Límite de una función (2ºBach)

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-{{Teorema|titulo=Teorema|enunciado=Si el límite de una función existe, entonces es único. 
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-Supóngamos que <math>\lim_{x \to c} f(x)=L </math> y también que <math>\lim_{x \to c} f(x)=L' </math> siendo <math>L \ne L'\;</math>.  
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-Tomemos un entorno <math>E\;</math> de centro <math>L\;</math> y otro <math>E'\;</math> de centro <math>L'\;</math> que no se intersequen. Por definición de límite, <math> f(x)\in E </math> para todo <math>x\;</math> en algún [[Números reales (1ºBach)#Entornos|entorno reducido]] de <math>c\;</math>, por lo que no puede estar en <math>E'\;</math>, lo que impide que el límite sea <math>L'\;</math>. 
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-El teorema de unicidad provee de una valiosa herramienta para refutar la existencia de límites. 
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-===Funciones sin límite en un punto=== 
{{Ejemplo|titulo=Función sin límite|enunciado=La función de [[Dirichlet]], <math>D:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> definida como: {{Ejemplo|titulo=Función sin límite|enunciado=La función de [[Dirichlet]], <math>D:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> definida como:
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|sol=Para demostrar la anterior afirmación, es necesario hacer uso del hecho de que cualquier intervalo contiene tanto números racionales como irracionales. |sol=Para demostrar la anterior afirmación, es necesario hacer uso del hecho de que cualquier intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.
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 +Supóngamos que <math>\lim_{x \to c} f(x)=L </math> y también que <math>\lim_{x \to c} f(x)=L' </math> siendo <math>L \ne L'\;</math>.
-{{Video_enlace_fonemato+Tomemos un entorno <math>E\;</math> de centro <math>L\;</math> y otro <math>E'\;</math> de centro <math>L'\;</math> que no se intersequen. Por definición de límite, <math> f(x)\in E </math> para todo <math>x\;</math> en algún [[Números reales (1ºBach)#Entornos|entorno reducido]] de <math>c\;</math>, por lo que no puede estar en <math>E'\;</math>, lo que impide que el límite sea <math>L'\;</math>.
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 +El teorema de unicidad provee de una valiosa herramienta para refutar la existencia de límites.
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*Se puede calcular el límite en un punto independientemente de que el punto pertenezca o no al dominio de la función. Ejemplos. *Se puede calcular el límite en un punto independientemente de que el punto pertenezca o no al dominio de la función. Ejemplos.
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{{Ejemplo|titulo=Ejemplo|enunciado= {{Ejemplo|titulo=Ejemplo|enunciado=
-Comprueba que la función <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> tiende a infinito cuando <math>x\;</math> tiende a cero.+a) Comprueba que la función <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> tiende a infinito cuando <math>x\;</math> tiende a cero.
-|demo=<math>\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty\iff\forall R>0, \exists \delta > 0 / 0 < |x-0|<\delta \Rightarrow \left|\frac{1}{x}\right|>R</math>+
-Tomemos <math>\delta = \frac{1}{R}</math>, en este caso la demostración es inmediata ya que <math>0<|x-0|<\frac{1}{R}\Rightarrow|x|<\frac{1}{R}\Rightarrow\left|\frac{1}{x}\right|>R</math>.+
-}}+
-Cuando una función tiende a infinito en un punto determinado ''c'' del dominio, la recta que determina la ecuación <math>x = c</math>, es decir, todo punto de la forma <math>(c,t) \forall t \in \mathbb R</math>, se denomina asíntota vertical de la función. Para el ejemplo dado, <math>x=0</math> es la asíntota vertical.+b) Comprueba que <math>\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty</math>.
 +|sol=
 +'''Solución a):'''
 +Hay que comprobar que:
