Figuras semejantes (2º ESO)
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| ==Figuras semejantes== | ==Figuras semejantes== | ||
| - | {{Caja_Amarilla|texto=*Dos figuras son '''semejantes''' si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes. | + | {{Definición: Figuras semejantes}} |
| - | *El tener la misma forma lo expresaremos matemáticamente diciendo que los segmentos correspondientes de una y otra figura son proporcionales, es decir, la longitud de uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud del correspondiente por una cantidad fija, llamada '''razón de semejanza'''. | + | |
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| {{p}} | {{p}} | ||
| - | {{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado=En dos figuras semejantes se cumple: | ||
| - | *Un ángulo en una de las figuras es igual al ángulo correspondiente en la otra figura. | ||
| - | *Una razón en una de las figuras es igual a la razón correspondiente en la otra figura. | ||
| - | }} | ||
| - | {{p}} | ||
| - | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo 1: ''Figuras semejantes''|enunciado=Tenemos dibujado en un papel un rectángulo de dimensiones 12 cm x 8 cm. Hacemos una fotocopia reducida y obtenemos otro rectángulo de dimensiones 3 cm x 2 cm. | ||
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| - | :a) Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza. | ||
| - | :b) Calcula el procentaje de reducción aplicado en la fotocopia. | ||
| - | :c) Comprueba que se cumplen las propiedades de las figuras semejantes relativas a ángulos y razones. | ||
| - | |sol= | ||
| - | {{Tabla50|celda2=[[Imagen:rectang_semejantes.jpg|center]]|celda1= | ||
| - | '''Solución:''' | ||
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| - | '''a) Razón de semejanza:''' | ||
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| - | Si dividimos las longitudes del rectángulo pequeño entre las correspondientes del grande, obtenemos: | ||
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| - | <center><math>\cfrac{3}{12}=\cfrac{2}{8}=0.25</math></center> | ||
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| - | Por tanto la razón de semejanza es 0.25. | ||
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| - | '''b) Porcentaje:''' | ||
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| - | La razón de semejanza puede expresarse en porcentaje: | ||
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| - | <center><math>0.25 \cdot 100= 25%\;</math></center> | ||
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| - | Por tanto la fotocopia es una reducción del 25%. | ||
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| - | '''c) Propiedades:''' | ||
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| - | *Los dos rectángulos tienen todos sus ángulos de 90º, es decir, la reducción no ha afectado a los ángulos. | ||
| - | *La razón o proporción entre sus lados tampoco se ha visto afectada por la reducción: | ||
| - | **Primer rectángulo: <math>\cfrac{12}{8} = 1.5</math> | ||
| - | **Segundo rectángulo: <math>\cfrac{3}{2} = 1.5</math> | ||
| - | }} | ||
| - | }} | ||
| - | {{p}} | ||
| - | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo 2: ''Figuras semejantes''|enunciado=Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza de 0.75. Si los lados del mayor miden 12, 8 y 16 cm, respectivamente, ¿cuánto miden los lados del menor? | ||
| - | |sol= | ||
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| - | '''Solución:''' | ||
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| - | Llamemos ''a'', ''b'' y ''c'', a los lados del triángulo mayor, y ''a´'', ''b´'' y ''c´'', a los del menor. | ||
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| - | Sabemos que ''a''=12 cm, ''b''=8 cm y ''c''=16 cm. | ||
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| - | Como la razón de semejanza es 0.75, al dividir los lados del triángulo mayor entre sus correspondientes del menor, el resultado deberá ser 0.75: | ||
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| - | <center><math>\cfrac{a'}{a}=\cfrac{b'}{b}=\cfrac{c'}{c}=0.75</math></center> | ||
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| - | Entonces: | ||
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| - | :<math>\cfrac{a'}{12}=0.75 \ \rightarrow \ a'=12 \cdot 0.75=9~ cm</math> | ||
| - | :<math>\cfrac{b'}{8}=0.75 \ \rightarrow \ b'=8 \cdot 0.75=6~ cm</math> | ||
| - | :<math>\cfrac{c'}{16}=0.75 \ \rightarrow \ c'=16 \cdot 0.75=12~ cm</math> | ||
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| ===Ejercicios propuestos=== | ===Ejercicios propuestos=== | ||
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| ==Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes== | ==Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes== | ||
| - | {{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado=Si la razón de semejanza entre dos figuras es <math>k\;</math>, entonces la razón entre sus áreas es <math>k^2\;</math> y entre sus volúmenes, <math>k^3\;</math>.}} | + | {{Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes}} |
| - | {{p}} | + | |
| - | {{Ejemplo|titulo=Ejemplos: ''Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes''|enunciado= | + | |
| - | #Comprueba que si un cuadrado tiene 5 cm de lado y el de otro cuadrado mide el doble, 10 cm, entonces el área de éste es el cuádruple de la del primero. | + | |
| - | #Comprueba que si un cubo tiene 5 cm de arista y la de otro cubo mide el doble, 10 cm, entonces el volumen de éste es 8 veces la del primero. | + | |
| - | |sol= | + | |
| - | '''Solución 1:''' | + | |
| - | + | ||
| - | En efecto, como la razón entre los lados es <math>k=2\;</math>, la razón entre sus áreas es <math>k^2=2^2=4\;</math>. | + | |
| - | + | ||
| - | Si hallamos el área de cada cuadrado lo podremos comprobar: | + | |
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| - | *Área cuadrado pequeño= <math>5^2=25~cm^2\;</math> | + | |
| - | *Área cuadrado grande= <math>10^2=100~cm^2\;</math> | + | |
| - | + | ||
| - | En efecto, el área del grande es el cuádruple del área del pequeño. | + | |
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| - | '''Solución 2:''' | + | |
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| - | En efecto, como la razón entre las aristas es <math>k=2\;</math>, la razón entre sus volúmenes es <math>k^3=2^3=8\;</math>. | + | |
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| - | Si hallamos los volúmenes de cada cubo lo podremos comprobar: | + | |
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| - | *Volumen cubo pequeño= <math>5^3=125~cm^2\;</math> | + | |
| - | *Volumen cubo grande= <math>10^3=1000~cm^2\;</math> | + | |
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| - | En efecto, el volumen del grande es 8 veces el del pequeño. | + | |
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| {{p}} | {{p}} | ||
| ===Ejercicios propuestos=== | ===Ejercicios propuestos=== | ||
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| |titulo=Ejercicios propuestos: ''Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes'' | |titulo=Ejercicios propuestos: ''Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes'' | ||
| |cuerpo= | |cuerpo= | ||
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| + | ==Polígonos semejantes== | ||
| + | {{Polígonos semejantes}} | ||
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| [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | ||
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Tabla de contenidos[esconder] |
(Pág. 194)
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Figuras semejantes
- Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes. Esto lo expresaremos matemáticamente diciendo que:
- Los segmentos correspondientes (homólogos) son proporcionales.
- Sus ángulos correspondientes (homólogos) son iguales.
- Al ser los segmentos homólogos proporcionales, se cumple que la longitud de uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud del correspondiente por una cantidad fija, llamada razón de semejanza.
(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.
Ejemplos: Figuras semejantes
- Tenemos dibujado en un papel un rectángulo de dimensiones 12 cm x 8 cm. Hacemos una fotocopia reducida y obtenemos otro rectángulo de dimensiones 3 cm x 2 cm. Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza. Calcula el procentaje de reducción aplicado en la fotocopia.
- Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza de 0.75. Si los lados del mayor miden 12, 8 y 16 cm, respectivamente, ¿cuánto miden los lados del menor?
Solución:[Mostrar]
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Ejercicios propuestos
 Ejercicios propuestos: Figuras semejantes (Pág. 195)
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(Pág. 196)
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Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes
Propiedades
Si dos figuras son semejantes y k es la constante de proporcionalidad, entonces:
- La razón entre sus áreas es k2.
- La razón entre sus volúmenes k3.
Ejemplos: Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes
- Comprueba que si un cuadrado tiene 5 cm de lado y el de otro cuadrado mide el doble, 10 cm, entonces el área de éste es el cuádruple de la del primero.
- Comprueba que si un cubo tiene 5 cm de arista y la de otro cubo mide el doble, 10 cm, entonces el volumen de éste es 8 veces la del primero.
Solución:[Mostrar]
, la razón entre sus áreas es 
.
.
Ejercicio: Relación entre las áreas de dos figuras semejantes En una pizzería, la pizza pequeña tiene 23 cm de diámetro y es para una persona. Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm de diámetro, justo el doble que la pequeña, pero dicen que es para 4 personas. ¿Nos están engañando? La respuesta en la siguiente actividad: |
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Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes (Pág. 196-197)
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Polígonos semejantes
Dos polígonos son semejantes si cumplen que sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
Propiedades
Si dos polígonos son semejantes y k es la constante de proporcionalidad, entonces:
- La razón entre sus perímetros también es k.
- La razón entre sus áreas es k2.
