Límite de una función (2ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Límite de de una función en un punto
- 2.1 Definición informal de límite
- 2.2 Definición formal de límite
3 Límites laterales
4 Límites infinitos

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Introducción

Recordemos algunos conceptos:

Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ por la izquierda" ( $x \rightarrow a^-$ ) cuando $x\;$ toma valores menores que $a\;$ , cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera.
Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ por la derecha" ( $x \rightarrow a^+$ ) cuando $x\;$ toma valores mayores que $a\;$ , cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera.
Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ " ( $x \rightarrow a$ ) cuando $x\;$ toma valores cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera, tanto a su izquierda como a su derecha.

Decimos que " $x\;$ tiende a + infinito" ( $x \rightarrow + \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores positivos tan grandes como queramos.

Decimos que " $x\;$ tiende a - infinito" ( $x \rightarrow - \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores negativos tan pequeños como queramos.

A veces te podrás encontrar también la expresión " $x\;$ tiende a infinito" ( $x \rightarrow \infty$ ) cuando $x\;$ tiende, indistintamente, a $+ \infty$ o a $- \infty$ , aunque también hay quien la usa en lugar de $x \rightarrow + \infty$ .

Recordando cosas importantes (11'47") Sinopsis:

Concepto de distancia entre dos puntos.
Concepto de entorno de un punto.
Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
Aproximación a $+\infty$ y $-\infty$ .

La Madre del Cordero del Cálculo (8'53") Sinopsis:

En este vídeo, el más importante de todos, hablamos del mágico instante en que tú, el número real "x", por amor, consagras gozosamente tu existencia a la observación y análisis de la Dulcinea "f(x)" que da sentido a tu vida y la llena de alegría y diversión.

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Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tenerlo bien claro.

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Definición informal de límite

De manera informal, diremos que una función $f ~$ "tiene límite" $L~$ en $c~$ , o que $f ~$ "tiende a" $L ~$ cuando $x~$ se acerca a $c ~$ , si se puede hacer que $f(x)~$ esté tan cerca como queramos de $L ~$ , haciendo que $x~$ esté suficientemente cerca de $c~$ , pero sin llegar a $c~$ .

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Definición formal de límite

Los conceptos "cerca" y "suficientemente cerca" son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos.

Sea $f\;$ una función con dominio $Dom_f\;$ y sea $c \;$ un punto de acumulación de $Dom_f\;$ . Diremos que el límite de una función $f(x)\;$ , cuando $x~$ tiende a $c~$ , es $L ~$ , si y sólo si, para todo $\varepsilon > 0 \;$ , existe un $\delta > 0 \;$ , tal que para todo número real $x~$ del dominio de la función, si $0 < |x-c| < \delta \;$ , entonces $|f(x)-L| < \varepsilon \;$ .

Es decir,

$\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L$ $\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}_f, \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

El límite de una función en un punto según Cauchy (18'31") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite de una función en un punto.

Observaciones:

Para entender bien el concepto de límite, recuérdese la definición de distancia entre dos puntos de la recta real, según la cual, $d(x,c)=|x-c| \;$ .

Decir que $c~$ es un punto de acumulación del dominio de la función equivale a decir que cualquier intevalo abierto de centro $c~$ contiene a puntos del dominio de la función distintos de $c~$ , o dicho informalmente, que nos podemos acercar a $c~$ tanto como queramos mediante puntos del dominio distintos de $c~$ .

Exigir que $c~$ sea punto de acumulación del dominio es necesario para que la definición tenga sentido. En caso contrario, no podríamos hablar de valores de $x~$ "suficientemente cerca" de $c~$ cuyas imágenes están tan "cerca" de $L~$ como se desee.

Es muy importante observar que $c~$ no tiene por qué pertenecer al dominio de la función para poder hablar de límite cuando x tiende a $c~$ . Es decir, podemos calcular el límite en un punto en el que la función no esté definida.

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Límite de una función en un punto

Demostrar que $\lim_{x\to 2}(3x-5)=1$ usando la definición formal de límite.

Solución:

Utilizando la definición, debemos demostrar que para cualquier $\varepsilon\;$ dado podemos hallar un $\delta\;$ para el cual se cumpla:

$0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(3x-5)-1|<\varepsilon$ [1]

Tomando $\delta = \frac{1}{3} \, \varepsilon$ será posible probar esto. Esto es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier $\varepsilon$ dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.

Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis:

$0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon$ [2]

Dado que

$|(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|\;$

y que , por [2]:

$\textstyle 3|x-2|<3 \, \cfrac{1}{3} \, \varepsilon=\varepsilon$

queda demostrado [1].

Nótese que bien podríamos haber elegido $\delta=\frac{1}{6}\varepsilon$ o $\delta=\frac{1}{15}\varepsilon$ , por ejemplo. En tanto $\delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon$ , siempre podremos demostrar [1].

Función sin límite

La función de Dirichlet, $D:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida como:

$D(x) = \begin{cases} c & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{Q} \\ d & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{I} \\ \end{cases}$

tiene la peculiaridad de que, para cualquier valor $a\;$ de su dominio, el $\lim_{x \to a}f(x)$ no existe.

Solución:

Para demostrar la anterior afirmación, es necesario hacer uso del hecho de que cualquier intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Teorema

Si el límite de una función existe, entonces es único.

Demostración:

Supóngamos que $\lim_{x \to c} f(x)=L$ y también que $\lim_{x \to c} f(x)=L'$ siendo $L \ne L'\;$ .

Tomemos un entorno $E\;$ de centro $L\;$ y otro $E'\;$ de centro $L'\;$ que no se intersequen. Por definición de límite, $f(x)\in E$ para todo $x\;$ en algún entorno reducido de $c\;$ , por lo que no puede estar en $E'\;$ , lo que impide que el límite sea $L'\;$ .

El teorema de unicidad provee de una valiosa herramienta para refutar la existencia de límites.

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Límites laterales

Sea $f\;$ una función real de variable real y consideremos $x\;$ un punto del dominio de esta función, aproximándose a $c\;$ , pero tomando sólo valores más grandes que él. Formalmente, estaríamos tomando los $x\;$ que verifican $0<x-c<\delta\;$ , para ciertos $\delta\;$ . Si la función tiende a un valor $L^+\;$ , se dice que existe el límite por derecha y se denota así:

$\lim_{x \to c^+}f(x) = L^+$

Sea ahora $x\;$ un punto del dominio de esta función, aproximándose a $c\;$ , pero tomando sólo valores más pequeños que él, es decir, tales que $0<-(x-c)<\delta\;$ , para ciertos $\delta\;$ . Si la función tiende a un valor $L^-\;$ , se dice que existe el límite por izquierda y se denota así:

$\lim_{x \to c^-}f(x) = L^-$

Si los dos límites anteriores son iguales, entonces $L=L^+=L^-\;$ se pueden referir como el límite de $f(x)\;$ en $c\;$ :

$\lim_{x \to c^-}f(x) = \lim_{x \to c^+}f(x) = L$

Dicho de otro modo, si los límites laterales no son iguales, entonces el límite no existe. El hecho de que el límite no sea el mismo en todo entorno del punto $c\;$ implica que no es único, por esta razón es que no existe.

El límite cuando x → x0+ es distinto del límite cuando x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.

El límite cuando x → x₀⁺ es distinto del límite cuando x → x₀^-.
Por lo tanto, el límite cuando x → x₀ no existe.

Límite de una función en un punto. Límites laterales (28'30") Sinopsis:

En este vídeo hablamos de los dos límites laterales de una función "f" en un punto "a" (límite de "f" en "a" por la izquierda y límite de "f" en "a" por la derecha), interpretándolos en términos geométricos. Si dichos dos límites laterales de "f" en "a" son iguales a "L", se dice que "L" es el límite de "f" en "a".

Conceptos de límite de una función por la derecha y por la izquierda de un punto.
Concepto de límite de una función en un punto.
Se puede calcular el límite en un punto independientemente de que el punto pertenezca o no al dominio de la función. Ejemplos.

Funciones sin límite en un punto (17'06") Sinopsis:

Sólo tiene sentido calcular los límites laterales de una función en un punto cuando la función está definida en las "proximidades" del punto.

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Límites infinitos

Existen varios casos de límites de funciones que involucran la noción del infinito, definiremos cada uno de ellos en las secciones siguientes.

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Variable que tiende a infinito

Límite en el infinito:

$\lim_{x \to +\infty}=L \iff \forall \varepsilon>0 \ , \ \exists R>0 \ | \ \forall x \in Dom_f \ , \ x>R \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ .
$\lim_{x \to -\infty}=L \iff \forall \varepsilon>0 \ , \ \exists R<0 \ | \ \forall x \in Dom_f \ , \ x<R \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ .
$\lim_{x \to \infty}=L \iff \forall \varepsilon>0 \ , \ \exists R>0 \ | \ \forall x \in Dom_f \ , \ |x|>R \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ .

Ejemplo

Comprueba que la función $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ , definida $\forall x \in \mathbb R$ , tiende a cero cuando $x\;$ tiende a infinito.

Solución:

Hay que probar:

$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2+1}=0 \iff \forall\varepsilon>0, \exists R>0 / \ |x|>R\Rightarrow \left|\frac{1}{x^2+1}\right| < \varepsilon$

Dado que R es arbitrario por definición, conviene tomarlo en función de $\varepsilon$ de esta manera

$R=\max\left\{1,\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}\right\}.$

De este modo, hay dos casos a considerar:

$\varepsilon \ge 1$ en cuyo caso, cualquier R sirve, pues f está acotada por 1. En particular se escogió arbitrariamente un R = 1.
$0<\varepsilon<1$ se elige R en función de ε.

El primer caso queda automáticamente demostrado por la definición de función acotada, pues basta deducir el caso particular.

$\forall x \in \mathbb{R}, |f(x)| \le 1 \le \varepsilon \Longrightarrow \forall x \in \mathbb{R}, |x| > 1 \Longrightarrow |f(x)| < \varepsilon$

Para el segundo caso, debemos demostrar la implicación (**).

$|x|>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}\Rightarrow \left|\frac{1}{x^2+1}\right|<\varepsilon$ (**)

siempre que $\varepsilon < 1$ , pues de lo contrario se toma R = 1.

Partimos de $|x|>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}\Rightarrow x^2>\frac{1}{\varepsilon}-1\Rightarrow x^2+1>\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow \frac{1}{x^2+1}<\varepsilon$ .

Como f es una función estrictamente positiva $\forall x$ vale que $f (x) = | f (x) |$ , por lo tanto queda demostrada (**).

Como $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2+1}=0$ , la ecuación

y = 0

determina la asíntota horizontal de la función.

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Función que tiende a infinito

Límite infinito:

$\lim_{x\to c}f(x)=+\infty\iff\forall R>0, \exists \delta > 0 \ / \ \forall x \in Dom_f, \ 0 < |x-c|<\delta \Rightarrow f(x)>R$ .
$\lim_{x\to c}f(x)=-\infty\iff\forall R<0, \exists \delta > 0 \ / \ \forall x \in Dom_f, \ 0 < |x-c|<\delta \Rightarrow f(x)<R$ .
$\lim_{x\to c}f(x)=\infty\iff\forall R>0, \exists \delta > 0 \ / \ \forall x \in Dom_f, \ 0 < |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)|>R$ .

Ejemplo

a) Comprueba que la función $f(x)=\frac{1}{x}$ tiende a infinito cuando $x\;$ tiende a cero.

b) Comprueba que $\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$ .