-El hecho de que <math>\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty</math> no implica que sea posible la división por cero. Según la definición de este límite, <math>0<|x|<\delta\Rightarrow x\ne0</math>, con lo cual, <math>\frac{1}{0}\ne\infty</math>. En definitiva, <math>\not\exists \frac{1}{0}</math> es decir, está expresión es indefinida.+<center><math>\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty\iff\forall R>0, \exists \delta > 0 / 0 < |x-0|<\delta \Rightarrow \left|\frac{1}{x}\right|>R</math></center>
 + 
 +Tomemos <math>\delta = \frac{1}{R}</math>, en este caso la demostración es inmediata ya que:
 + 
 +<center><math>0<|x-0|<\frac{1}{R}\Rightarrow|x|<\frac{1}{R}\Rightarrow\left|\frac{1}{x}\right|>R</math></center>
 + 
 +Así, <math>x=0\;</math> es una asíntota vertical.
 +----
 +'''Solución b):'''
-Tomemos otro ejemplo, la función [[logaritmo natural]]. 
-:<math>\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty</math> 
Recurrimos al límite lateral ya que el logaritmo sólo está definido para <math>x>0</math> en los reales. Recurrimos al límite lateral ya que el logaritmo sólo está definido para <math>x>0</math> en los reales.
-{{Demostración|1=Tomar <math>\delta = e^{-R}</math>, por lo tanto <math>0<x<e^{-R}\Rightarrow \ln(x)<-R</math> y queda demostrado el límite, ya que siendo <math>R>0, \ln(x)<-R</math> significa que dado cualquier ''R'' podemos tomar a la función más pequeña que este número.+ 
 +Tomaremos <math>\delta = e^{-R}</math>:
 + 
 +Como <math>0<x<e^{-R}\Rightarrow \ln(x)<-R</math>, queda demostrado el límite, ya que siendo <math>R>0, \ln(x)<-R</math> significa que dado cualquier ''R'' podemos tomar a la función más pequeña que este número.
 + 
 +Esta función tiene una asíntota vertical <math>x=0\;</math>, como en el apartado anterior.
}} }}
-Esta función tiene una asíntota vertical <math>x=0</math>, igual que la anterior. 
=== Ambos casos === === Ambos casos ===
-[[File:Límite infinito - definición R,M.gif|thumb|A medida que tomamos ''M'' cada vez más grande, podemos establecer ''R'' de modo que ''f'' supere a ''M'' en valor absoluto cuando lo hace ''x'', con respecto a ''R''.]]+Pueden darse ambos casos al mismo tiempo, por ejemplo, cualquier función polinómica en x tiende a infinito, cuando ''x'' tiende a infinito. En este tipo de casos definiremos al límite como sigue.
-Pueden darse ambos casos al mismo tiempo, por ejemplo, cualquier [[función polinómica]] de ''x'' tiende a infinito, cuando ''x'' tiende a infinito. En este tipo de casos definiremos al límite como sigue.+{{p}}
-{{Definición|1=El límite de una función ''f''(''x'') es infinito, cuando ''x'' tiende a infinto, si y sólo si para todo <math>M > 0</math> existe un <math>R>0</math> para el cual se cumple <math>|x|>R\Rightarrow|f(x)|>M</math>, siempre que <math>x\in\mathrm{Dom}(f)</math>.+{{Caja_Amarilla|texto=
 +'''Límite infinito en el infinito:'''
 + 
 +*<math>\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty \iff \forall M>0 \ , \ \exists R>0 \ / \ \forall x \in Dom_f \ , \ |x|>R \Rightarrow |f(x)|>M</math>
}} }}
-Tomemos como ejemplo a la [[función afín]] <math>f(x)=3x-5</math>, que es un caso particular de función polinómica. Siendo su gráfica una recta, intuitivamente podemos imaginar que tomando puntos de ''x'' «muy grandes» o «muy pequeños» los valores de ''f''(''x''), es decir, la «altura», se hace muy grande o pequeña con respecto a ''x''.+{{p}}
-{{Demostración|1=Demostremos que <math>\lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty.</math> Escribamos la definición+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo|enunciado=
-<math>\lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty\iff\forall M > 0 , \exists R > 0 / |x| > R \Rightarrow |3x-5|>M.</math>+Comprueba que <math>\lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty.</math>.
 +|sol=Usando la definición:
-Para esta demostración tomaremos <math>\textstyle R=\frac{1}{3}(M+5).</math>+<math>\lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty\iff\forall M > 0 , \exists R > 0 \ / \ |x| > R \Rightarrow |3x-5|>M.</math>
-<math>\textstyle+Para esta demostración tomaremos <math>R=\frac{1}{3}(M+5).</math>
- |3x-5| \geq 3|x|-5 > 3 \cdot \frac{1}{3}(M+5) - 5 = M+
-</math>+
-[[Quod erat demonstrandum|QED]].+<math>
 + |3x-5| \ge 3|x|-5 > 3 \cdot \frac{1}{3}(M+5) - 5 = M
 +</math>
}} }}
 +{{p}}
{{Videotutoriales|titulo=Límite de una función en el infinito|enunciado= {{Videotutoriales|titulo=Límite de una función en el infinito|enunciado=
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato

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Tabla de contenidos

Introducción

Recordemos algunos conceptos:

  • Decimos que "x\; tiende a a\; por la izquierda" (x \rightarrow a^-) cuando x\; toma valores menores que a\;, cada vez más próximos a a\;, tan próximos a a\; como se quiera.
  • Decimos que "x\; tiende a a\; por la derecha" (x \rightarrow a^+) cuando x\; toma valores mayores que a\;, cada vez más próximos a a\;, tan próximos a a\; como se quiera.
  • Decimos que "x\; tiende a a\;" (x \rightarrow a) cuando x\; toma valores cada vez más próximos a a\;, tan próximos a a\; como se quiera, tanto a su izquierda como a su derecha.

  • Decimos que "x\; tiende a + infinito" (x \rightarrow + \infty) cuando x\; toma valores positivos tan grandes como queramos.
  • Decimos que "x\; tiende a - infinito" (x \rightarrow - \infty) cuando x\; toma valores negativos tan pequeños como queramos.
  • A veces te podrás encontrar también la expresión "x\; tiende a infinito" (x \rightarrow \infty) cuando x\; tiende, indistintamente, a + \infty o a - \infty, aunque también hay quien la usa en lugar de x \rightarrow + \infty.

Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tenerlo bien claro.

Definición informal de límite

De manera informal, diremos que una función f ~ "tiene límite" L~ en c~ , o que f ~ "tiende a" L ~ cuando x~ se acerca a c ~, si se puede hacer que f(x)~ esté tan cerca como queramos de L ~, haciendo que x~ esté suficientemente cerca de c~, pero sin llegar a c~.

Definición formal de límite

Los conceptos "cerca" y "suficientemente cerca" son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos.

Sea f\; una función con dominio Dom_f\; y sea c \; un punto de acumulación de Dom_f\;. Diremos que el límite de una función f(x)\;, cuando x~ tiende a c~, es L ~, si y sólo si, para todo \varepsilon > 0 \;, existe un \delta > 0 \;, tal que para todo número real x~ del dominio de la función, si 0 < |x-c| < \delta \;, entonces |f(x)-L| < \varepsilon \;.

Es decir,

\lim_{x\to c}  \, \,f(x) = L\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}_f, \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

Observaciones:

  • Para entender bien el concepto de límite, recuérdese la definición de distancia entre dos puntos de la recta real, según la cual, d(x,c)=|x-c| \;.
  • Decir que c~ es un punto de acumulación del dominio de la función equivale a decir que cualquier intevalo abierto de centro c~ contiene a puntos del dominio de la función distintos de c~, o dicho informalmente, que nos podemos acercar a c~ tanto como queramos mediante puntos del dominio distintos de c~.
  • Exigir que c~ sea punto de acumulación del dominio es necesario para que la definición tenga sentido. En caso contrario, no podríamos hablar de valores de x~ "suficientemente cerca" de c~ cuyas imágenes están tan "cerca" de L~ como se desee.
  • Es muy importante observar que c~ no tiene por qué pertenecer al dominio de la función para poder hablar de límite cuando x tiende a c~. Es decir, podemos calcular el límite en un punto en el que la función no esté definida.

