Plantilla:Identidades notables

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Los productos notables son unas identidades de ciertos productos de binomios que resultan útiles para abreviar los cálculos con expresiones algebraicas.

Productos notables

Cuadrado de una suma: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\!$

Cuadrado de una diferencia: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \;\!$

Suma por diferencia: $(a + b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \;\!$

Demostración:

Cuadrado de una suma:

$(a + b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\!$

Demostración visual del cuadrado de una suma Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una suma

Cuadrado de una diferencia:

$(a - b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a^2-ab-ba+b^2 = a^2 - 2ab + b^2 \;\!$

Demostración visual del cuadrado de una diferencia Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una diferencia

Suma por diferencia:

$(a + b) \cdot (a-b) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2 \;\!$

Demostración visual de la suma por diferencia Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula de la suma por diferencia

Ejemplos: Productos notables

Calcula:

a) $(5x-2)^2 \;\!$

b) $(2x-3)(2x+3) \;\!$

Solución:

a) $(5x-2)^2 = (5x)^2-2 \cdot (5x) \cdot 2+2^2=25x^2-20x+4 \;\!$

b) $(2x-3)(2x+3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9 \;\!$

Productos notables

Actividad 1a (Cuadrado de una suma) Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad del cuadrado de una suma.

Actividad 1b (Cuadrado de una diferencia) Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad del cuadrado de una diferencia.

Actividad 1c (Suma por diferencia) Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad de la suma por diferencia.

Autoevaluación 1a Descripción:

Productos notables.

Autoevaluación 1b Descripción:

Productos notables.

Productos notables

Tutorial 1 (9'38") Sinopsis:

Productos notables. Ejemplos.

Tutorial 2a (1'53") Sinopsis:

Las tres identidades notables.

Tutorial 2b (5'43") Sinopsis:

La identidad notable cuadrado de una suma. Ejemplos.

Tutorial 2c (4'29") Sinopsis:

La identidad notable cuadrado de una diferencia. Ejemplos.

Tutorial 2d (3'15") Sinopsis:

La identidad notable suma por diferencia. Ejemplos.

Tutorial 3a (5'48") Sinopsis:

Fórmulas del cuadrado de una suma y de una diferencia.
Ejemplos::

a) $(x+3)^2\;$

b) $(2n-7m)^2\;$

Tutorial 3b (6'08") Sinopsis:

Fórmula de la suma por diferencia.
Ejemplos:

a) $(2x+3y)(2x-3y)\;$

b) $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})\;$

c) $(x-a)(x+a)\;$

Tutorial 4 (14'05") Sinopsis:

Como se desarrollan un binomio al cuadrado y una suma por diferencia.

Tutorial 5 (25'26") Sinopsis:

Explicación de las igualdades o identidades notables y ejemplos resueltos.

Ejercicio 1a (8'39") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(2x+3)^2\,$

b) $(3m+2n)^2\,$

c) $(3x^4-5)^2\,$

d) $(5x-\sqrt{7})^2\,$

Ejercicio 1b (9'11") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(4x+7y)(4x-7y)\,$

b) $(\sqrt{5}w-3z^5)(\sqrt{5}w+3z^5)\,$

c) $(2\sqrt{3}a-3\sqrt{5}b^3)(2\sqrt{3}a+3\sqrt{5}b^3)\,$

Ejercicio 2a (2'17") Sinopsis:

Desarrolla: $(3x+5y)^2\,$

Ejercicio 2b (4'23") Sinopsis:

Desarrolla: $(2x^3+9y^4)^2\,$

Ejercicio 2c (1'33") Sinopsis:

Desarrolla: $(7m-3c)^2\,$

Ejercicio 2d (5'44") Sinopsis:

Desarrolla: $(4K^2L-5K^6L^3)^2\,$

Ejercicio 2e (2'01") Sinopsis:

Desarrolla: $(5m^3+3n^4)\cdot(5m^3-3n^4)\,$

Ejercicio 3 (5'54") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(x+2)\cdot(x-2)\,$

