Plantilla:Potencias de números naturales

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Potencias de números naturales

Antes de empezar Descripción:

Bits, bytes, megas y más.

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

$\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}$ (Se lee: " $a\;$ elevado a $b\;$ ")

El número $a\;$ se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
El número $b\;$ se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Por convenio, se establece que: $a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;$ .
Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

Observación:

Cómo se leen las potencias:

Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

La costumbre de decir cuadrado y cubo proviene de la geometría.

bartolomecossio.com

¡Ojo, no confundir!

Ejemplo:

Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su árbol genealógico:

Ella tiene 2 padres (un padre y una madre): $2^1=2\;$ padres.

Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, ella tiene $2 \cdot 2 = 2^2 = 4$ abuelos.

Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego ella tiene $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$ bisabuelos.

Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; ella tiene $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16$ tatarabuelos.

Ejemplo sacado de: Proyecto Descartes

Potencias de números naturales

Tutorial 1 (6'59") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial 2 (1'32") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial 3 (4'11") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos.

Tutorial 4 (4'49") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos.

Tutorial 5a (9'04") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos

Tutorial 5b (3'45") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente cero. Ejemplos

Tutorial 6 (3'47") Sinopsis:

Potencias de números naturales. Ejemplos

Ejemplos (9'14") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos.

Potencias de números naturales

Actividad 1 Descripción:

Actividad 2 Descripción:

Practica con las potencias de números naturales.

Actividad 3a Descripción:

Introducción a las potencias.

Actividad 3b Descripción:

Elevar números al cuadrado.

Actividad 3c Descripción:

Repaso de potencias.

Actividad 4 Descripción:

Observa cómo varía el resultado al modificar la base y el exponente.

Actividades:

Haz uso de la escena anterior y contesta en tu cuaderno:

¿Qué valor tiene una las potencia cuya base es el número 0, sea cual sea el exponente?
¿Qué valor tiene una potencia cuya base es el número 1, sea cual sea el exponente?
¿Qué valor tiene una potencia cuyo exponente es el número 1, sea cual sea la base?
Calcula $100$ , $101$ , $102$ , $103$ , $104$ .
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos. Calcula los cuadrados de los primeros 15 números naturales.
Las potencias de exponente 3 se llaman cubos perfectos. Calcula los cubos de los primeros 15 números naturales.

Autoevaluación 1 Descripción:

Potencias de números naturales (I)

Autoevaluación 2a Descripción:

Potencias (básico)

Autoevaluación 2b Descripción:

Potencias

Autoevaluación 3 Descripción:

Autoevaluación 4 Descripción:

Elementos de una potencia:

Rellena todas las cajas inferiores y pulsa "intro" al final. Cuando hayas marcado correctamente los tres aparecerá el mensaje CORRECTO, pero si marcas antes un número equivocado ya no aparecerá ese mensaje, por eso, no emplees los triángulos arriba y abajo para variar el número.

Autoevaluación 5 Descripción:

Expresa productos de números como potencias.

Autoevaluación 6 Descripción:

Asocia los resultados de estas potencias:

Problema Descripción:

Ana tiene 5 cajas de bombones. cada caja tiene 5 filas de bombones y cada fila tiene 5 bombones. ¿Cuántos bombones tiene Ana en total?

Potencias de números naturales

Actividad: Potencias

Calcula:

a) $3^5\;$ .

b) $100^0\;$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 3^5

b) 100^0

Calculadora: Potencias

Para calcular potencias usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\cfrac {4^3}{2^4}$

Procedimiento: $4\;\!$ $3\;\!$ $2\;\!$ $4\;\!$

Solución: $4\;\!$

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Propiedades de las potencias de naturales

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$

2. Cociente de potencias de la misma base: $a^m : a^n=a^{m-n}\,\!$

3. Potencia de un producto: $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. Potencia de un cociente: $a^n : b^n=(a : b)^n\,\!$

5. Potencia de otra potencia: $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Ejemplos:

Producto de potencias de la misma base:

$\begin{matrix} 5^4 \cdot 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ \cdot \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4+3} = 5^7 \\ \; \end{matrix}$

Cociente de potencias de la misma base:

$\begin{matrix} 5^4 : 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot \not 5 \cdot \not 5 \cdot \not 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ : \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (\not 5 \cdot \not 5 \cdot \not 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4-3} = 5^1 \\ \; \end{matrix}$

Potencia de un producto:

$(2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 8 \cdot 27 = 216$

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.

Potencia de un cociente:

$(6 : 3)^3 = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

$6^3 : 2^3 = 16 : 27 = 8\;$

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.

Potencia de otra potencia:

$(5^4)^3 = 5^4 \cdot 5^4 \cdot 5^4 = 5^{4+4+4} = 5^{4 \cdot 3} = 5^{12}$

Potencia cero: Cuando se vio la definición de potencia, dijimos que $a^0 = 1\;$ por convenio. Expliquemos ésto ahora un poco mejor:

$\left.\begin{matrix} 5^3:5^3 =5^{3-3}=5^0 \\ 5^3:5^3=125:125=1 \end{matrix}\right\} \ \rightarrow \ 5^0 = 1$

Propiedades de las operaciones con potencias

Tutorial 1 (8'12") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial2 (8'20") Sinopsis:

Producto de potencias de la misma base.
Cociente de potencias de la misma base.
Potencia de otra potencia.
Ejemplos.

Producto de potencias de la misma base (4'26") Sinopsis:

Aprende a multiplicar potencias con la misma base.

Cociente de potencias de la misma base (4'33") Sinopsis:

Aprende a dividir potencias con la misma base.

Potencia de otra potencia (3'43") Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de otra potencia.

Producto de potencias de la misma base (5'11") Sinopsis:

Aprende a multiplicar potencias con la misma base.

Cociente de potencias de la misma base (5'58") Sinopsis:

Aprende a dividir potencias con la misma base.

Potencia de un producto (4'57") Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de un producto.

Potencia de un cociente (5'24") Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de un cociente.

Potencia de una potencia (4'51") Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de una potencia.

Propiedades de las potencias (2'32") Sinopsis:

Enunciados de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejemplos de las propiedades de las potencias (3'28") Sinopsis:

Ejemplos de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 1 (2'09") Sinopsis: