Figuras semejantes (2º ESO)

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==Figuras semejantes== ==Figuras semejantes==
-{{Caja_Amarilla|texto=*Dos figuras son '''semejantes''' si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes. Esto lo expresaremos matemáticamente diciendo que:+{{Figuras semejantes}}
-**Los segmentos correspondientes (homólogos), de una y otra figura, son proporcionales.+
-**Sus ángulos correspondientes son iguales.+
-*Al ser los segmentos homólogos proporcionales, se cumple que la longitud de uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud del correspondiente por una cantidad fija, llamada '''razón de semejanza'''.+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI_cidead+
-|titulo1=Figuras semejantes+
-|descripcion=Actividades para que puedas aprender los concepto de semejanza y de razón de semejanza. También podrás aprender a construir figuras semejantes a una dada.+
-|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/2quincena7/2quincena7_contenidos_2a.htm+
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplos: ''Figuras semejantes''|enunciado=+
-#Tenemos dibujado en un papel un rectángulo de dimensiones 12 cm x 8 cm. Hacemos una fotocopia reducida y obtenemos otro rectángulo de dimensiones 3 cm x 2 cm. Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza. Calcula el procentaje de reducción aplicado en la fotocopia.+
-#Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza de 0.75. Si los lados del mayor miden 12, 8 y 16 cm, respectivamente, ¿cuánto miden los lados del menor?+
-|sol=+
-{{Tabla50|celda2=[[Imagen:rectang_semejantes.jpg|center]]|celda1=+
-'''Solución 1:'''+
- +
-*'''Razón de semejanza:'''+
- +
-Si dividimos las longitudes del rectángulo pequeño entre las correspondientes del grande, obtenemos:+
- +
-<center><math>\cfrac{3}{12}=\cfrac{2}{8}=0.25</math></center>+
- +
-Por tanto la razón de semejanza es 0.25.+
- +
-Observa como los dos rectángulos tienen todos sus ángulos de 90º, es decir, la reducción no ha afectado a los ángulos.+
- +
-*'''Porcentaje de reducción:'''+
- +
-La razón de semejanza puede expresarse en porcentaje:+
- +
-<center><math>0.25 \cdot 100= 25%\;</math></center>+
- +
-Por tanto la fotocopia es una reducción del 25%.+
-}}+
-----+
-{{Tabla50|celda2=[[Imagen:Triangulos semejantes.png|center]]|celda1=+
-'''Solución 2:'''+
- +
-Llamemos ''a'', ''b'' y ''c'', a los lados del triángulo menor, y ''a´'', ''b´'' y ''c´'', a los del mayor.+
- +
-Sabemos que ''a´''=12 cm, ''b´''=8 cm y ''c´''=16 cm.+
- +
-Como la razón de semejanza es 0.75, al dividir los lados del triángulo mayor entre sus correspondientes del menor, el resultado deberá ser 0.75:+
- +
-<center><math>\cfrac{a}{a'}=\cfrac{b}{b'}=\cfrac{c}{c'}=0.75</math></center> +
- +
-Entonces:+
- +
-:<math>\cfrac{a}{12}=0.75 \ \rightarrow \ a=12 \cdot 0.75=9~ cm</math> +
-:<math>\cfrac{b}{8}=0.75 \ \rightarrow \ b=8 \cdot 0.75=6~ cm</math> +
-:<math>\cfrac{c}{16}=0.75 \ \rightarrow \ c=16 \cdot 0.75=12~ cm</math> +
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===

Revisión de 06:58 17 sep 2017

Tabla de contenidos

[esconder]

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Figuras semejantes

Figuras semejantes

  • Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes. Esto lo expresaremos matemáticamente diciendo que:
    • Los segmentos correspondientes (homólogos) son proporcionales.
    • Sus ángulos correspondientes (homólogos) son iguales.
  • Al ser los segmentos homólogos proporcionales, se cumple que la longitud de uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud del correspondiente por una cantidad fija, llamada razón de semejanza.

(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.

ejercicio

Ejemplos: Figuras semejantes

  1. Tenemos dibujado en un papel un rectángulo de dimensiones 12 cm x 8 cm. Hacemos una fotocopia reducida y obtenemos otro rectángulo de dimensiones 3 cm x 2 cm. Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza. Calcula el procentaje de reducción aplicado en la fotocopia.
  2. Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza de 0.75. Si los lados del mayor miden 12, 8 y 16 cm, respectivamente, ¿cuánto miden los lados del menor?

Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes

ejercicio

Propiedades

Si dos figuras son semejantes y k es la constante de proporcionalidad, entonces:

  • La razón entre sus áreas es k2.
  • La razón entre sus volúmenes k3.

ejercicio

Ejemplos: Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes

  1. Comprueba que si un cuadrado tiene 5 cm de lado y el de otro cuadrado mide el doble, 10 cm, entonces el área de éste es el cuádruple de la del primero.
  2. Comprueba que si un cubo tiene 5 cm de arista y la de otro cubo mide el doble, 10 cm, entonces el volumen de éste es 8 veces la del primero.

ejercicio

Ejercicio: Relación entre las áreas de dos figuras semejantes

En una pizzería, la pizza pequeña tiene 23 cm de diámetro y es para una persona. Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm de diámetro, justo el doble que la pequeña, pero dicen que es para 4 personas. ¿Nos están engañando?

La respuesta en la siguiente actividad:

Escala

Cuando representamos una casa en un plano, un coche en una maqueta o la superficie terrestre en un mapa, estamos representando figuras semejantes a las reales. La razón de semejanza entre dichas figuras diremos que es la escala del mapa, de la maqueta o del plano.

La escala es el cociente entre la longitud de un segmento en la reproducción y el correspondiente segmento en la realidad. Esto es, la escala es la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad.

escala=\cfrac{long.~reproduccion}{long.~realidad}.

Tipos de escalas

Existen tres tipos de escalas:

  • Escala natural: Cuando el tamaño del objeto representado en el plano coincide con la realidad. (1:1).
  • Escala de reducción: Se utiliza cuando el tamaño del objeto en el plano es menor que la realidad. Esta escala se utiliza para representar piezas (1:2 ó 1:5), planos de viviendas (1:50), mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor (1:50.000 ó 1:100.000).
  • Escala de ampliación: Se utiliza cuando hay que hacer el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano. En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador. Ejemplos: 2:1 ó 10:1.

Ejercicios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Figuras semejantes

(Pág. 195)

1, 2

(Pág. 196)

Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes

ejercicio

Propiedades

Si la razón de semejanza entre dos figuras es k\;, entonces la razón entre sus áreas es k^2\; y entre sus volúmenes, k^3\;.

ejercicio

Ejemplos: Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes

  1. Comprueba que si un cuadrado tiene 5 cm de lado y el de otro cuadrado mide el doble, 10 cm, entonces el área de éste es el cuádruple de la del primero.
  2. Comprueba que si un cubo tiene 5 cm de arista y la de otro cubo mide el doble, 10 cm, entonces el volumen de éste es 8 veces la del primero.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes

(Pág. 196-197)

3, 4

5

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Figuras_semejantes_%282%C2%BA_ESO%29"
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