b) $(x+\sqrt{2})\cdot(x-\sqrt{2})\,$

c) $(\cfrac{1}{4}+\cfrac{2x}{3})\cdot(\cfrac{1}{4}-\cfrac{2x}{3})\,$

d) $(3\sqrt{5}+4x)\cdot(3\sqrt{5}-4x)\,$

e) $(\cfrac{2a}{3}+\cfrac{2}{a})\cdot(\cfrac{2a}{3}-\cfrac{2}{a})\,$

Ejercicio 4a (8'05") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

2a) $(2a-b)(2a+b)\;$

2b) $(\cfrac{2}{3}x-\cfrac{5}{6}y^2)(\cfrac{2}{3}x+\cfrac{5}{6}y^2)\;$

2c) $(3x-2y)^2\;$

2d) $(3x+2y)^2\;$

2e) $(x^2+\cfrac{x}{3})(x^2-\cfrac{x}{3})\;$

Ejercicio 4b (4'33") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

4a) $(x-2a)^2\;$

4b) $(x+2a)^2\;$

4c) $(2x+1)^2\;$

4d) $(2x-1)^2\;$

Ejercicio 4c (10'51") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

5a) $(3x+1)^2\;$

5b) $(3x-1)^2\;$

5c) $(2x+3)^2\;$

5d) $(5x^2+3x)^2\;$

5e) $(5x^2-3x)^2\;$

5f) $(x+2)(x-2)\;$

5g) $(3x^2+3)^2\;$

5h) $(x^2+6)(x^2-6)\;$

5i) $(6x-3)(6x+3)\;$

5j) $(2x-\cfrac{1}{2})(2x+\cfrac{1}{2})\;$

5k) $(6x-3)^2\;$

5l) $(6x+3)^2\;$

Ejercicio 5a (5'56") Sinopsis:

Calcula: $(x+3)(x-3)\;$

Ejercicio 5b (7'19") Sinopsis:

Calcula: $(x+7)^2\;$

Ejercicio 5c (2'30") Sinopsis:

Calcula: $(2x+8)(2x-8)\;$

Ejercicio 5d (3'59") Sinopsis:

Calcula: $(7x+10)^2\;$

Ejercicio 5e (8'27") Sinopsis:

Halla el área de un cuadrado cuyo lado mide $(6x-5y)\;$ .

Ejercicio 5f (10'35") Sinopsis:

Calcula:

a) $(x+9)^2\;$

b) $(x+b)^2\;$

c) $(3x-7)^2\;$

d) $(4x^2+y^2)^2\;$

e) $(2x-1)(2x+1)\;$

f) $(5a-2b)(5a+2b)\;$

Ejercicios 6a (7'50") Sinopsis:

Calcula:

a) $(x+5)^2\;$

b) $(x-5)^2\;$

c) $(x+5)(x-5)\;$

d) $(x+\cfrac{1}{2})^2\;$

e) $(x-\cfrac{1}{2})^2\;$

f) $(x+\cfrac{1}{2})(x-\cfrac{1}{2})\;$

g) $(x+\cfrac{3}{5})^2\;$

h) $(x-\cfrac{3}{5})^2\;$

i) $(x+\cfrac{3}{5})(x-\cfrac{3}{5})\;$

j) $(4x+3)^2\;$

k) $(4x-3)^2\;$

l) $(4x+3)(4x-3)\;$

m) $(2x+\cfrac{1}{3})^2\;$

n) $(2x-\cfrac{1}{3})^2\;$

o) $(2x+\cfrac{1}{3})(2x-\cfrac{1}{3})\;$

p) $(x^3+4)^2\;$

q) $(x^3-4)^2\;$

r) $(x^3+4)(x^3-4)\;$

s) $(6x^2+1)^2\;$

t) $(6x^2-1)^2\;$

u) $(6x^2+1)(6x^2-1)\;$

Otras identidades de interés (para ampliar)

Tutorial 1 (Cubo de un binomio) (12'34") Sinopsis:

Cubo de una suma: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\;$
Cubo de una diferencia: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\;$

Ejemplos.

Tutorial 1b (Suma y diferencia de cubos) (8'18") Sinopsis:

Suma de cubos: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\;$
Diferencia de cubos: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\;$

Ejemplos.

Tutorial 1c (Trinomio al cuadrado) (3'37") Sinopsis:

Cuadrado de un trinomio: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\;$

Ejemplos.

Tutorial 2a (Cubo de una suma) (6'00") Sinopsis:

Desarrollo del cubo de suma.

Tutorial 2b (Cubo de una diferencia) (5'48") Sinopsis:

Desarrollo del cubo de diferencia.

Tutorial 2c (Cuadrado de un trinomio) (7'16") Sinopsis:

Cuadrado de un trinomio.

Ejercicio 1 (9'47") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados de trinomios:

1a) $(x-y+z)^2\;$

1b) $(2x-3y+z)^2\;$

1c) $(2x+y-z)^2\;$

1d) $(2x+y-2z)^2\;$

1e) $(x-y-1)^2\;$

1f) $(2x+y+2)^2\;$

Ejercicio 2 (10'04") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados de trinomios:

3a) $(x^2-2x+3)(x^2-2x+3)\;$

3b) $(x^2-3x+3)(x^2-3x+3)\;$

3c) $(x^2-4x+2)(x^2-4x+2)\;$

3d) $(x^2+6x-5)(x^2+6x-5)\;$

Ejercicio 3 (18'11") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados y cubos:

6a) $(x+y+z)^2\;$

6b) $(x+y+1)^2\;$

6c) $(x-y-1)^2\;$

6d) $(x-y+z+1)^2\;$

6e) $(x-2y+z-1)^2\;$

6f) $(x+3y+z+3)^2\;$

6g) $(x+a)^3\;$

6h) $(2x+1)^3\;$

6i) $(3x+2)^3\;$

6j) $(x-1)^3\;$

6k) $(x-2)^3\;$

6l) $(2x-4)^3\;$

Ejercicios (para ampliar)

Ejercicio 1 (8'42") Sinopsis:

a) Sabiendo que $a+b=5\;$ y que $a \cdot b = 7\;$ , halla $a^2+b^2\;$ .

b) Sabiendo que $\left(a+\cfrac{1}{a}\right)^2=3\;$ , halla $a^3+\cfrac{1}{a^3}\;$ .

