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1 Conjuntos
2 Relaciones entre conjuntos
3 Operaciones con conjuntos
- 3.1 Conjuntos disjuntos
4 Cardinal de un conjunto

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Conjuntos

El concepto de conjunto es primitivo, en el sentido de que no es posible definirlo en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere, pues, la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Un conjunto es una colección de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros.

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Formas de definir un conjunto

Al definir un conjunto es habitual meter sus elementos entre llaves: $A=\{\; ......\;\}$ , siendo irrelevante el orden. Se puede hacer de dos maneras:

Por comprensión: mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.
Por extensión: mediante la lista de todos sus elementos.

Para representarlos gráficamente se usan los llamados diagramas de Venn. (Ver Fig.1)

Fig.1 - Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, A, tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante.

Ejemplo

Si para los números naturales se considera la propiedad de "ser un número natural menor que 5", entonces, el conjunto de los números naturales que cumplen esa propiedad sería:

Por extensión: $A= \{ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \}$
Por comprensión: $A= \{ n\acute{u}meros~ naturales~ merores~ que~ 5 \}$ ó $A= \{ m~ /~ m \in \mathbb{N},~ m < 5 \}$

(En la segunda expresión la barra oblicua "/" significa «tal que». En lugar de la barra oblicua se utiliza también la barra vertical "

|

" o los dos puntos ":")

Determinación de un conjunto

Determinación de un conjunto (8'22") Sinopsis:

Formas de determinar un conjunto: por comprensión y por extensión. Ejemplos.

Ejercicios 1 (6'52") Sinopsis:

Determinar por extensión un conjunto dado por comprensión

Ejercicios 2 (10'23") Sinopsis:

Determinar por comprensión un conjunto dado por extensión

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Conjunto vacío

El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por $\varnothing$ o $\{~ \}$ .

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Conjunto universal

El conjunto universal, que denotaremos por $U\;$ , es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado.

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Relaciones entre conjuntos

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Relación de pertenecia

Un elemento se dice que «pertenece» al conjunto y se denota mediante el símbolo $\in$ , si forma parte de él. Este símbolo lo introdujo Peano. La expresión $a \in A$ se lee «a pertenece a A». Para la noción contraria se usa el símbolo $\notin$ .

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Relación de igualdad

Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa. Por ello, la relación de igualdad entre conjuntos se define como:

Dos conjuntos A y B, son iguales (A=B) si y sólo si tienen los mismos elementos (Axioma de extensionalidad).

Fig.2 - Relación de pertenencia

Consecuencias del axioma de extensionalidad

Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, por extensión o por comprensión, y ser el mismo conjunto.
El orden en el que se listan los elementos no se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos.
Un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Si en la lista aparece un elemento repetido es como si sólo apareciese una vez.
Existe un único conjunto vacío, ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos.

Ejemplo

Repetir elementos o cambiar el orden no define un conjunto nuevo:

$S= \{ a,~ b,~ c,~ d,~ e \}= \{ b,~ d,~ c,~ a,~ e \}=\{ a,~ a, ~b,~ c,~ e,~ d \}$

Ejercico (Igualdad de conjuntos) (6'22") Sinopsis:

Ejercicio sobre igualdad de conjuntos

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Relación de inclusión. Subconjuntos

Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si cada elemento de B es a su vez un elemento de A. (Ver Fig.3)

Lo denotaremos $B \subseteq A$ . También puede escribirse $A \supseteq B$ y se lee "B está incluido en A", "A contiene a B", "B está contenido en A", "A incluye a B" o "A es un superconjunto de B".

B es un subconjunto propio de A si es un subconjunto de A pero no es igual a A.

Lo denotaremos $B \subset A$ ó $A \supset B$

Ejemplos

Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo: $A \subseteq A$
El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
$\{1,~ 3 \} \subset \{ 1,~ 2,~ 3,~ 4 \}$

Fig.3 - Representación de la relación de inclusión mediante diagrama de Venn: Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos es otro conjunto, en particular, un subconjunto del primero.

Ejercicio (Relación de pertenencia y de inclusión) (6'16") Sinopsis:

Ejercicio sobre la relación de pertenencia y de inclusión de conjuntos.

Dado un conjunto, $A\;$ , se llama conjunto potencia de $A\;$ , y se denota por $P(A)\;$ , al conjunto que tiene por elementos a todos los subconjuntos de $A\;$ , .

Conjunto potencia (8'39") Sinopsis:

Definición de conjunto potencia. Ejemplos

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Operaciones con conjuntos

Unión: La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como $A \cup B$ , es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos.

