Potencia de un punto respecto de una circunferencia (1ºBach)
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- | ==Potencia de un punto a una circunferencia== | + | ==Potencia de un punto respecto de una circunferencia== |
- | {{Tabla75|celda2=[[Imagen:potencia_punto.jpg|center|250px]] | + | {{Tabla75|celda2=[[Imagen:potencia_punto.png|center|thumb|250px|La potencia de P respecto de C es d<sup>2</sup> - r<sup>2</sup>]] |
|celda1= | |celda1= | ||
{{Caja_Amarilla|texto= | {{Caja_Amarilla|texto= | ||
- | Se llama '''potencia''' del punto <math>P(p_1,p_2)\,</math> respecto a la circunferencia <math>C\,</math> de centro <math>O(a,b)\,</math> y radio <math>r\,</math> al número | + | Se llama '''potencia''' del punto <math>P(p_1,p_2)\,</math> respecto de la circunferencia <math>C\,</math> de centro <math>O(a,b)\,</math> y radio <math>r\,</math> al número |
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{{Caja|contenido=<math>\mathcal{P}_C(P)=d(P,O)^2-r^2=(p_1 -a)^2+(p_2-b)^2-r^2</math>}} | {{Caja|contenido=<math>\mathcal{P}_C(P)=d(P,O)^2-r^2=(p_1 -a)^2+(p_2-b)^2-r^2</math>}} | ||
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- | Observa que la potencia de <math>P\,</math> respecto a <math>C\,</math> es el valor numérico de la expresión del lado izquierdo de la ecuación de la circunferencia: | + | {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado= |
+ | Dada la circunferencia de centro <math>O(a,b)\;</math> y radio <math>r\;</math>, cuya ecuación sabemos que viene dada por: | ||
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+ | La potencia de un punto <math>P(p_1,p_2)\;</math> respecto de esta circunferencia, coincide con el valor numérico que resulta de sustituir las coordenadas del punto en la expresión del lado izquierdo de esa ecuación. | ||
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+ | Comprueba el resultado en la siguiente escena: | ||
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- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Potencia de un punto respecto a una circunferencia''|cuerpo= | + | {{Geogebra_enlace |
- | {{ai_cuerpo | + | |descripcion=En esta escena podrás ver como se comprueba la proposición anterior. |
- | |enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a calcular la potencia del punto P(6,4) respecto de la circunferencia de centro O(0,0) y radio r=3. | + | |enlace=[https://ggbm.at/pbttbgzY Potencia de un punto respecto de una circunferencia. Distintos enfoques.] |
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- | '''Ejercicios:''' | + | |
- | #Calcula la potencia del punto P(-1,1) respecto de la circunferencia de centro O(-2,3) y radio 4. | + | |
- | #Calcula la potencia del punto P(0,7) respecto de la circunferencia de centro O(0,2) y radio 5. | + | |
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- | Comprueba los resultados en la escena anterior. | + | |
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==Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia== | ==Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia== | ||
- | {{Tabla75|celda2=[[Imagen:circpuntos.jpg|center|180px]] | + | {{Tabla75|celda2=[[Imagen:circpuntos.png|center|thumb|'''A''' es exterior, '''B''' pertenece y '''C''' es interior a la circunferencia]] |
|celda1= | |celda1= | ||
{{Caja_Amarilla|texto=Dada una circunferencia de centro <math>O\,</math> y radio <math>r\,</math>, un punto <math>P\,</math>,del plano puede ser: | {{Caja_Amarilla|texto=Dada una circunferencia de centro <math>O\,</math> y radio <math>r\,</math>, un punto <math>P\,</math>,del plano puede ser: | ||
Línea 88: | Línea 103: | ||
*'''Interior''' a la circunferencia: si <math>d(P,O)<r\,</math> | *'''Interior''' a la circunferencia: si <math>d(P,O)<r\,</math> | ||
}} | }} | ||
- | En el dibujo de la derecha: A es exterior, B pertenece y C es interior a la circunferencia. | ||
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{{p}} | {{p}} | ||
Línea 104: | Línea 118: | ||
{{Ejemplo | {{Ejemplo | ||
|titulo=Ejemplo: ''Posición relativa de un punto respecto a una circunferencia'' | |titulo=Ejemplo: ''Posición relativa de un punto respecto a una circunferencia'' | ||
