de la regla de derivación de la suma de funciones: $D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;$

Derivada del producto de funciones (8'01") Sinopsis:

Demostración de la regla de derivación del producto de funciones: $D[f(x) \cdot g(x)]=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\;$

Derivada del cociente de funciones (5'45") Sinopsis:

Demostración de la regla de derivación del cociente de funciones: $D \left[ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right]=\cfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\;$

Derivada de la composición de funciones (regla de la cadena) (15'30") Sinopsis:

Ejemplo de uso y demostración de la regla de derivación de la composición de funciones o regla de la cadena: $D\{g[f(x)]\}=g'[f(x)] \cdot f'(x)\;$ </math>

Reglas de derivación

Tutorial 1 (Lista de reproducción) Sinopsis:

Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas sin calcular límites.

Tutorial 2 (Lista de reproducción) Sinopsis:

Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas sin calcular límites.

Tutorial 3 (Lista de reproducción) Sinopsis:

Los 18 primeros vídeos de esta lista de reproducción repasan las reglas de derivación con ejemplos.

Tutorial 4 (56'32") Sinopsis:

Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas sin calcular límites.

Ejemplos 1 (15'36") Sinopsis:

22 ejemplos sencillos de aplicación de las reglas de derivación.

Ejemplos 2 (26'28") Sinopsis:

Ejemplos de cálculo de la derivada de una función usando las reglas de derivación.

Regla de la cadena

Ejercicio 1 (5'46") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=(5x-2x^4)^3\;$

Ejercicio 2 (14'44") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=\sqrt[5]{\cfrac{x^3-2}{x^3+2}}\;$

Ejercicio 3 (7'12") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=sen \, 2x \cdot ln \,x^2\;$

Ejercicio 4 (17'28") Sinopsis:

Halla la derivada de:

a) $f(x)=\left( \cfrac{3x^2+6x}{x^3-4} \right)^5\;$

b) $g(x)=\sqrt{sen^{-1}(3x)}\;$

c) $h(x)=e^{x \, ln \, x} \cdot 2^{-x}\;$

d) $i(x)=log_2 \, \sqrt[3]{\cfrac{3-x}{x+3}}\;$

Ejercicio 5 (11'14") Sinopsis:

Halla la derivada de:

a) $f(x)=sen^3 ( ln \, x)\;$

b) $g(x)=sen (ln^3 x)\;$

Ejercicio 6 (8'43") Sinopsis:

Halla la derivada de:

a) $f(x)=sen ( ln \, x^3)\;$

b) $g(x)=ln^3 (sen \, x)\;$

Derivadas de familias de funciones

Derivada de las funciones trigonométricas (17'47") Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones trigonométricas para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Derivada de las funciones exponenciales (9'04") Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones exponenciales para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Derivada de las funciones logarítmicas (12'24") Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones logarítmicas para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Derivada de las funciones trigonométricas inversas (22'04") Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones trigonométricas inversas para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Estrategias para aplicar las reglas de las derivadas (15'26") Sinopsis:

Videotutorial

Tabla de derivadas

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Ejercicios

Ejercicios resueltos: Reglas de derivación

Halla la derivada de las siguientes funciones:

$f(x)=2x^3-5x^2+3x-2\;$
$g(x)=\sqrt{2x} + \sqrt[3]{5x^2}$
$h(x)=\cfrac{1}{x \sqrt{x}}$
$i(x)=2^{3x}\;$
$j(x)=\cfrac{x^3}{x^2+1}$
$k(x)=arc \, tg \sqrt{x^2+1}$

Solución:

$f'(x)=6x^2-10x+3\;$
$g'(x)=\cfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}+\cfrac{2\sqrt[3]{5}}{3\sqrt[3]{x}}$
$h'(x)=-\cfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$
$i'(x)=8^x \cdot ln \, 8$
$j'(x)=\cfrac{x^4+3x^2}{x^4+2x^2+1}$
$i'(x)=\cfrac{1}{x^2+2} \cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x$

