Operaciones con números naturales (1º ESO)
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*Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0. | *Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0. | ||
*Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número. | *Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número. | ||
- | }} | + | |demo=Veamos ejemplos que ilustren estas propiedades: |
- | {{p}} | + | |
- | {{Ejemplo_simple | + | *La división de números naturales no es una operación interna: <math>3:5 \notin \mathbb{N} |
- | |titulo=Ejemplo: | + | </math> |
- | |contenido= | + | ---- |
+ | *La división de números naturales no cumple la propiedad conmutativa: <math>6:3 \ne 3:6</math> | ||
+ | *La división de números naturales no cumple la propiedad asociativa: <math>90:(6:3) \ne (90:6):3</math> | ||
+ | *La división de números naturales no cumple la propiedad distributiva: <math>12:(2+4) \ne (12:2)+(12:4) \ne (90:6):3</math> | ||
+ | ---- | ||
+ | *Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.: <math>0:5=0\;</math> | ||
+ | ---- | ||
+ | Para la última propiedad veremos un ejemplo: | ||
+ | |||
Hagamos la división <math>360 : 50 \;</math> | Hagamos la división <math>360 : 50 \;</math> | ||
{{p}} | {{p}} | ||
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{{p}} | {{p}} | ||
Es decir, el cociente no varía y el resto queda dividido por 10. | Es decir, el cociente no varía y el resto queda dividido por 10. | ||
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}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} |
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Tabla de contenidos |
(Pág. 12)
Suma y resta de números naturales
Suma
- Sumar es unir, juntar, añadir.
- La suma de dos números naturales, a y b, se representa: a+b=c
- a y b reciben el nombre de sumandos y el resultado, c, se denomina suma.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
a)
b)
c)
d)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/b/b5/Anaya_logo.jpg/22px-Anaya_logo.jpg)
Cálculo mental con sumas.
Propiedades de la suma de números naturales
Propiedades de la suma
- Operación interna: el resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
![a, \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a + b \in \mathbb{N}](/wikipedia/images/math/9/1/5/915f6bb7951a5718e4166b7b93092aed.png)
- Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.
![a+b = b+a\,](/wikipedia/images/math/5/3/8/53867b90a22e3c6371a8b43597e75be4.png)
- Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.
![(a + b ) + c = a + ( b + c )\,](/wikipedia/images/math/0/e/e/0eedf16c9bcd15628103cdb83b3f7155.png)
- Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.
![0 + a = a \,](/wikipedia/images/math/3/a/3/3a3494e8733d01ba9f03ac04ffd8993f.png)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9f/Mywhyu.jpg/22px-Mywhyu.jpg)
A look behind the fundamental properties of the most basic arithmetic operation, addition.
(Disponibles los subtítulos en inglés)
Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de la suma de números naturales.
Resta
- Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra, es decir, calcular la diferencia.
- La resta de dos números naturales, a y b, se representa: a-b=c
- a es el minuendo, b el sustraendo y c la diferencia.
La resta de números naturales no cumple las propiedades de la suma:
- No es operación interna:
.
- No cumple la propiedad conmutativa:
- Ni la asociativa:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
a)
b)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
Practica con las operaciones de suma y resta de números naturales y con sus propiedades.
![](/wikipedia/images/thumb/b/b5/Anaya_logo.jpg/22px-Anaya_logo.jpg)
Cálculo mental con restas.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre la resta de números naturales.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Sumas y restas |
(Pág. 13)
Multiplicación o producto de números naturales
Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.
- Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
- Dados dos números naturales a y b, su producto se representa
.
- a y b se llaman factores y c se denomina producto.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
a)
b)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/b/b5/Anaya_logo.jpg/22px-Anaya_logo.jpg)
Cálculo mental con multiplicaciones.
Propiedades de la multiplicación de números naturales
Propiedades de la multiplicación
- Operación interna: El producto de dos números naturales es otro número natural:
![a , \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{N}](/wikipedia/images/math/0/3/d/03d78b99861589217f6e2216910e3ba3.png)
- Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.
![a \cdot b = b \cdot a\,](/wikipedia/images/math/e/0/5/e052dd3eff167774700099578304a57f.png)
- Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.
![(a + b ) + c = a + ( b + c )\,](/wikipedia/images/math/0/e/e/0eedf16c9bcd15628103cdb83b3f7155.png)
- Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o rsta) de los productos del número por cada sumando.