- | |enunciado=:Halla la posición relativa del punto <math>P(7,-4)\,</math> respecto a la circunferencia <math>C: x^2+y^2-8x+3y+12=0\,</math>. | + | |enunciado=Halla la posición relativa del punto <math>P(7,-4)\,</math> respecto a la circunferencia <math>C: x^2+y^2-8x+3y+12=0\,</math>. |
|sol=Calculemos la potencia de <math>P(7,-4)\,</math> respecto a la circunferencia <math>C: x^2+y^2-8x+3y+12=0\,</math>: | |sol=Calculemos la potencia de <math>P(7,-4)\,</math> respecto a la circunferencia <math>C: x^2+y^2-8x+3y+12=0\,</math>: | ||
Línea 111: | Línea 125: | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | + | {{Geogebra_enlace | |
+ | |descripcion=En esta escena podrás ver como es la posición relativa de un punto y una circunferencia y qué relación tiene con la potencia del punto respecto de la circunferencia. | ||
+ | |enlace=[https://ggbm.at/ZF5FQHyy Posición relativa de un punto y una circunferencia] | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
==Eje radical de dos circunferencias== | ==Eje radical de dos circunferencias== | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''eje radical''' de dos circunferencias no concéntricas (*), al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias. | + | {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''eje radical''' de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de ambas circunferencias. |
}} | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | (*) El lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de dos circunferencias concéntricas es otra circunferencia concéntrica. | ||
{{p}} | {{p}} | ||
{{Ejemplo | {{Ejemplo | ||
|titulo=Ejemplo: ''Eje radical de dos circunferencias'' | |titulo=Ejemplo: ''Eje radical de dos circunferencias'' | ||
- | |enunciado=:Halla el eje radical de las circunferencias: | + | |enunciado=Halla el eje radical de las circunferencias: |
- | ::<math>C_1: x^2+y^2-6x+4y-11=0\,</math> | + | :<math>C_1: x^2+y^2-6x+4y-11=0\,</math> |
- | ::<math>C_2: x^2+y^2+8x-2y-1=0\,</math>. | + | :<math>C_2: x^2+y^2+8x-2y-1=0\,</math>. |
- | |sol=Igualando la potencia de un punto genérico <math>P(x,y)\,</math> respecto a cada circunferencia, tenemos: | + | |sol=Igualando la potencia de un punto genérico <math>P(x,y)\,</math> respecto de cada circunferencia, tenemos: |
<center><math>x^2+y^2-6x+4y-11=x^2+y^2+8x-2y-1\,</math></center> | <center><math>x^2+y^2-6x+4y-11=x^2+y^2+8x-2y-1\,</math></center> | ||
Línea 130: | Línea 146: | ||
<center><math>-6x+4y-11=+8x-2y-1\,</math></center> | <center><math>-6x+4y-11=+8x-2y-1\,</math></center> | ||
- | + | {{p}} | |
<center><math>-14x+6y-10=0\,</math></center> | <center><math>-14x+6y-10=0\,</math></center> | ||
Línea 136: | Línea 152: | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | ===Propiedades=== | + | {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es una recta perpendicular a la recta determinada por los dos centros de las circunferencias. |
- | {{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades del eje radical|enunciado= | + | |demo=Dadas las circunferencias de ecuaciones: |
- | *El eje radical es una recta perpendicular al segmento determinado por los dos centros de las circunferencias, pues dado un punto del eje radical, el punto simétrico respecto del segmento que une los centros de las circunferencias también tendrá la misma potencia. | + | ::<math>C: \; x^2+y^2+Ax+By+C=0</math> |
+ | ::<math>C': \; x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0</math>, | ||
+ | {{p}} | ||
+ | con <math>A \ne A'</math> y/o <math>B \ne B'</math>, para que no sean concéntricas. | ||
- | *Si las circunferencias son exteriores, el eje radical se puede determinar trazando una perpendicular que pase por el punto medio (M en la figura) del segmento determinado por los puntos de contacto de la tangente a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura). | + | Su eje radical se obtiene igualando los miembros de la izquierda de cada ecuación: |
+ | {{p}} | ||
+ | <center><math>x^2+y^2+Ax+By+C=x^2+y^2+A'x+B'y+C'\,</math></center> | ||
+ | {{p}} | ||
+ | Simplificando los términos al cuadrado y pasando todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, tenemos: | ||
+ | {{p}} | ||
+ | <center><math>(A-A')x+(B-B')y+(C-C')=0\,</math></center> | ||