Solución:

Solución a): Hay que comprobar que:

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty\iff\forall R>0, \exists \delta > 0 / 0 < |x-0|<\delta \Rightarrow \left|\frac{1}{x}\right|>R$

Tomemos $\delta = \frac{1}{R}$ , en este caso la demostración es inmediata ya que:

$0<|x-0|<\frac{1}{R}\Rightarrow|x|<\frac{1}{R}\Rightarrow\left|\frac{1}{x}\right|>R$

Así, $x=0\;$ es una asíntota vertical.

Solución b):

Recurrimos al límite lateral ya que el logaritmo sólo está definido para $x > 0$ en los reales.

Tomaremos $δ = e - R$ :

Como $0<x<e^{-R}\Rightarrow \ln(x)<-R$ , queda demostrado el límite, ya que siendo $R > 0,ln(x) < - R$ significa que dado cualquier R podemos tomar a la función más pequeña que este número.

Esta función tiene una asíntota vertical $x=0\;$ , como en el apartado anterior.

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Ambos casos

Pueden darse ambos casos al mismo tiempo, por ejemplo, cualquier función polinómica en x tiende a infinito, cuando x tiende a infinito. En este tipo de casos definiremos al límite como sigue.

Límite infinito en el infinito:

$\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty \iff \forall M>0 \ , \ \exists R>0 \ / \ \forall x \in Dom_f \ , \ |x|>R \Rightarrow |f(x)|>M$

Ejemplo

Comprueba que $\lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty.$ .

Solución:

Usando la definición:

$\lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty\iff\forall M > 0 , \exists R > 0 \ / \ |x| > R \Rightarrow |3x-5|>M.$

Para esta demostración tomaremos $R=\frac{1}{3}(M+5).$

$|3x-5| \ge 3|x|-5 > 3 \cdot \frac{1}{3}(M+5) - 5 = M$

Límite de una función en el infinito

Tutorial 1 (Idea intuitiva) (17'30") Sinopsis:

En este vídeo hablamos del límite de la función "f" cuando x → +∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞. También hablamos del límite de "f" cuando x → -∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞.

Tutorial 2 (Definición rigurosa) (33'58") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite de una función cuando x tiende a (+/-) infinito.

Ejemplos (12'33") Sinopsis:

4 ejemplos muy sencillos.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n_%282%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