$A\cup B = \{x~/~x\in A \ \or \ x\in B\}$

Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B, que se representa como $A \cap B$ , es el conjunto de todos los elementos comunes a los dos conjuntos.

$A\cap B = \{x~/~x\in A \ \and \ x\in B\}$

Complementario: El complementario de un conjunto A es el conjunto $A^c \;$ (o bien, $A' \;$ ) que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto universal U que lo contiene.

$A^c=\{x~/~x\in U \ \and \ x\not\in A\}$

Diferencia: La diferencia del conjunto A con el conjunto B es el conjunto $A - B \;$ que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.

$A-B=A \cap B^c$

Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto $A \, \triangle \, B$ con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

$A \, \triangle \, B=A \cup B - A \cap B$

Producto cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto $A \times B$ de todos los pares ordenados (a,b) formados con un primer elemento "a" perteneciente a A, y un segundo elemento "b" perteneciente a B.

$A \times B = \{(x,y)~/~x\in A \ \and \ y\in B\}$

Fig.4 - $A \cup B$

Fig.5 - $A \cap B$ .

Fig.6 - $A^c \;$ .

Fig.7 - $A - B \;$ .

Fig.8 - $A \, \triangle \, B$ .

Ejemplos

$\{ 0,~ 1,~ 2 \} \cup \{a, ~b \} = \{0, ~1,~ 2,~ a,~ b \}$

$\{ 0,~ 1,~ 2 \} \cap \{0, ~-1,~ -2 \}=\{ 0 \}$

$\{ 0,~ 1,~ 2 \} - \{0, ~-1,~ -2 \} = \{~1,~ 2 \}$

$\{ 0,~ 1,~ 2 \}~ \triangle~ \{0, ~-1,~ -2 \}=\{1,~2, ~-1,~ -2 \}$

$\{ 0,~ 1,~ 2 \}~ \times ~ \{0,~ -1,~ -2 \}=\{(0,0),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,-1),(1,-2),(2,0),(2,-1),(2,-2) \}$

Operaciones con conjuntos

Operaciones con conjuntos (7'45") Sinopsis:

Operaciones con conjuntos: Unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complementario. Ejemplos

Unión de conjuntos (7'05") Sinopsis:

Ejemplos sobre la unión de conjuntos.

Intersección de conjuntos (6'57") Sinopsis:

Ejemplos sobre la intersección de conjuntos.

Complementario de un conjunto (5'31") Sinopsis:

Ejemplo sobre el complementario de un conjunto.

Diferencia de conjuntos (5'34") Sinopsis:

Ejemplo sobre la diferencia de conjuntos.

Diferencia simétrica de conjuntos (9'33") Sinopsis:

Ejemplo sobre la diferencia simétrica de conjuntos.

Par ordenado (5'41") Sinopsis:

Concepto de par ordenado. Ejemplos.

Producto cartesiano (5'22") Sinopsis:

Ejemplos de producto cartesiano y de su representación gráfica

Ejercicio 1 (3'24") Sinopsis:

Ejercicio sobre operaciones con conjuntos.

Ejercicio 2 (3'23") Sinopsis:

Ejercicio sobre operaciones con conjuntos.

Ejercicio 3 (4'15") Sinopsis:

Ejercicio sobre operaciones con conjuntos.

Operaciones con conjuntos

Actividad: Operaciones con conjuntos

a) Representa $(A \cup B) \cap C$

b) Representa $(A^c \cup B)- C$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) (A union B) intersect C

b) (A' union B) \ C

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Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Es decir, su intersección es el conjunto vacio.

Diagramas de Carrol

Diagramas de Carrol (8'21") Sinopsis:

Diagrama de Carrol: Definición y ejemplos

Problema 1 (7'34") Sinopsis:

Problema sobre diagramas de Carrol.

Problema 2 (7'44") Sinopsis:

Problema sobre diagramas de Carrol.

Problema 3 (8'40") Sinopsis:

Problema sobre diagramas de Carrol.

Problema 4 (11'32") Sinopsis:

Problema sobre diagramas de Carrol.

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Cardinal de un conjunto

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del conjunto. El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal. El cardinal se denota por $card(A) \;$ , $|A \;|$ ó $\#A$ .
En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso, por ejemplo, de los números naturales. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, de manera que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.
A los conjuntos con un solo elemento se les llama conjuntos unitarios.