+ | {{p}} | ||
+ | que es la ecuación implícita de una recta con vector normal {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\overrightarrow{n}(A-A',B-B')\,</math>}}. | ||
- | *Si las circunferencias son tangentes, el eje radical contiene el punto de intersección de ambas circunferencias y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias. | + | La recta que une los <math>Escribe aquí una fórmula</math>c<math>Escribe aquí una fórmula</math>entros <math>O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})</math> y <math>O'(-\cfrac{A'}{2},-\cfrac{B'}{2})</math> de las circunferencias, tiene vector director |
+ | {{p}} | ||
+ | <center><math>\overrightarrow{OO'}=(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})-(-\cfrac{A'}{2},-\cfrac{B'}{2})=(\cfrac{A'-A}{2},\cfrac{B'-B}{2})</math></center> | ||
- | *Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene los puntos de intersección de las circunferencias, puesto que ambos tienen potencia nula respecto de las circunferencias. | + | que es paralelo al vector normal del eje radical {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{n}\,</math>}}. |
- | *Si una de las circunferencias es interior, se puede obtener el eje radical trazando una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas ('''a''' en la figura). El punto de intersección de los ejes radicales auxiliares (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas, por tanto, el eje radical será la recta que contiene al punto C y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias iniciales. (Se debe elegir la circunferencia auxiliar de tal forma que los ejes radicales auxiliares se corten dentro del papel del dibujo). | + | Por tanto, el vector {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{OO'}</math>}} es perpendicular al eje radical. |
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+ | Dadas dos circunferencias concéntricas, como <math>O=O' \rightarrow A=A' \, ; \, B=B'</math>, entonces sus ecuaciones serán: | ||
+ | ::<math>C: \; x^2+y^2+Ax+By+C=0</math> | ||
+ | ::<math>C': \; x^2+y^2+Ax+By+C'=0 \qquad (C \ne C')</math>, | ||
+ | {{p}} | ||
+ | su eje radical se obtiene igualando los miembros de la izquierda de cada ecuación: | ||
+ | {{p}} | ||
+ | <center><math>x^2+y^2+Ax+By+C=x^2+y^2+Ax+By+C'\,</math></center> | ||
+ | {{p}} | ||
+ | Simplificando los términos al cuadrado y pasando todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, tenemos: | ||
+ | {{p}} | ||
+ | <center><math>C-C'=0\,</math></center> | ||
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+ | que es absurdo, puesto que <math>C \ne C'</math>, y por tanto no tiene solución. | ||
}} | }} | ||
- | [[Imagen:Radical axis.png|center]] | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Eje radical de dos circunferencias''|cuerpo= | + | ===Construcción geométrica del eje radical=== |
- | {{ai_cuerpo | + | {{Teorema_sin_demo|titulo=Construcción geométrica del eje radical|enunciado= |
- | |enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena puedes ver como es el eje radical de dos circunferencias. | + | *Si las circunferencias son '''exteriores''', el eje radical se puede determinar trazando una perpendicular que pase por el punto medio (M en la figura) del segmento determinado por los puntos de contacto de la tangente a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura). |
- | |actividad=Obtén el eje radical en los casos de circunferencias secantes, tangentes, exteriores o interiores. Varía los valores de los parámetros y observa cómo es el eje radical en cada caso. | + | |
+ | *Si las circunferencias son '''tangentes''', el eje radical contiene el punto de intersección de ambas circunferencias y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias. | ||
- | <center><iframe> | + | *Si las circunferencias son '''secantes''', el eje radical contiene los puntos de intersección de las circunferencias, puesto que ambos tienen potencia nula respecto de las circunferencias. |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/potencia_punto_circunf/Potencia_5.html | + | |
