Progresiones geométricas
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| - | Es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija. A esa cantidad fija, r, la llamamos razón | + | |
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| - | Sean a1, a2, a3, ..... términos de una progresión geométrica de razón r. Por lo tanto, | ||
| - | a2 = a1· r = a1· r1 | + | ===Actividades=== |
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| - | a3 = a2·r = a1·r·r = a1· r2 | + | |
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| - | a4 = a3·r = a1·r2·r = a1· r3 | + | |
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| - | an = a1· rn-1 | + | |
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| - | ===Suma de términos de una progresión geométrica=== | + | |
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| - | La suma de los '''n''' primeros términos de una progresión geométrica es: | + | |
| - | <center><math>S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}</math></center> | + | |
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| - | |enunciado='''1.''' | + | |enunciado='''2.''' ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 2 y el cuarto término 250? |
| + | |sol=<math>250=2 \cdot r^3; \; 125=r^3; \; r=5</math> | ||
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| - | |enunciado='''2.''' | + | |enunciado='''3.''' Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas? |
| - | |sol= | + | |sol= <math>a_n=3^n; \; a_{13}=3^{13}=1594323</math> |
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| {{ejercicio_cuerpo | {{ejercicio_cuerpo | ||
| - | |enunciado='''3.''' | + | |enunciado='''4.''' Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa por el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso. |
| - | |sol= | + | |
| + | Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor? | ||
| + | |sol= a) <math> S_{64}= \frac{1 \cdot 2^{64}-1}{2-1}=2^{64}-1= 18446744073709551615 </math> | ||
| + | {{p}} | ||
| + | b) <math>\frac{18446744073709551615}{10000}=1844674407370955,1615 \;Kg</math> | ||
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| + | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] | ||
Revisión actual
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, 
, que llamaremos razón.
Escrito en forma recursiva:
Por ejemplo, la sucesión 
:
es una progresión geométrica de razón 
.
de una progresión aritmética que viene dada por la siguiente ley de recurrencia:
Tabla de contenidos[esconder] |
Término general de una progresión geométrica
Término general de una progresión geométrica
El término general, 
, de una progresión geométrica de razón es:
[2]![a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n \cdot r \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r =a_1 \cdot r^{((n+1)-1)}](/wikipedia/images/math/b/5/0/b50e2fb51571873946095ab7579f8b90.png)
, halla el término 
.
.
Ejercicio resuelto: Progresión geométrica
En una progresión geométrica de términos positivos, 
y 
.
Halla 
, 
y 
.
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de términos de una progresión geométrica
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
Ejercicio resuelto: Suma de términos de una progresión geométrica
Si al comienzo de cada año ingresamos 1000 € en un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del quinto año?
al final del quinto año.
al final del quinto año.
al final del quinto año.
al final del quinto año.
al final del quinto año.
y 
€Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que 
se obtiene así:
Producto de términos de una progresión geométrica
Producto de "n" términos de una progresión geométrica
El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
Actividades
y 
.
sabiendo que 
y 
sabiendo que r=2 y 
, r=2 y 
, el tercer término vale 
. Halla el sexto término y la suma de los seis primeros términos.
4. Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa por el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso.
Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor?
b) 
}}