Ejemplos

Si A= {Días de la semana}, entonces $card(A)=7 \;$

Propiedades

$card(\varnothing)=0 \;$
$card(A \times B)=card(A) \cdot card(B)$
$card(A \cup B)=card(A)+card(B)-card(A \cap B)$
$card(A - B)=card(A)-card(A \cap B)$
$card(A^c)=card(U)-card(A) \;$
$card(A \, \triangle \, B)=card(A)+card(B)-card(A \cap B)$

Cardinal de un conjunto

Ejercicio 1 (4'49") Sinopsis:

Ejercicio sobre conjuntos unitarios.

Ejercicio 2 (4'42") Sinopsis:

Ejercicio sobre cardinales de conjuntos.

Ejercicio 3 (8'56") Sinopsis:

Ejercicio sobre cardinales de conjuntos.

Ejercicio 4 (12'48") Sinopsis:

Ejercicio sobre cardinales de conjuntos.

Ejercicio 5 (13'11") Sinopsis:

Ejercicio sobre cardinales de conjuntos.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Conjuntos"

Categorías: Matemáticas | Conjuntos

-Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
+{{Menú Matemáticas Contenidos Generales
+|ir= |ampliar=
-Un '''conjunto''' es una colección de elementos. Un conjunto puede ser, a su vez, considerado como un elemento de otro conjunto. Los elementos de un conjunto, pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras geométricas]], etc. Se dice que un '''elemento''' pertenece al conjunto si está contenido en él.
+|repasar=
+|enlaces=
-Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
-<center>A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}</center>
-Un conjunto se dice que está definido por '''comprensión''' si se hace mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.
-Un conjunto se dice que está definido por '''extensión''' si se hace dando la lista de todos sus elementos
-Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ''"ser un número primo menor que 15"'', entonces, el conjunto de los números primos menores que 15 sería:
-*Por extensión: <math>P= \{ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13 \}</math>
-*Por comprensión: <math>P= \{ n\acute{u}meros~ primos~ merores~ que~ 15 \}</math>
-Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, Cuando un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
-<center><math>S= \{ Lunes,~ Martes,~ Miércoles,~ Jueves,~ Viernes \}= </math></center>
-<center><math>=\{ Martes,~ Viernes,~ Jueves,~ Lunes,~ Miércoles \}=</math></center>
-<center><math>\{ Lunes,~ Lunes, ~Martes,~ Miércoles,~ Jueves,~ Viernes \}</math></center>
-Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del Sistema Solar es finito.
-== Definición ==
-{{Caja_Amarilla|texto=Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.}}
-Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman '''elementos''' o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo <math> \in </math>. Este símbolo lo introdujo Peano. La expresión <math>a \in A </math> se lee entonces como «''a'' pertenece a ''A''». Para la noción contraria se usa el símbolo <math> \notin </math>.
-=== Notación ===
-[[Archivo:Membership.svg|thumb|280px|'''Relación de pertenencia.''' El conjunto {{math|''A''}} es un conjunto de [[polígono]]s. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.]]
-Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos {{math|''A''}} y {{math|''D''}} se usa una [[intención|definición intensiva]] o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos {{math|''B''}} y {{math|''C''}} se usa una [[Extensión (semántica)|definición extensiva]], listando todos sus elementos explícitamente.
-Es habitual usar [[paréntesis|llaves]] para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:
-:{{math|''B'' {{=}} {verde, blanco, rojo}|}}
-:{{math|''C'' {{=}} {a, e, i, o, u}|}}
-Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad:
-:{{math|''A'' {{=}} {Números naturales menores que 5}|}}
-:{{math|''D'' {{=}} {Palos de la baraja francesa}|}}
-Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
-:{{math|''A'' {{=}} {''m'' : ''m'' es un número natural, y 1 ≤ ''m'' ≤ 5}|}}
-:{{math|''D'' {{=}} {''p'' : ''p'' es un palo de la baraja francesa}|}}
-:{{math|''F'' {{=}} {''n''<sup>2</sup> : ''n'' es un entero y 1 ≤ ''n'' ≤ 10}|}},
-En estas expresiones los [[dos puntos]] («:») significan «tal que». Así, el conjunto {{math|''F''}} es el conjunto de «los números de la forma {{math|''n''<sup>2</sup>}} tal que {{math|''n''}} es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros [[cuadrado (álgebra)|cuadrados]] de [[números naturales]]. En lugar de los dos puntos se utiliza también la [[barra vertical]] («|») u [[barra (tipografía)|oblicua]] «/» .