Ejercicio 2 (10'41") Sinopsis:

a) Efectúa: $30001^2-30000^2\;$ .

b) Halla la sexta potencia de $\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}$ .

c) Sabiendo que $a+b=\sqrt{5}\;$ y que $a \cdot b = 3\;$ , halla $(a-b)^2\;$ .

Ejercicio 3 (5'29") Sinopsis:

a) Reducir: $\cfrac{(3x+4y)^2-(3x-4y)^2}{xy}$ .

b) Efectúa: $(a+2)(a-2)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)+64\;$ .

Ejercicio 4 (6'16") Sinopsis:

Halla: $P=\cfrac{(3y)^2}{x^2}+\cfrac{y^3}{x^3}+\cfrac{2x}{y}$ , sabiendo que $\cfrac{yx}{2xy-(x+y)^2}=-\cfrac{1}{2}$ .

Ejercicio 5 (10'54") Sinopsis:

a) Sabiendo que $a+b=6\;$ y que $a^2+b^2 = 30\;$ , halla $R=\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{a}\;$ .

b) Si $(a+b+c+d)^2=4(a+b)(c+d)\;$ , calcula $\sqrt[2(a+b)]{4^{c+d}}$

Ejercicio 6 (5'38") Sinopsis:

Hallar $M=a^3+\cfrac{1}{a^3}\;$ sabiendo que $a^2-3a+1=0\;$ .

Productos notables

Actividad: Productos notables

Calcula:

a) $(3x+5)^2 \;\!$

b) $(x-2)(x+2) \;\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) expand (3x+5)^2

b) expand (x-2)*(x+2)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Identidades_notables"

-{{Teorema|titulo=Productos notables|enunciado=
+{{Definición: Productos notables}}
-*'''Cuadrado de una suma:''' <math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2  \;\!</math>
 {{p}}
-*'''Cuadrado de una diferencia:''' <math>(a - b)^2 = a^2  - 2ab + b^2 \;\!</math>
+{{Ejemplos: productos notables}}
 {{p}}
-*'''Suma por diferencia:''' <math>(a + b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2  \;\!</math>
+{{Actividades: Productos notables}}
-|demo=
+{{Videos: identidades notables}}
-* '''Cuadrado de una suma:'''
+{{Videos: identidades (para ampliar)}}
+{{Wolfram: Productos notables}}
-:<math>(a + b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2 + 2ab + b^2   \;\!</math>
-{{Geogebra_enlace
-|descripcion=Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una suma
-|enlace=[https://ggbm.at/pDKBV68M Demostración visual del cuadrado de una suma]
-}}
-{{p}}
-* '''Cuadrado de una diferencia:'''
-:<math>(a - b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a^2-ab-ba+b^2 = a^2 - 2ab + b^2   \;\!</math>
-{{Geogebra_enlace
-|descripcion=Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una diferencia
-|enlace=[https://ggbm.at/BHhPx64X Demostración visual del cuadrado de una diferencia]
-}}
-{{p}}
-* '''Suma por diferencia:'''
-:<math>(a + b) \cdot (a-b) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2   \;\!</math>
-{{Geogebra_enlace
-|descripcion=Escena que demuestra geométricamente la fórmula de la suma por diferencia
-|enlace=[https://ggbm.at/vycXAFBG Demostración visual de la suma por diferencia]
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-{{Ejemplo
-|titulo=Ejemplos: ''Productos notables''
-|enunciado=
-Calcula:
-:a) <math>(5x-2)^2 \;\!</math>
-:b) <math>(2x-3)(2x+3) \;\!</math>
-|sol=
-a) <math>(5x-2)^2 = (5x)^2-2 \cdot (5x) \cdot 2+2^2=25x^2-20x+4  \;\!</math>
-b) <math>(2x-3)(2x+3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9 \;\!</math>
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-|titulo1=Ejemplo 1: Cuadrado de una suma
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-|titulo1=Ejemplo 3: Cuadrado de una diferencia
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-|titulo1=Ejemplo 4: Cuadrado de una diferencia
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-{{Video_enlace_julioprofe
-|titulo1=Ejemplo 5: Suma por diferencia
-|duracion=2'01"
-|sinopsis=Desarrolla: <math>(5m^3+3n^4)\cdot(5m^3-3n^4)\,</math>
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-|sinopsis=5 ejemplos.
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-{{wolfram desplegable|titulo=Productos notables|contenido=
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-:Calcula:
-:a) <math>(3x+5)^2 \;\!</math>
-:b) <math>(x-2)(x+2) \;\!</math>
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-|sol=
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
-:a) {{consulta|texto=expand (3x+5)^2}}
-:b) {{consulta|texto=expand (x-2)*(x+2)}}
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-}}
-}}
-}}

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