Ejercicios: Reglas de derivación

Ejercicios 1 y 2 (3'49") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

1. $f(x)=7x^6-5x^8+9x^3+14x-2\;$

2. $h(x)=x^6-\cfrac{1}{x^6}-e^6+ln\,6-\cfrac{6}{x}\;$

Ejercicios 3, 4 y 5 (6'19") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

3. $y=\cfrac{x^2}{2}-\cfrac{x^7}{7}\;$

4. $y=2x^\frac{3}{4}+4x^{-\frac{1}{4}}\;$

5. $y=\cfrac{a+bx+cx^2}{x}\;$

Ejercicio 6 (4'01") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

6. $m(x)=e^{5x} \ ln\,(2x-9)\;$

Ejercicio 7 (5'20") Sinopsis:

Calcula la derivada de y respecto de la variable t:

7. $y=t\,\sqrt{a^2+t^2}\;$

Ejercicio 8 (3'45") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

8. $P(x)=\cfrac{x^2+x^3}{x^4-7}\;$

Ejercicio 9 (6'18") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

9. $f(x)=\cfrac{3x-5}{(x^2+1)^2}\;$

Ejercicio 10 (1'54") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

10. $R(x)=(5x^6-7)^8\;$

Ejercicio 11 (6'57") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

11. $f(x)=\sqrt{\cfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}}\;$

Ejercicio 12 (2'30") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

12. $y=cos^2x+cos(x^2)\;$

Ejercicio 13 (2'19") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

13. $y=\cfrac{3^{x^2}}{3^x}\;$

Ejercicio 14 (2'21") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

14. $y(t)=\cfrac{ln\,t^8}{ln\,t^{11}}\;$

Ejercicio 15 (9'14") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

15. $y=\cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\;$

Ejercicio 16 (3'48") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

16. $y=ln\,(sen\,x \cdot cos\,x)\;$

Ejercicio 17 (8'01") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

17. $f(x)=tan^3(2^{5x^4})\;$

Ejercicio 18 (9'26") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

18. $f(x)=e^{x^2\,\sqrt{3x-1}}\;$

Ejercicio 19 (10'21") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

19. $f(x)=-\cfrac{1}{8} \ arc\,sen \left( \cfrac{4}{x^2}\right)\;$

Ejercicio 20 (6'06") Sinopsis:

Calcula la derivada de:

20. $f(x)=ln \left[\cfrac{(x+4)^2 (x-1)^3}{(x-7)^5}\right]$

Ejercicio 21 (5'11") Sinopsis:

21. Sabiendo que f(2)=4, f'(4)=6 y f'(2)=-2, calcula:

a) $(fof)'(2)\,$

b) La derivada de $\left[ f(x) \right]^3$ cuando x=2.

Ejercicio 22 (5'53") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=e^{cos \, x} \cdot cos\, (e^x)\;$

Ejercicio 23 (4'53") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=sen \, (ln \, (x^2))\;$

Ejercicios: Derivadas de funciones algebraicas

Ejercicio 1 (1'24") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=x^6\;$

Ejercicio 2 (1'39") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=3x^4\;$

Ejercicio 3 (2'16") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{x^{10}}{5}\;$

Ejercicio 4 (2'58") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{6}{x^3}\;$

Ejercicio 5 (3'17") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=-\cfrac{3}{x^6}\;$

Ejercicio 6 (1'57") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=5x+4\;$

Ejercicio 7 (3'14") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=7x^2+3x-2\;$

Ejercicio 8 (3'50") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\sqrt{x}\;$

Ejercicio 9 (3'33") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=x^4-2x^3+8x^2-x-10\;$

Ejercicio 10 (3'43") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{\sqrt[3]{x}}{2}\;$

Ejercicio 11 (4'37") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{6}{\sqrt{x}}\;$

Ejercicio 12 (4'26") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{5}{\sqrt[4]{x}}\;$

Ejercicio 13 (4'36") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{x^3}{6}-\cfrac{2x^2}{5}-\cfrac{7x}{9}-\cfrac{3}{5}\;$

Ejercicio 14 (3'51") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{x^2}{\sqrt{5}}-\cfrac{x}{3}+\sqrt{10}\;$

Ejercicio 15 (5'07") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{4}{x^2}-\cfrac{3}{x}+\cfrac{9}{2}\;$

Ejercicio 16 (5'47") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{x^3}{4}-\cfrac{3}{x^2}+\cfrac{4}{x}-9\;$

