Ecuaciones de segundo grado. Resolución (2º ESO)

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Revisión de 04:50 13 sep 2017

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Tabla de contenidos

(Pág. 148)

Ecuación de segundo grado

  • Una ecuación de segundo grado con una incógnita, x\;\!, es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0
  • Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

ejercicio
Ejemplos
  • 2x+3x^2=1-x\; es una ecuación de segundo grado completa, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: 3x^2+3x-1=0\;
  • 2x+3x^2=2x-3\; es una ecuación de segundo grado incompleta, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: 3x^2+3=0\;
  • 2x+3x^2+1=1-x\; es una ecuación de segundo grado completa, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: 3x^2+3x=0\;
  • 2x+3x^2=1+3x^2\; no es una ecuación de segundo grado, ya que al reducirla resulta una ecuación de primer grado: 2x-1=0\;

La ecuación de segundo grado (3´38")     Sinopsis:

Definición de ecuación de segundo grado.

La ecuación de segundo grado     Descripción:

Actividades en la que aprenderás a identificar los coeficientes de una ecuación de segundo grado y a determinar si es completa o incompleta.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones

(Pág. 148)

1, 2

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Ecuación de segundo grado completa

ejercicio

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0

son:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

donde el signo (\pm) significa que una solución se obtiene con el signo (+)\;\! y otra con el signo (-)\;\!.

Demostración:

A continuación tienes la demostración en videtutorial y por escrito:

video
Demostración
Demostración 1 (1'00")     Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 2 (10'05")     Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 3 (7'48")     Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 4 (9'13")     Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración:

1. Se divide la ecuación por a\;\!:

x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0

2. Se multiplica y divide por 2\;\! el coeficiente de la x\;\!:

x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0

3. Se suma a los dos miembros de la igualdad \cfrac{b^2}{4a^2}:

x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}

4. Se pasa restando a la derecha \cfrac{c}{a}:

x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}

5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de \left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2:

\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}

6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:

x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}

7. Se despeja x:

x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}

8. Se simplifica la expresión:

x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

ejercicio
Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado resueltas

    En la escena, pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos.

video
Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula
Tutorial 1 (cómo usar la fórmula) (7'37")     Sinopsis:

Cómo utilizar la fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Tutorial 2 (8'37")     Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 3 (14'06")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado aplicando la fórmula general de resolución.

Tutorial 4 (16'33")     Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 5a (8'34")     Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 5b (13'08")     Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Ejercicio 1 (3'17")     Sinopsis:

Escribe en forma general e identifica los coeficientes "a", "b", y "c": 6x2 + 3 = 2x − 6.

Ejercicio 2 (8'38")     Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: − x2 + 8x = 1.

Ejercicio 3 (4'53")     Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: − 3x2 + 10x − 3 = 0.

Ejercicio 4 (6'58")     Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: − 7q2 + 2q + 9 = 0.

video
Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula
Actividad 1     Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Actividad 2     Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 1     Descripción:

Resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 3     Descripción:

  1. Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
  2. Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones.
  3. Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución".
Ejercicios     Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado completas.

wolfram
Resolución de las ecuaciones de segundo grado
wolfram

Actividad: Resolución de las ecuaciones de segundo grado

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4x^2+4x+1=0 \;
b) x^2+x-12=0 \;

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve 4x^2+4x+1=0      b) solve x^2+x-12=0

video
Resolución de ecuaciones de segundo grado completas
Tutorial 1 (8'37")     Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas. Ejemplos.

Tutorial 2 (14'06")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado aplicando la fórmula general de resolución.

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado     Descripción:

  1. Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
  2. Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones.
  3. Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución".

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0\;\!, es incompleta, si b=0\; ó c=0\;:

  • Si b=0:~ ax^2+c=0
  • Si c=0:~ ax^2+bx=0

ejercicio

Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas

  • En el caso b=0~ (ax^2+c=0 \;), las soluciones se obtienen despejando x\;:
ax^2+c=0 \ \rightarrow \ ax^2=-c \ \rightarrow \ x^2=-\cfrac{c}{a} \ \rightarrow \ x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}
  • En el caso c=0~ (ax^2+bx=0), las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:
ax^2+bx =0 \ \rightarrow \ x \, (ax+b)=0 \ \rightarrow \ \left \{ \begin{matrix} x_1= ~0~~ \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .

ejercicio
Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado incompletas (Caso b=0)

En la escena, pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos.

ejercicio
Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado incompletas (Caso c=0)

En la escena, pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos.

video
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Tutorial 1a (5'54")     Sinopsis:

Ecuaciones de segundo grado sin termino lineal (caso b=0). Ejemplos.

Tutorial 1b (7'04")     Sinopsis:

Ecuaciones de segundo grado sin termino independiente (caso c=0). Ejemplos.

Tutorial 2a (8'39")     Sinopsis:

Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso b=0)

Tutorial 2b (8'28")     Sinopsis:

Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso c=0)

Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso b=0):

Ejercicio 1 (2'14")     Sinopsis:

Resuelve: x^2-81=0\;

Ejercicio 2 (2'33")     Sinopsis:

Resuelve: 49-x^2=0\;

Ejercicio 3 (2'45")     Sinopsis:

Resuelve: 36x^2-25=0\;

Ejercicio 4 (3'16")     Sinopsis:

Resuelve: 4y^2-9=0\;

Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso c=0):

Ejercicio 1 (2'47")     Sinopsis:

Resuelve: x^2+8x=0\;

Ejercicio 2 (3'17")     Sinopsis:

Resuelve: 5x^2-10x=0\;

Ejercicio 3 (3'41")     Sinopsis:

Resuelve: 4x-3x^2=0\;

video
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Actividad 1 (caso b=0)     Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo b=0.

Actividad 2 (caso c=0)     Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo c=0.

Autoevaluación     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado incompletas.

Ejercicios     Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado incompletas.

Ejercicios propuestos

wolfram
Resolución de las ecuaciones de segundo grado
wolfram

Actividad: Resolución de las ecuaciones de segundo grado

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4x^2+4x+1=0 \;
b) x^2+x-12=0 \;

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve 4x^2+4x+1=0      b) solve x^2+x-12=0
ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones

(Pág. 150)

1a,c,g,h,i,k; 2a,f,g,i,l; 3a,c,f,h; 4a,b,d

1b,d,e,f,j,l; 2b,c,d,e,h,j,k; 3b,d,e,g; 4c,e; 5

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