-=== Igualdad de conjuntos ===
-[[Archivo:PersonsSet.svg|thumb|280px|'''Conjunto de personas.''' El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, {{math|''A''}}, tiene 8 [[elemento de un conjunto|miembros]]. Este conjunto puede representarse mediante [[paréntesis|llaves]] o mediante un [[diagrama de Venn]]. El orden de las personas en {{math|''A''}} es irrelevante.]]
-Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como:
-{{definición|título=Propiedad de la [[Axioma de extensionalidad|extensionalidad]]|1=Dos conjuntos {{math|''A''}} y {{math|''B''}} que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, {{math|1=''A'' = ''B''}}.}}
-Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto {{math|''A''}} de los números naturales menores que 5 es el mismo conjunto que {{math|''A&prime;''}}, el conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También:
-:{{math|''B'' {{=}} {verde, blanco, rojo} {{=}} {colores de la bandera de México}|}}
-:{{math|''C'' {{=}} {a, e, i, o, u} {{=}} {[[vocales]] del [[idioma español|español]]}|}}
-:{{math|''D'' {{=}} {Palos de la baraja francesa} {{=}} {&spades;, &clubs;, &hearts;, &diams;}|}}
-El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:
-:{{math|''B'' {{=}} {verde, blanco, rojo} {{=}} {rojo, verde, blanco}|}}
-:{{math|''C'' {{=}} {a, e, i, o, u} {{=}} {e, i, u, a, o}|}}
-Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:
-:{{math|{1, 2} {{=}} {1, 2, 1}|}}
-En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto de la derecha es que «1» es uno de sus elementos.
-=== Conjunto vacío ===
-{{AP|Conjunto vacío}}
-El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por {{math|{{unicode|∅}}}} o simplemente {}. Existe un único conjunto vacío, ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos.
-=== Subconjuntos ===
-{{AP|Subconjunto}}
-[[Archivo:Subset-2.svg|thumb|280px|'''Subconjunto.''' {{math|''B''}} es un [[subconjunto]] de {{math|''A''}} (en particular un [[subconjunto propio]]).]]
-Un subconjunto {{math|''A''}} de un conjunto {{math|''B''}}, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de {{math|''B''}} (o quizá todos):
-{{definición|1=Un conjunto {{math|''A''}} es un '''subconjunto''' del conjunto {{math|''B''}} si cada elemento de {{math|''A''}} es a su vez un elemento de {{math|''B''}}.
 }}
-Cuando {{math|''A''}} es un subconjunto de {{math|''B''}}, se denota como {{math|''A'' {{unicode|⊆}} ''B''}} y se dice que «{{math|''A''}} está contenido en {{math|''B''}}». También puede escribirse {{math|''B'' {{unicode|⊇}} ''A''}}, y decirse que {{math|''B''}} es un '''superconjunto''' de {{math|''A''}} y también «{{math|''B''}} contiene a {{math|''A''}}» o «{{math|''B''}} incluye a {{math|''A''}}».
+{{p}}
+__TOC__
-Todo conjunto {{math|''A''}} es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de {{math|''A''}} es a su vez un elemento de {{math|''A''}}». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de '''subconjunto propio''': {{math|''A''}} es un subconjunto propio de {{math|''B''}} si es un subconjunto de {{math|''B''}} pero no es igual a {{math|''B''}}. Se denota como {{math|''A'' {{unicode|⊊}} ''B''}}, es decir: {{math|''A'' {{unicode|⊆}} ''B''}} pero {{math|''A'' &ne; ''B''}} (y equivalentemente, para un superconjunto propio, {{math|''B'' {{unicode|⊋}} ''A''}}).<ref group="n">También se utiliza la notación {{math|''A'' {{unicode|⊂}} ''B''}} y {{math|''B'' {{unicode|⊃}} ''A''}}, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, {{math|''A'' {{unicode|⊆}} ''B''}} y {{math|''B'' {{unicode|⊇}} ''A''}}; o subconjunto propio, {{math|''A'' {{unicode|⊊}} ''B''}} y {{math|''B'' {{unicode|⊋}} ''A''}}. Véase [[Subconjunto]].</ref>
+==Conjuntos==
+{{Conjuntos}}
-'''Ejemplos.'''
-:El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
-:{{math|{1, 3} {{unicode|⊊}} {1, 2, 3, 4}}}
-:{{math|{1, 2, 3, 4} {{unicode|⊆}} {1, 2, 3, 4}}}
-=== Conjuntos disjuntos ===
+[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Conjuntos]]
-{{ap|Conjuntos disjuntos}}
-Dos conjuntos {{math|''A''}} y {{math|''B''}} son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los [[números racionales]] y los [[números irracionales]] son disjuntos: no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La [[intersección de conjuntos|intersección]] de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío.

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