Ejercicio 17 (7'19") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{\sqrt[3]{x}}{5}-\cfrac{2}{\sqrt[3]{x}}\;$

Ejercicio 18 (6'28") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{x^4-9x^3-3x^2-x+4}{x}\;$

Ejercicio 19 (6'58") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=2x^{\frac{3}{2}}+\cfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\cfrac{4}{3}x^{\frac{2}{3}}\;$

Ejercicio 20 (9'32") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=4\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x^2}+4\sqrt{x^3}\;$

Ejercicio 21 (8'56") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{2}{\sqrt[4]{x^3}}+\cfrac{1}{\sqrt[3]{x}}-\cfrac{3}{x^{-2}}\;$

Ejercicio 22 (4'54") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{5}{x^{-3}}+\cfrac{2}{x^4}\;$

Ejercicio 23 (11'51") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{3x^2+5x+8}{\sqrt[4]{x}}\;$

Ejercicio 24 (5'58") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\left[(2x^4)^3 \right]^2+10x^3\;$

Ejercicios: Regla de la cadena

Ejercicio 1 (4'18") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=(x+3)^5\;$

Ejercicio 2 (3'37") Sinopsis:

Halla la derivada de: $y=(3x^2+4)^5\;$

Ejercicios: Derivada del producto de funciones

Ejercicio 1 (4'54") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=x^3(3x+1)\;$

Ejercicio 2 (7'45") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=(4x^2-\cfrac{1}{2}x)(9x+8)\;$

Ejercicio 3 (8'50") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{x}{3} \, (2x+1)^3\;$

Ejercicio 4 (11'53") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=(2x+3)\sqrt{x^2+3x}\;$

Ejercicio 5 (10'26") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=(3x^2-5)^4(2x^2+1)^3\;$

Ejercicio 6 (10'45") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=(6x+3)\sqrt{3x+2}\;$

Ejercicios: Derivada del cociente de funciones

Ejercicio 1 (6'41") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{2-x}{1+3x^2}\;$

Ejercicio 2 (12'02") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{\sqrt{4-3x}}{x^2}\;$

Ejercicio 3 (12'08") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{(9x-6)^3}{(27-3x)^2}\;$

Ejercicio 4 (15'21") Sinopsis:

Calcula la derivada de: No se pudo entender (función desconocida\sqrtt): y=\cfrac{x\sqrtt{x+1}}{x+1}\;

Ejercicios: Derivadas de funciones trigonométricas

Ejercicio 1 (3'04") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=-10x+3\,cos \, x\;$

Ejercicio 2 (3'59") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{3}{x}+ 5\,sen\,x\;$

Ejercicio 3 (3'21") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=x^2\,cos \, x\;$

Ejercicio 4 (3'57") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=2x\,sec \, x + 3\;$

Ejercicio 5 (4'46") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=tg \, x;$

Ejercicio 6 (5'41") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=cotg \, x;$

Ejercicio 7 (4'30") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=sec \, x;$

Ejercicio 8 (4'40") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=cosec \, x;$

Ejercicio 9 (4'10") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=2\,sen\,x \, cos\,x;$

Ejercicio 10 (4'14") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=2x\,cos\,x -2\,sen\,x;$

Ejercicio 11 (7'30") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=\cfrac{(x-1)^2}{x\,sen\,x};$

Ejercicios: Derivadas de funciones logarítmicas

Ejercicio 1 (2'44") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=log \, 3x\;$

Ejercicio 2 (1'36") Sinopsis:

Calcula la derivada de: $y=ln\,3x;$

Continuidad y derivabilidad (5'45") Sinopsis:

Estudio de la continuidad y de la derivabilidad de una función.

100 videos de derivadas Descripción:

Videotutoriales para aprender a derivar.

Derivadas

Actividad: Derivadas

Calcula la derivada de:

$a)\; arcsen x^2\;$

$b)\; tg^2 \cfrac{1}{x}\;$

$c)\; ln \, \cfrac{1}{x^2}\;$

$d)\; log_2 (sen \, x)\;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Derivate arcsin(x^2)

b) Derivate tan^2(1/x)

c) Derivate log(1/x^2)

d) Derivate log_2(sin x)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Reglas_de_derivaci%C3%B3n_%282%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

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 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

Reglas de derivación (2ºBach)

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