El significado de las fracciones (1º ESO)

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Revisión de 18:59 12 oct 2017

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Las fracciones
3 Fracciones propias e impropias
4 La fracción como operador
5 Ejercicios y problemas

(Pág. 122)

Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

Las aventuras de Troncho y Poncho: Fracciones (7'06") Sinopsis:

Si no fuera por las fracciones ni Troncho ni Poncho ni nadie podría celebrar su cumpleaños.

Puedes encontrar ejercicios sobre este vídeo y material similar en: http://www.angelitoons.com/

Las fracciones en nuestra vida cotidiana Descripción:

Actividades en las que se resume lo que se va a ver en este tema.

Las fracciones

Cuando necesitamos expresar cantidades con partes de la unidad, además de los números decimales, disponemos de las fracciones.

Una fracción es un número que expresa una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales. Se representa $\frac{a}{b}\;$ , o bien, $a/b\;$ :

A $b\;$ se le llama denominador y representa las partes en que se divide la unidad.

A $a\;$ se le llama numerador y representa las porciones que tomamos.

El valor de la fracción es el número que resulta de dividir el numerador entre el denominador.

$Fig. 1: Fracciones representadas mediante diagramas de tarta. La unidad es también una fracción cuyo numerador y denominador valen ambos 1$

Fig. 1: Fracciones representadas mediante diagramas de tarta. La unidad es también una fracción cuyo numerador y denominador valen ambos 1

Fig. 2: Coger 2 partes de 5 equivale a coger 4 décimas de 1 unidad.

Ejemplo:

En la Fig. 1 tienes algunos ejemlos de fracciones representadas mendiante los llamados diagramas de tarta.

El valor de cada fracción se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador:

$\cfrac{1}{1}= 1 \, ; \qquad \cfrac{1}{2}= 0.5 \, ; \qquad \cfrac{1}{4}=0.25 \, ; \qquad \cfrac{3}{4}= 0.75$

Fíjate que la unidad se puede representar mediante una fracción que tenga el mismo numerador que denominador.

En la Fig. 2 está representada la fracción 2/5. Fíjate como al hacer la división 2:5=0.4, se obtienen 4 décimas, que ocupan la misma porción que la fracción 2/5. Es decir, una fracción equivale a una división indicada.

¿Qués son las fracciones? (7'06") Sinopsis:

Concepto de fracción. Fracciones propias e impropias.

Autoevaluación: Significado de las fracciones Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el significado de las fracciones.

Representación gráfica de las fracciones y de su expresión decimal

Tutorial 1 (5'08") Sinopsis:

Representación gráfica de fracciones y de su expresión decimal.

Tutorial 2 (19'26") Sinopsis:

Tutorial que explica el concepto de fracción y su representación gráfica, en partes de la unidad y en la recta numérica.

00:00 a 04:14: Conceptos básicos. Ejemplos introductorios.
04:14 a 05:38: Definición matemática de fracción.
05:38 a 09:45: Representación de fracciones como partes de la unidad (Ejemplos).
09:45 a 19:26: Representación de fracciones en la recta numérica (Ejemplos).
11:25 a 13:45: Aplicación del Teorema de Tales para la división de segmentos en partes iguales.

Las fracciones Descripción:

Actividad en la que se muestra y practica el concepto de fracción.
Actividad en la que se explica y practica la representación de fracciones en la recta numérica.

Cómo se leen las fracciones Descripción:

Actividades en las que se explica y practica cómo se lee una fracción.

Exposición: Las fracciones Descripción:

Actividades: La fracción como parte del todo y como división indicada Descripción:

Fracciones propias e impropias

¿Qué pasa si el numerador es mayor que el denominador? ¿Cómo se interpreta el hecho de tomar más partes de la unidad de las que que hay?

Vamos a dar respuesta a estas preguntas a continuación, pero primero necesitamos ver los conceptos de fracción propia e impropia.

Fracciones propias son aquellas cuyo numerador (en valor absoluto) es menor que el denominador (en valor absoluto). Su valor absoluto es menor que 1.
Fracciones impropias son aquellas que no son propias. Su valor absoluto es mayor que 1.

Ejemplos:

$\cfrac{3}{5}\;$ es una fracción propia porque 3 < 5.

$\cfrac{7}{2}\;$ es una fracción impropia porque 7 > 2.

Fracciones propias e impropias (12'11") Sinopsis:

Representación gráfica de fracciones propias e impropias.

Fracciones propias e impropias Descripción:

Actividad en la que debes separar las fracciones propias de las impropias

Fracciones propias e impropias

Actividad: Números racionales

a) Representa la fracción 7/9 en forma de diagrama de tarta.

b) Representa la fracción 22/6 en forma de diagrama de tarta.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) pie chart 7/9

b) pie chart 22/6

Proposición

Toda fracción impropia se puede expresar como un número entero más una fracción propia, es decir, como número mixto.

Ejemplo:

La fracción $\cfrac{10}{8}$ es impropia. Es mayor que la unidad y podemos expresarla como número mixto (Ver Fig. 3):

$\cfrac{10}{8}= \cfrac{8}{8} + \cfrac{2}{8} = 1 +\cfrac{2}{8}$

Números mixtos

Tutorial 1 (4'28") Sinopsis:

Números mixtos. Ejemplos de paso de forma fraccionaria a mixta y viceversa.

Conversión de fracción impropia a número mixto

Tutorial 1 (7'16") Sinopsis:

Conversión de fracción impropia a número mixto.

Tutorial 2 (3'14") Sinopsis:

Conversión de fracción impropia a número mixto.

Tutorial 3 (5'32") Sinopsis:

Escribiendo una fracción impropia com un número mixto

Ejercicio 1 (3'14") Sinopsis:

Convierte a número mixto la siguiente fracción impropia: $\cfrac{89}{5}$

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Ejercicio 2 (3'18") Sinopsis:

Convierte a número mixto la siguiente fracción impropia: $\cfrac{79}{6}$

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Conversión de número mixto a fracción impropia

Tutorial 1 (5'50") Sinopsis:

Conversión de número mixto a fracción impropia.

Tutorial 2 (7'50") Sinopsis:

Conversión de número mixto a fracción impropia.

Ejercicio 1 (1'03") Sinopsis:

Convierte a fracción impropia el siguiente número mixto: $6 \begin{matrix}\frac{3}{4}\end{matrix}$

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Ejercicio 2 (1'14") Sinopsis:

Convierte a fracción impropia el siguiente número mixto: $-8 \begin{matrix}\frac{2}{5}\end{matrix}$

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Números mixtos

Actividad Descripción:

Números mixtos y fracciones impropias.

Autoevaluación Descripción:

Actividades de nivel variable en las que deberás obtener la forma mixta de una fracción.

Calculadora: Fracciones mixtas

A) Para convertir una fracción impropia a forma mixta usaremos la tecla

B) Para pasar de nuevo a fracción impropia pulsaremos otra vez

Ejemplo:

Operación: A) $\cfrac {7}{3} \ \rightarrow \ 2 \begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix}$ ; B) $2 \begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix} \ \rightarrow \ \cfrac {7}{3}$

Nota: $2 \begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix}=2+\cfrac{1}{3}$

Procedimiento: A) $7\;\!$ $3\;\!$ B)

Solución: A) $2 \lnot 1 \lnot 3$ ; B) $7 \lnot 3\;\!$

Forma mixta de una fracción

Actividad: Expresar fracciones en forma de número mixto

a) Expresa en forma de número mixto: $\cfrac{66}{8}.$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) mixed fraction 66/8

$Fig. 3: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta$

Fig. 3: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta

$\cfrac{10}{8}= 1 +\cfrac{2} {8} > 1$

La fracción como operador

Supongamos que tenemos una cierta cantidad (que llamaremos "el total") y que queremos saber cuánto es una determinada fracción de dicha cantidad (que llamaremos "la parte"). En tal caso, diremos que la fracción actúa como operador de dicha cantidad y procederemos de la siguiente manera : Dividimos la cantidad total entre el denominador, para calcular cuantos grupos del tamaño del denominador podemos hacer, y multiplicamos por el numerador, que representa la cantidad de esos grupos que tomamos.

Fracción de una cantidad

Para calcular una fracción a/b de una cantidad C se divide la cantidad entre el denominador y se multiplica por el numerador. (También podemos multiplicar primero por el numerador y dividir después por denominador, o incluso calcular el valor de la fracción y multiplicarlo por C).

$\cfrac{a}{b} \ \mbox{de} \ C = \cfrac{C}{b} \cdot a = \cfrac{a \cdot C}{b}= \cfrac{a}{b} \cdot C$

Ejemplo 1: Cálculo de la parte conocido el total

Si de un depósito de agua, en el que caben 20 l, sólo están llenas las 2/5 partes, ¿cuánta agua hay en el depósito?

Solución:

Se divide la capacidad total del depósito entre 5, que es el número de partes en que hemos dividido la unidad (el depósito). El resultado se multiplica por 2, que son las partes de depósito que estan llenas:

$\cfrac{2}{5} \ \mbox{de} \ 20=\cfrac{2}{5} \cdot 20 = \cfrac{20}{5} \cdot 2= 4 \cdot 2 = 8 \ l$

Actividades: La fracción como operador Descripción:

Actividad para practicar el cálculo de la fracción de una cantidad de forma guiada.

Actividades: La fracción como operador Descripción:

Ejemplo 2: Cálculo del total conocida la parte

Un depósito de agua tiene 8 l, que son las 2/5 partes de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad total del depósito?

Solución:

Paso a paso:

$\cfrac{2}{5} \ de \ dep \acute{o} sito = 8 \, l \rightarrow \cfrac{1}{5} \ de \ dep \acute{o} sito= 8:2=4 \, l \rightarrow \cfrac{5}{5} \ de \ dep \acute{o} sito = 5 \, \cdot \,4 = 20 \, l$

Directo:

Sea $x\;$ = capacidad del depósito.

$\cfrac{2}{5} \cdot x = 8 \ \rightarrow \ x= \cfrac{8 \cdot 5}{2} = \cfrac{40}{2}=20 \, l$

Esta técnica la aprenderemos cuando veamos las ecuaciones. De momento lo aplicaremos como una la regla práctica.

La fracción como operador

Tutorial 1 (5'14") Sinopsis:

La fracción como operador. Ejemplos.

Tutorial 2 (17'51") Sinopsis:

Tutorial en el que se dan los conceptos matemáticos de proporción y se explica/justifica como calcular proporciones de cantidades o bien la cantidad a la que se le aplicó una proporción.