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Aumentar
Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.
Aumentar
Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.
ejercicio

Límite de una función en un punto


Demostrar que \lim_{x\to 2}(3x-5)=1 usando la definición formal de límite.

ejercicio

Función sin límite


La función de Dirichlet, D:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida como:

D(x) = \begin{cases} c & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{Q} \\ d & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{I} \\ \end{cases}

tiene la peculiaridad de que, para cualquier valor a\; de su dominio, el \lim_{x \to a}f(x) no existe.

ejercicio

Teorema


Si el límite de una función existe, entonces es único.

El teorema de unicidad provee de una valiosa herramienta para refutar la existencia de límites.

Límites laterales

  • Sea f\; una función real de variable real y consideremos x\; un punto del dominio de esta función, aproximándose a c\;, pero tomando sólo valores más grandes que él. Formalmente, estaríamos tomando los x\; que verifican 0<x-c<\delta\;, para ciertos \delta\;. Si la función tiende a un valor L^+\;, se dice que existe el límite por derecha y se denota así:
\lim_{x \to c^+}f(x) = L^+
  • Sea ahora x\; un punto del dominio de esta función, aproximándose a c\;, pero tomando sólo valores más pequeños que él, es decir, tales que 0<-(x-c)<\delta\;, para ciertos \delta\;. Si la función tiende a un valor L^-\;, se dice que existe el límite por izquierda y se denota así:
\lim_{x \to c^-}f(x) = L^-
  • Si los dos límites anteriores son iguales, entonces L=L^+=L^-\; se pueden referir como el límite de f(x)\; en c\;:
\lim_{x \to c^-}f(x) =    \lim_{x \to c^+}f(x) =    L

Dicho de otro modo, si los límites laterales no son iguales, entonces el límite no existe. El hecho de que el límite no sea el mismo en todo entorno del punto c\; implica que no es único, por esta razón es que no existe.

El límite cuando x → x0+  es distinto del límite cuando x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.
Aumentar
El límite cuando x → x0+ es distinto del límite cuando x → x0-.
Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.

Límites infinitos

Existen varios casos de límites de funciones que involucran la noción del infinito, definiremos cada uno de ellos en las secciones siguientes.

Variable que tiende a infinito

Límite en el infinito:

  • \lim_{x \to +\infty}=L \iff \forall \varepsilon>0 \ , \ \exists R>0 \ | \ \forall x \in Dom_f \ , \  x>R \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.
  • \lim_{x \to -\infty}=L \iff \forall \varepsilon>0 \ , \ \exists R<0 \ | \ \forall x \in Dom_f \ , \  x<R \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.
  • \lim_{x \to \infty}=L \iff \forall \varepsilon>0 \ , \ \exists R>0 \ | \ \forall x \in Dom_f \ , \  |x|>R \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.

ejercicio

Ejemplo


Comprueba que la función f(x)=\frac{1}{x^2+1}, definida \forall x \in \mathbb R, tiende a cero cuando x\; tiende a infinito.

Función que tiende a infinito

Límite infinito:

  • \lim_{x\to c}f(x)=+\infty\iff\forall R>0, \exists \delta > 0 \ / \ \forall x \in Dom_f, \ 0 < |x-c|<\delta \Rightarrow f(x)>R.
  • \lim_{x\to c}f(x)=-\infty\iff\forall R<0, \exists \delta > 0 \ / \ \forall x \in Dom_f, \ 0 < |x-c|<\delta \Rightarrow f(x)<R.
  • \lim_{x\to c}f(x)=\infty\iff\forall R>0, \exists \delta > 0 \ / \ \forall x \in Dom_f, \ 0 < |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)|>R.

ejercicio

Ejemplo


a) Comprueba que la función f(x)=\frac{1}{x} tiende a infinito cuando x\; tiende a cero.

b) Comprueba que \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty.

Ambos casos

Pueden darse ambos casos al mismo tiempo, por ejemplo, cualquier función polinómica en x tiende a infinito, cuando x tiende a infinito. En este tipo de casos definiremos al límite como sigue.

Límite infinito en el infinito:

  • \lim_{x \to \infty} f(x)=\infty \iff \forall M>0 \ , \ \exists R>0 \ / \ \forall x \in Dom_f \ , \  |x|>R \Rightarrow |f(x)|>M

ejercicio

Ejemplo


Comprueba que \lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty..

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda