Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Teorema de los senos
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Teorema del coseno
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 Ejercicios
4 Ejercicios y videotutoriales

(Pág. 116)

Teorema de los senos

Teorema de los senos

En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:

$\cfrac{a}{sen \, \hat A}=\cfrac{b}{sen \, \hat B}=\cfrac{c}{sen \, \hat C}$

Además, todos estos cocientes son iguales a $2R\,$ , donde $R\,$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Demostración:

Demostración:

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento $\overline{BO}$ hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro $\overline{BP}$ .

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que $\overline{BP}$ es un diámetro, y además los ángulos $\hat A$ y $\hat P$ son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo arco, $\widehat{BC}$ . Por la definición de seno, se tiene que

$sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

$\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Demostración del teorema de los senos Descripción:

En esta escena podrás ver la demostración del teorema de los senos.

Valor de la constante del teorema de los senos Descripción:

En esta escena podrás comprobar el valor de la constante del teorema de los senos.

Comprobación del teorema de los senos Descripción:

En esta escena podrás comprobar el teorema de los senos.

Ejemplo: Teorema de los senos

Resuelve el triángulo del que se conocen los siguientes datos:

$a = 6 \, m \, , \, \hat B = 45^\circ \, , \, \hat C = 105^\circ$

Solución:

$\hat A=180^\circ -45^\circ - 105^\circ= 30^\circ$

$\cfrac{6}{sen \, 30^\circ}=\cfrac{b}{sen \, 45^\circ} \quad \rightarrow \quad b=6 \cdot \cfrac{sen \ 45^\circ}{sen \, 30^\circ}=6 \cdot \cfrac{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{\cfrac{1}{2}}=6 \, \sqrt{2} \, m$

$\cfrac{6}{sen \, 30^\circ}=\cfrac{c}{sen \, 105^\circ} \quad \rightarrow \quad c=6 \cdot \cfrac{sen \ 105^\circ}{sen \, 30^\circ}=11.6 \, m$

Teorema de los senos

Tutorial 1 (17´23") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja el Teorema del Seno, resolviendo ejercicios en donde se aplica para el cálculo de lados desconocidos de un triángulo.

00:00 a 09:26: Ejemplo introductorio (Ejemplo1).
09:26 a 10:40: Teorema del Seno: Enunciado.
10:40 a 14:45: Teorema del Seno: Demostración.
14:45 a Fin: Aplicación del Teorema del Seno en cálculo del lado de un triángulo (Ejemplo 1).

Tutorial 2 (6´02") Sinopsis:

Teorema de los senos con otra demostración.

Ejercicio (4´20") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=35º, B=61º y a=13 cm.

Problema (9´30") Sinopsis:

Halla la distancia entre dos barcos observados desde bajo ángulos de depresión de 40º y 25º, desde un globo que vuela a 3000 pies.

Teorema de los senos

Actividad: Teorema de los senos

a) Herramienta interactiva para aplicar el teorema de los senos.

b) Halla el ángulo B sabiendo que A=40º, a=6cm y b=8cm.

Solución:

Donde pone "Escribe tu consulta" pon las siguientes expresiones:

a) law of sines

b) law of sines a=6cm, b=8cm, alpha=40º

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Teorema de los senos

(Pág. 117)

5, 6

(Pág. 118)

Teorema del coseno

Teorema del coseno

En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:

$c^2=a^2+b^2-2ab \, cos \, \hat C$

Analogamente:

$b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B$

$a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A$

Demostración:

Demostración del teorema del coseno Descripción:

En esta escena podrás ver la demostración del teorema del coseno.

Demostración:

Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo $\hat A$ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.

Primer caso: $\hat A$ es agudo.

Consideremos la figura adjunta. La altura $h\,$ divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras aplicado a ambos establece que

$c^2 = h^2 + u^2\,$ y $h^2 = a^2 - (b-u)^2\,$

Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos

$c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2=a^2 - b^2 + 2bu\,$

Por la definición de coseno, se tiene:

$cos \, \hat C = \cfrac{b-u}{a} \quad \rightarrow \quad u = b-a \,\cos \hat C\,$

Sustituimos el valor de $u\,$ en la expresión para $c^2\,$ y simplificamos:

$c^2 = a^2-b^2 +2b (b-a cos \, \hat C)$

concluyendo que

$c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C$

y terminando con esto la prueba del primer caso.

Segundo caso: $\hat A$ es obtuso.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que

$c^2 = h^2 + u^2\;$ y $h^2 = a^2 - (b+u)^2\,$

Combinando ambas ecuaciones obtenemos

$c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2= a^2 -b^2 -2bu\,$

De la definición de coseno, se tiene:

$cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a} \quad \rightarrow \quad u = a\, cos \, \hat C -b$

Sustituimos en la expresión para $c^2\,$ y simplificamos

$c^2 = a^2-b^2 -2b(a cos \, \hat C -b)\,$

concluyendo nuevamente

$c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, cos \hat C$

Esto concluye la demostración.

Comprobación del teorema del coseno Descripción:

En esta escena podrás comprobar el teorema del coseno.

Ejemplo: Teorema del coseno

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

Solución:

Aplicamos el teorema del coseno al triángulo AOD:

$\overline{AD}=\sqrt{5^2+6^2-2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot cos \, 48^\circ \, 15'}=4.5877 \, cm$

Ahora aplicamos el teorema del coseno al triángulo AOB

$\widehat{BOA}=180^\circ-48^\circ \, 15'=131^\circ \, 45'$

$\overline{AB}=\sqrt{5^2+6^2-2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot cos \, 131^\circ \, 45'}=10.047 \, cm$

Teorema del coseno

Tutorial 1 (12´44") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja el Teorema del Coseno, resolviendo ejercicios en donde se aplica tanto para el cálculo de lados como el de ángulos.

00:00 a 06:00: Ejemplo introductorio (Ejemplo1).
06:00 a 07:14: Teorema del Coseno: Enunciado.
07:14 a 10:03: Teorema del Coseno: Demostración.
10:03 a 11:05: Aplicación del Teorema del Coseno en cálculo del lado de un triángulo (Ejemplo 1).
11:05 a Fin: Aplicación del Teorema del Coseno para el cálculo de los ángulos de un triángulo, dados sus tres lados del triángulo (Ejemplo 2).

Tutorial 2 (9´38") Sinopsis:

Teorema del coseno con demostración.

Ejercicio 1 (4´24") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que C=42º, a=13 cm y b=8 cm.

Problema 1 (2´54") Sinopsis:

Halla la distancia entre dos cometas sabiendo que un muchacho las sujeta con dos hilos que forman un ángulo de 30º y que miden 400 m y 500 m cada uno.

Problema 2 (9´24") Sinopsis:

De un puerto sale un barco a las 2:00 PM con velocidad constante de 60 km/h hacia el este. A las 3:00 PM sale, del mismo puerto, otro barco con velocidad constante de 40 km/h y con rumbo N18ºE. ¿Qué distancia separa los barcos a las 5:00 PM

Teorema del coseno

Actividad: Teorema del coseno

a) Herramienta interactiva para aplicar el teorema del coseno.

b) Si en un triángulo a=5cm, b=4cm y C=30º, calcula el lado c.

c) Si en un triángulo a=5cm, b=4cm y c=3cm, calcula sus ángulos.

Solución:

Donde pone "Escribe tu consulta" pon la siguiente expresión:

a) law of cosines

b) law of cosines 5cm, 4cm, 30º

b) law of cosines 5cm, 4cm, 3cm

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Teorema del coseno

(Pág. 119)

8a,b,d,g; 9

8c,e,f,h

Ejercicios

Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles Descripción:

Problema resuelto sobre cómo calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles. Se usará el teorema de los senos y el del coseno.

Ejercicios y videotutoriales

Resolución de triángulos cualesquiera

Tutorial (1´37") Sinopsis:

Resolver un triángulo es identificarlo (o sea, determinar sus lados y ángulos); para ello hay que conocer tres de sus elementos, siendo alguno de ellos un lado. Cabe distinguir 4 casos:

Se conocen dos ángulos y un lado.
Se conocen dos lados y el ángulo que forman.
Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Se conocen los tres lados.

Ejercicio 1 (2´57") Sinopsis:

1 ejercicio (Se conocen dos ángulos y un lado).

Ejercicio 2 (9´18") Sinopsis:

Dos ejercicios (Se conocen dos lados y el ángulo que forman).

Ejercicio 3 (7´56") Sinopsis:

Dos ejercicios (Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno)

Ejercicio 4 (6´30") Sinopsis:

Ejercicio (Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno).

Ejercicio 5 (4´35") Sinopsis:

Dos ejercicios (Se conocen los tres lados).

Ejercicio 6 (8´49") Sinopsis:

Ejercicio (Real como la vida misma).

Ejercicio 7 (3´23") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=37º, a=12 m y b=10 m.

Ejercicio 8 (4´11") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=37º, B=52º y c=10 m.

Ejercicio 9 (3´03") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=37º, b=12 m y c=10 m.

Ejercicio 10 (3´03") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=37º, b=12 m y c=10 m.

Ejercicio 11 (6´03") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=70º, b=20 m y c=15 m.

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Categorías: Matemáticas | Geometría

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+'''Demostración:'''
 [[Imagen:terorema senos.png|200px|right|El teorema de los senos establece que ''a/sin(A)'' es constante.]]
 Dado el triángulo '''ABC''', denotamos por '''O''' su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento <math>\overline{BO}</math> hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro <math>\overline{BP}</math>.
-Ahora, el triángulo '''PBC''' es recto, puesto que <math>\overline{BP}</math> es un diámetro, y además los ángulos <math>\hat A</math> y <math>\hat P</math> son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo arco <math>\widehat{BC}</math>. Por la definición de seno, se tiene
+Ahora, el triángulo '''PBC''' es recto, puesto que <math>\overline{BP}</math> es un diámetro, y además los ángulos <math>\hat A</math> y <math>\hat P</math> son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo arco, <math>\widehat{BC}</math>. Por la definición de seno, se tiene que
 <center><math>sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}</math></center>

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