- | width=490 | + | *Si una de las circunferencias es '''interior''', se puede obtener el eje radical trazando una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas ('''a''' en la figura). El punto de intersección de los ejes radicales auxiliares (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas, por tanto, el eje radical será la recta que contiene al punto C y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias iniciales. (Se debe elegir la circunferencia auxiliar de tal forma que los ejes radicales auxiliares se corten dentro del papel del dibujo). |
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- | name=myframe | + | [[Imagen:Radical axis.png|center]] |
- | </iframe></center> | + | {{p}} |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/potencia_punto_circunf/Potencia_5.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | {{Geogebra_enlace |
+ | |descripcion=En esta escena podrás ver representado el eje radical de dos circunferencias. | ||
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{{p}} | {{p}} | ||
Línea 179: | Línea 237: | ||
Como <math>C_R\,</math> pertenece a <math>E_{1-2}\,</math>, <math>C_R\,</math> tiene la misma potencia respecto a <math>C_1\,</math> y <math>C_2\,</math>. Y por pertenecer a <math>E_{2-3}\,</math>, <math>C_R\,</math> tiene la misma potencia respecto a <math>C_2\,</math> y <math>C_3\,</math>. | Como <math>C_R\,</math> pertenece a <math>E_{1-2}\,</math>, <math>C_R\,</math> tiene la misma potencia respecto a <math>C_1\,</math> y <math>C_2\,</math>. Y por pertenecer a <math>E_{2-3}\,</math>, <math>C_R\,</math> tiene la misma potencia respecto a <math>C_2\,</math> y <math>C_3\,</math>. | ||
- | Por tanto, <math>C_R\,</math> tiene la misma potencia respecto a las tres circunferencias. | + | Por tanto, <math>C_R\,</math> tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias. |
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+ | |sinopsis=Construcción con regla y compás del centro radical de tres circunferencias (2 métodos). | ||
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+ | {{p}} | ||
+ | ==Ejercicios propuestos== | ||
+ | {{ejercicio | ||
+ | |titulo=Ejercicios propuestos: ''Potencia de un punto respecto de una circunferencia'' | ||
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+ | (Pág. 221) | ||
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+ | [[Imagen:red_star.png|12px]] 6, 7 | ||
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Tabla de contenidos |
Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Se llama potencia del punto respecto de la circunferencia de centro y radio al número
Proposición Dada la circunferencia de centro y radio , cuya ecuación sabemos que viene dada por: La potencia de un punto respecto de esta circunferencia, coincide con el valor numérico que resulta de sustituir las coordenadas del punto en la expresión del lado izquierdo de esa ecuación. Demostración: Es inmediato a partir de la definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia. |
Ejemplo: Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Calcula la potencia del punto P(6,4) respecto de la circunferencia de centro O(0,0) y radio r=3.
La ecuación de la circunferencia es:
que simplificada queda:
Sustituyendo las coordenadas de P(6,4) en el lado izquierdo de la ecuación, tenemos:
Comprueba el resultado en la siguiente escena:
En esta escena podrás ver como se calcula la potencia de un punto respecto de una circunferencia.
Proposición
Sea un punto del plano y una circunferencia . Sean úna recta que corta a C en dos puntos: y y sea otra recta que corta a en otros dos puntos: y . Entonces se cumple que:
En la siguiente figura se puede observar que los triángulos y son semejantes porque tienen un ángulo común, el ángulo en , y dos ángulos iguales, los ángulos en y en , por ser ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan el mismo arco .
Por tanto, sus lados son proporcionales:
De donde, multiplicando en cruz:
Para el caso en que l punto P pertenezca a la circunferencia:
Veamos ahora que también es igual a . Para ello vamos a considerar el siguiente gráfico, en el cual hemos tomado una recta r que pase por el centro de C y que la corta en dos puntos A y A', diametralmente opuestos:
Se tiene que:
- Si P es exterior: porque la potencia de un punto exterior es positiva.