![a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c](/wikipedia/images/math/1/f/8/1f8f23cadbcc89400be728919a5c6282.png)
- Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.
![1 \cdot a = a \,](/wikipedia/images/math/5/5/9/559f9d27614c37c61b44027565127212.png)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9f/Mywhyu.jpg/22px-Mywhyu.jpg)
The commutative property is common to the operations of both addition and multiplication and is an important property of many mathematical systems.
(Disponibles los subtítulos en inglés)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9f/Mywhyu.jpg/22px-Mywhyu.jpg)
A look at the logic behind the associative and distributive properties of multiplication.
(Disponibles los subtítulos en inglés)
Ejemplo: Propiedad distributiva del producto
Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?
Podemos resolver el problema de dos formas:
- Primera forma:
- Alfredo----->
- Teresa------>
- Total--------->
€
- Alfredo----->
- Segunda forma:
- Alfredo y Teresa compran 4 + 2 entradas
- Luego en total gastan entre los dos:
€
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Ejemplos de uso de la propiedad distributiva y de cómo se saca factor común.
Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades del producto de números naturales.
Producto por 10, 100, 1000, ....
Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Multiplicación |
(Pág. 14-15)
División de números naturales
Sean
|
Algoritmo de la división
Dados y
, dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales,
y
, tales que:
|
es el dividendo,
el divisor,
el cociente y
el resto.
Ver demostración en Wikipedia
![](/wikipedia/images/thumb/b/b5/Anaya_logo.jpg/22px-Anaya_logo.jpg)
![](/wikipedia/images/thumb/b/b5/Anaya_logo.jpg/22px-Anaya_logo.jpg)
Cálculo con divisiones.
Actividad: Cociente y resto Calcula:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
|
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
División de números naturales. Algoritmo de la división. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/21/Paps.jpg/22px-Paps.jpg)
Aprende a dividir por una cifra
![](/wikipedia/images/thumb/2/21/Paps.jpg/22px-Paps.jpg)
Aprende a dividir por dos cifras
![](/wikipedia/images/thumb/f/f8/Web.png/22px-Web.png)
Videotutoriales para aprender a dividir por 1, 2 o 3 cifras.
Cociente por defecto y por exceso
Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso
Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.
- a) ¿Cuántos taxis completarán?
- b) ¿Cuántos taxis se necesitan?
- c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?
a) Completan 10 taxis y sobran 3 turistas. ()
b) Se necesitan 11 taxis, aunque en el último taxi quede un asiento libre.
Propiedades de la división de números naturales
Propiedades
- No es una operación interna: La división de de números naturales no siempre es un número natural
- La división no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.
- Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.
- Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.
Practica con las operaciones de multiplicación y división de números naturales y con sus propiedades.
Ejercicios de autoevaluación sobre la división de números naturales y sus propiedades.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: División |
(Pág. 16-17)
Operaciones combinadas
Jerarquía de las operaciones
- Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
- Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
- Las multiplicaciones y las divisiones.
- Las sumas y las restas.
- Cuando aparecen paréntesis dentro de otros paréntesis, se puede optar por cambiar los paréntesis más exteriores por corchetes, con el fin de facilitar la lectura de la operación.
- Cuando resuelvas los paréntesis puedes completar las operaciones que encierren o aplicar la propiedad distributiva.
- En cada uno de los pasos que des para resolver una expresión con operaciones combinadas se puede llevar a cabo más de una operación, siempre que no suponga romper el orden que acabamos de establecer.
- No se incluyen las potencias ni las raíces en este esquema, pues estas operaciones se veran en otro tema. Lo que haremos será resolverlas después de resolver los paréntesis, antes de las multiplicaciones y divisiones.
Efectúa las siguientes operaciones combinadas:
Solución:
- Los paréntesis
- Las multiplicaciones y divisiones
- Las sumas y restas
Practica las operaciones combinadas con números naturales y con su jerarquía.
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Uso de la prioridad en las operaciones combinadas de números naturales. Ejemplos.
Autoevaluación
Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones combinadas.
En esta escena podrás practicar la suma y resta con 4 números naturales, con o sin paréntesis.
En esta escena podrás practicar operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis, con 3 números naturales.
En esta escena podrás practicar operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis, con 4 números naturales.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: División |
Calculadora
Suma, resta, multiplicación y división
Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división |
Paréntesis
Calculadora: Paréntesis |