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-Supóngamos que <math>\lim_{x \to c} f(x)=L </math> y también que <math>\lim_{x \to c} f(x)=L' </math> siendo <math>L \ne L'\;</math>.
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-}}
-Cuando una función tiende a infinito en un punto determinado ''c'' del dominio, la recta que determina la ecuación <math>x = c</math>, es decir, todo punto de la forma <math>(c,t) \forall t \in \mathbb R</math>, se denomina asíntota vertical de la función. Para el ejemplo dado, <math>x=0</math> es la asíntota vertical.
+b) Comprueba que <math>\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty</math>.
+|sol=
+'''Solución a):'''
+Hay que comprobar que:
-El hecho de que <math>\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty</math> no implica que sea posible la división por cero. Según la definición de este límite, <math>0<|x|<\delta\Rightarrow x\ne0</math>, con lo cual, <math>\frac{1}{0}\ne\infty</math>. En definitiva, <math>\not\exists \frac{1}{0}</math> es decir, está expresión es indefinida.
+<center><math>\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty\iff\forall R>0, \exists \delta > 0 / 0 < |x-0|<\delta \Rightarrow \left|\frac{1}{x}\right|>R</math></center>
+Tomemos <math>\delta = \frac{1}{R}</math>, en este caso la demostración es inmediata ya que:
+<center><math>0<|x-0|<\frac{1}{R}\Rightarrow|x|<\frac{1}{R}\Rightarrow\left|\frac{1}{x}\right|>R</math></center>
+Así, <math>x=0\;</math> es una asíntota vertical.
+----
+'''Solución b):'''
-Tomemos otro ejemplo, la función [[logaritmo natural]].
-:<math>\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty</math>
 Recurrimos al límite lateral ya que el logaritmo sólo está definido para <math>x>0</math> en los reales.
-{{Demostración|1=Tomar <math>\delta = e^{-R}</math>, por lo tanto <math>0<x<e^{-R}\Rightarrow \ln(x)<-R</math> y queda demostrado el límite, ya que siendo <math>R>0, \ln(x)<-R</math> significa que dado cualquier ''R'' podemos tomar a la función más pequeña que este número.
+Tomaremos <math>\delta = e^{-R}</math>:
+Como <math>0<x<e^{-R}\Rightarrow \ln(x)<-R</math>, queda demostrado el límite, ya que siendo <math>R>0, \ln(x)<-R</math> significa que dado cualquier ''R'' podemos tomar a la función más pequeña que este número.
+Esta función tiene una asíntota vertical <math>x=0\;</math>, como en el apartado anterior.
 }}
-Esta función tiene una asíntota vertical <math>x=0</math>, igual que la anterior.
 === Ambos casos ===
-[[File:Límite infinito - definición R,M.gif|thumb|A medida que tomamos ''M'' cada vez más grande, podemos establecer ''R'' de modo que ''f'' supere a ''M'' en valor absoluto cuando lo hace ''x'', con respecto a ''R''.]]
+Pueden darse ambos casos al mismo tiempo, por ejemplo, cualquier función polinómica en x tiende a infinito, cuando ''x'' tiende a infinito. En este tipo de casos definiremos al límite como sigue.
-Pueden darse ambos casos al mismo tiempo, por ejemplo, cualquier [[función polinómica]] de ''x'' tiende a infinito, cuando ''x'' tiende a infinito. En este tipo de casos definiremos al límite como sigue.
+{{p}}
-{{Definición|1=El límite de una función ''f''(''x'') es infinito, cuando ''x'' tiende a infinto, si y sólo si para todo <math>M > 0</math> existe un <math>R>0</math> para el cual se cumple <math>|x|>R\Rightarrow|f(x)|>M</math>, siempre que <math>x\in\mathrm{Dom}(f)</math>.
+{{Caja_Amarilla|texto=
+'''Límite infinito en el infinito:'''
+*<math>\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty \iff \forall M>0 \ , \ \exists R>0 \ / \ \forall x \in Dom_f \ , \  |x|>R \Rightarrow |f(x)|>M</math>
 }}
-Tomemos como ejemplo a la [[función afín]] <math>f(x)=3x-5</math>, que es un caso particular de función polinómica. Siendo su gráfica una recta, intuitivamente podemos imaginar que tomando puntos de ''x'' «muy grandes» o «muy pequeños» los valores de ''f''(''x''), es decir, la «altura», se hace muy grande o pequeña con respecto a ''x''.
+{{p}}
-{{Demostración|1=Demostremos que <math>\lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty.</math> Escribamos la definición
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo|enunciado=
-<math>\lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty\iff\forall M > 0 , \exists R > 0 / |x| > R \Rightarrow |3x-5|>M.</math>
+Comprueba que <math>\lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty.</math>.
+|sol=Usando la definición:
-Para esta demostración tomaremos <math>\textstyle R=\frac{1}{3}(M+5).</math>
+<math>\lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty\iff\forall M > 0 , \exists R > 0  \ / \ |x| > R \Rightarrow |3x-5|>M.</math>
-<math>\textstyle
+Para esta demostración tomaremos <math>R=\frac{1}{3}(M+5).</math>
- |3x-5| \geq 3|x|-5 > 3 \cdot \frac{1}{3}(M+5) - 5 = M
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-[[Quod erat demonstrandum|QED]].
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+ |3x-5| \ge 3|x|-5 > 3 \cdot \frac{1}{3}(M+5) - 5 = M
+</math>
 }}
+{{p}}
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Límite de una función (2ºBach)

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Introducción

Límite de de una función en un punto

Definición informal de límite

Definición formal de límite

Límites laterales

Límites infinitos

Variable que tiende a infinito

Función que tiende a infinito

Ambos casos

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