- Si P es interior: porque la potencia de un punto interior es negativa.
- Si P pertenece a la circunferencia: porque la potencia de un punto de la circunferencia es cero.
En esta escena podrás ver como se comprueba la proposición anterior.
Videotutorial.
Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia
Dada una circunferencia de centro y radio , un punto ,del plano puede ser:
|
Proposición
Dada una circunferencia y un punto del plano:
- Si el punto es exterior a la circunferencia:
- Si el punto pertenece a la circunferencia:
- Si el punto es interior a la circunferencia:
En efecto,
- Si P es exterior a C
- Si P pertenece a C
- Si P es interior a C
Ejemplo: Posición relativa de un punto respecto a una circunferencia
Halla la posición relativa del punto respecto a la circunferencia .
Calculemos la potencia de respecto a la circunferencia :
- P es exterior a C.
En esta escena podrás ver como es la posición relativa de un punto y una circunferencia y qué relación tiene con la potencia del punto respecto de la circunferencia.
Eje radical de dos circunferencias
Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de ambas circunferencias.
Ejemplo: Eje radical de dos circunferencias
Halla el eje radical de las circunferencias:
- .
Igualando la potencia de un punto genérico respecto de cada circunferencia, tenemos:
Simplificando las potencias al cuadrado y reagrupando términos:
Que es la ecuación de una recta, el eje radical de las dos circunferencias.Proposición
El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es una recta perpendicular a la recta determinada por los dos centros de las circunferencias.
Dadas las circunferencias de ecuaciones:
- ,
con y/o , para que no sean concéntricas.
Su eje radical se obtiene igualando los miembros de la izquierda de cada ecuación:
Simplificando los términos al cuadrado y pasando todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, tenemos:
que es la ecuación implícita de una recta con vector normal .
La recta que une los EscribeaquunafrmulacEscribeaquunafrmulaentros y de las circunferencias, tiene vector director
que es paralelo al vector normal del eje radical .
Por tanto, el vector es perpendicular al eje radical.
Dadas dos circunferencias concéntricas, como , entonces sus ecuaciones serán:
- ,
su eje radical se obtiene igualando los miembros de la izquierda de cada ecuación:
Simplificando los términos al cuadrado y pasando todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, tenemos:
que es absurdo, puesto que , y por tanto no tiene solución.Construcción geométrica del eje radical
Construcción geométrica del eje radical
- Si las circunferencias son exteriores, el eje radical se puede determinar trazando una perpendicular que pase por el punto medio (M en la figura) del segmento determinado por los puntos de contacto de la tangente a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura).
- Si las circunferencias son tangentes, el eje radical contiene el punto de intersección de ambas circunferencias y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias.
- Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene los puntos de intersección de las circunferencias, puesto que ambos tienen potencia nula respecto de las circunferencias.
- Si una de las circunferencias es interior, se puede obtener el eje radical trazando una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas (a en la figura). El punto de intersección de los ejes radicales auxiliares (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas, por tanto, el eje radical será la recta que contiene al punto C y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias iniciales. (Se debe elegir la circunferencia auxiliar de tal forma que los ejes radicales auxiliares se corten dentro del papel del dibujo).
En esta escena podrás ver representado el eje radical de dos circunferencias.
Videotutorial.
Construcción con regla y compás del eje radical de dos circunferencias que no se cortan (2 métodos).
Centro radical de tres circunferencias
Centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias. Cálculo del centro radical de tres circunferencias Para determinar el eje radical de tres circunferencias, se halla la intersección del eje radical de una pareja de circunferencias con el eje radical de otro par de circunferencias. Demostración: Sean , y las tres circunferencias, y seaea el punto de intersección del (eje radical de y ) y (eje radical de y ). Como pertenece a , tiene la misma potencia respecto a y . Y por pertenecer a , tiene la misma potencia respecto a y . Por tanto, tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias. |
En esta escena podrás ver representado el centro radical de tres circunferencias.
Videotutorial.
Construcción con regla y compás del centro radical de tres circunferencias (2 métodos).
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Potencia de un punto respecto de una circunferencia |