Ecuaciones de la recta

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Saltar a navegación, búsqueda

Revisión actual

Menú: [Mostrar]

Tabla de contenidos

[esconder]

1 Ecuación explícita de una recta
2 Ecuación general o implícita de una recta
3 Ecuación punto-pendiente de una recta
4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
5 Ejercicios

[editar]

Ecuación explícita de una recta

La ecuación explícita de la recta viene dada por la ya conocida expresión:

$y=mx+n\;\!$

$m\;$ es la pendiente.
$n\;$ es la ordenada en el origen.

Ecuación explícita de la recta [Mostrar]

[editar]

Ecuación general o implícita de una recta

La ecuación de la recta también la podemos expresar con todos los términos en lado izquierdo de la ecuación, igualados a cero. Es lo que se denomina:

Ecuación general o implícita de la recta:

$Ax+By+C=0\;\!$

Observación: [Mostrar]

Ejemplo: Ecuación general

Halla la ecuación general de la recta $y=3x+\cfrac{4}{3}$ .

Solución:[Mostrar]

Proposición

Si una recta tiene como ecuación general $Ax+By+C=0\;\!$ , entonces su pendiente es igual a:

$m=-\cfrac{A}{B}$

Demostración:[Mostrar]

Ecuación general de la recta [Mostrar]

[editar]

Ecuación punto-pendiente de una recta

Una recta queda perfectamente determinada por su inclinación y por un punto contenido en ella. Esto nos permite dar el siguiente resultado:

Ecuación punto-pendiente

Sea $(x_o,\ y_o)$ un punto de una recta y $m\,$ su pendiente, entonces su ecuación viene dada por:

$y-y_o=m(x-x_o)\;\!$

expresión que se denomina ecuación punto-pendiente de la recta.

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: Ecuación punto-pendiente

Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (-2, 4) y tiene pendiente 3.

Solución:[Mostrar]

Ecuación punto-pendiente de una recta [Mostrar]

[editar]

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Dos puntos determinan una única recta que pasa por ellos. Veamos como se obtiene su ecuación:

Procedimiento

Sean $A(x_1,\ y_1)$ y $B(x_2,\ y_2)$ dos puntos de una recta, tales que $x_1 \ne x_2\;$ . Para hallar su ecuación procederemos como sigue:

Con los dos punto hallaremos la pendiente: $m=\cfrac {\Delta y}{\Delta x}=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
A continuación podemos seguir dos caminos:

a) Usar la ecuación punto-pendiente: con uno cualquiera de los dos puntos y con la pendiente que acabamos de calcular.

b) Usar la ecuación explícita, $y=mx+n\;$ : sustituyendo las coordenadas de uno de los dos puntos y el valor de la pendiente, despejaremos el valor de $n\;$ .

Observación: [Mostrar]

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos [Mostrar]

[editar]

Ejercicios

Rectas horizontales y verticales Descripción: [Mostrar]

Obtén la función lineal a partir de un enunciado. Descripción: [Mostrar]

Ecuación punto-pendiente Descripción: [Mostrar]

Ejercicios resueltos: Ecuaciones de la recta

1. Halla la ecuación de las siguientes rectas:

a) Tiene pendiente -2 y ordenada en el origen 3.

b) Tiene pendiente 4 y pasa por el punto $(3,\ -2)$ .

c) Pasa por los puntos $(-1,\ 0)$ y $(\cfrac{1}{2},\ 4)$ .

d) Pasa por el punto $(4,\ -2)$ y es paralela a la recta $y=5-\cfrac{2}{3}\cdot x$ .

Solución:[Mostrar]

2. Averigua si los puntos (0,3), (3,1) y (9,-4) están alineados.

Solución:[Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_de_la_recta"

Categorías: Matemáticas | Funciones

-{{Menú Matemáticas 3ESO
+{{Menú Matemáticas Contenidos Generales
-|ir= |ampliar=[http://averroes.ced.junta-andalucia.es/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/solucionlibro/unidad11.pdf Ejercicios]<br>[http://mimosa.cnice.mecd.es/clobo/geoweb/geoana4.htm Ecuación pto-pendiente]<br>[http://www.ematematicas.net/ecrectaplano.php?a=5 Ecuaciones de la recta]<br>
+|ir=
-[http://www.ematematicas.net/posicionrelativa.php?a=5 Posición relativa]
+|ampliar=
 |repasar=
-|enlaces=[http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal Función lineal]<br>[http://es.wikipedia.org/wiki/Recta Recta]
+|enlaces=
 }}
 {{p}}
 ==Ecuación explícita de una recta==
-{{Caja_Amarilla
+{{Ecuación explícita de una recta}}
-|texto=La '''ecuación explícita''' de la recta viene dada por la ya conocida expresión:
+{{p}}
-{{Caja |contenido=<math>y=mx+n\;\!</math>}}
-}}{{p}}
 ==Ecuación general o implícita de una recta==
-La ecuación de la recta también la podemos expresar con todos los términos en lado izquierdo de la ecuación, igualados a cero. Es lo que se denomina:{{p}}
+{{Ecuación general o implícita de una recta}}{{p}}
-{{Caja_Amarilla
-|texto='''Ecuación general''' o '''implícita''' de la recta:
-{{Caja |contenido=<math>Ax+By+C=0\;\!</math>}}
-}}{{p}}
-{{Ejemplo
-|titulo=Ejemplo: ''Ecuación general''
-|enunciado=
-Halla la ecuación general de la recta <math>y=3x+\cfrac{4}{3}</math>.
-|sol=
-Nos dan la ecuación explícita:
-<center><math>y=3x+\cfrac{4}{3}</math></center>
-Tenemos que pasar todos los términos de la ecuación al lado izquierdo y ordenarlos:
-<center><math>-3x+y-\cfrac{4}{3}=0</math></center>{{p}}
-Opcionalmente, podemos quitar denominadores:
-{{Caja |contenido=<math>-9x+3y-4\;\!=0</math>}}{{p}}
-}}{{p}}
 ==Ecuación punto-pendiente de una recta==
-Una recta queda perfectamente determinada por su inclinación y por un punto contenido en ella. Esto nos permite dar el siguiente resultado:
+{{Ecuación punto-pendiente de una recta}}
-{{Teorema
-|titulo=Ecuación punto-pendiente
-|enunciado=
-Sea <math>(x_o,\ y_o)</math> un punto de una recta y <math>m\,</math> su pendiente, entonces su ecuación viene dada por:
-{{Caja |contenido=<math>y-y_o=m(x-x_o)\;\!</math>}}
-expresión que se denomina '''ecuación punto-pendiente''' de la recta.
-|demo=
-Para comprobar que esta es la ecuación de la recta, comprobaremos que su pendiente es <math>m\,</math> y que pasa por el punto dado <math>(x_o,\ y_o)</math>.
-En efecto:
-* Si desarrollamos la expresión de la ecuación punto-pendiente, se obtiene:
-<center><math>y-y_o=mx-mx_o\;\!</math></center>
-<center><math>y=mx-mx_o+y_o\;\!</math></center>
-de donde se observa que el coeficiente e la <math>x</math> es <math>m\,</math>, y por tanto, la pendiente de la recta.
-* Si sustituimos el punto <math>(x_o,\ y_o)\,</math> en la ecuación punto-pendiente, es decir, hacemos <math>x=x_o\,</math> e <math>y=y_o\,</math>, se obtiene
-<center><math>y_o-y_o=m(x_o-x_o)\;\!</math></center>{{p}}
-<center><math>y_o-y_o=m \cdot 0</math></center>{{p}}
-<center><math>0=0\;\!</math></center>{{p}}
-dándose la igualdad, y probando que el punto verifica la ecuación.
-}}{{p}}
-{{Ejemplo
-|titulo=Ejemplo: ''Ecuación punto-pendiente''
-|enunciado=
-Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (-2, 4) y tiene pendiente 3.
-|sol=
-En la ecuación punto-pendiente:
-<center><math>y-y_o=m(x-x_o)\;\!</math></center>{{p}}
-sustituimos <math>m=3</math>, <math>x_o=-2</math>, <math>y_o=4</math>, obteniendo:
-{{Caja |contenido=<math>y-4=3(x+2)\;\!</math>}}
-}}{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Ecuación punto-pendiente''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Halla la ecuación de la recta conocida la pendiente y un punto.
-|actividad=
-Como se conoce la pendiente, sólo hay que determinar la ordenada en el origen de la recta <math>y=mx+k</math>.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_afin/Caracteristicas_de_la_funcion_afin_4.html
-width=560
-height=400
-name=myframe
-</iframe></center>
-a) Tienes que escribir el valor de <math>k</math> para determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto amarillo y tiene de pendiente el valor indicado, <math>m</math>.
-El pulsador azul de la ayuda la activa y el rojo la desactiva. Con la ayuda activada no cuenta los aciertos.
-Si aciertas verás la expresión de la función con color naranja, si no aciertas verás la recta correspondiente de color rojizo.
-Después de cada acierto pulsa el botón animar para que se salga una nueva recta.
-}}
-}}
 {{p}}
 ==Ecuación de la recta que pasa por dos puntos==
-Dos puntos determinan una única recta que pasa por ellos. Veamos como se obtiene su ecuación:
+{{Ecuación de la recta que pasa por dos puntos}}
-{{p}}
-{{Teorema_sin_demo
-|titulo=Procedimiento
-|enunciado=
-Sean <math>A(x_1,\ y_1)</math> y <math>B(x_2,\ y_2)</math>  dos puntos de una recta. Para hallar su ecuación procederemos como sigue:
-#Con los dos punto hallaremos la pendiente: <math>m=\cfrac {\Delta y}{\Delta x}=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
+==Ejercicios==
-#A continuación podemos seguir dos caminos:
+{{ejercicios: ecuaciones de la recta}}
-::a) Usar la ecuación punto-pendiente: con uno cualquiera de los dos puntos y con la pendiente que acabamos de calcular.
-::b) Usar la ecuación explícita, <math>y=mx+n\;</math>: sustituyendo las coordenadas de uno de los dos puntos y el valor de la pendiente, despejaremos el valor de <math>n\;</math>.
-}}
-{{p}}
-{{Ejemplo
-|titulo=Ejemplo: ''Ecuación de la recta que pasa por dos puntos''
-|enunciado=
-Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 4) y (-3, 5).
-|sol=
-Hallamos la pendiente:
-<center><math>m=\cfrac {\Delta y}{\Delta x}=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac {5-4}{-3-2}=-\cfrac {1}{5}</math></center>
-Primer método: Usando la ecuación punto-pendiente con el punto (2,4) y la pendiente <math>m=-\cfrac {1}{5}</math>
-<center><math>y-y_0=m(x-x_0) \ \rightarrow \ y-4=-\cfrac {1}{5}(x-2)</math></center><br>
-Segundo método: Usando la ecuación explícita con el punto (2,4) y la pendiente <math>m=-\cfrac {1}{5}</math>
-<center><math>y=mx+n \ \rightarrow \ 4=-\cfrac {1}{5} \cdot 2+n  \ \rightarrow \ n=4+\cfrac {2}{5}=\cfrac {22}{5}</math></center>
-de donde:
-<center><math>y=mx+n \ \rightarrow \ y=-\cfrac {1}{5} \cdot x+ \cfrac {22}{5}</math></center>
-}}{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Ecuación de la recta que pasa por dos puntos''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por dos puntos.
-|actividad=
-Por dos puntos distintos pasa una única recta. Si los puntos son <math>A=(a_1,a_2)\,</math> y <math>B=(b_1,b_2)\,</math> la ecuación de la recta que pasa por ellos es:
-{{Caja |contenido=<math>y-a_2=m \cdot(x-a_1)</math>}}{{p}}
-con <math>m=\cfrac{b_2-a_2}{b_1-a_1}</math>.
-a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,-3) y (5, 4) y compruébala en la siguiente escena:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_afin/recta_por_2_ptos_1.html
-width=560
-height=400
-name=myframe
-</iframe></center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=2. Ecuaciones continua y general de la recta que pasa por dos puntos.
-|actividad=
-La ecuación continua de la recta que pasa por los puntos <math>A=(x_o,\ y_o)</math> y <math>B=(x_1,\ y_1)</math> es:
-{{p}}
-{{Caja |contenido=<math>\cfrac {x-x_o}{x_1-x_o}=\cfrac {y-y_o}{y_1-y_o}</math>}}{{p}}
-a) Calcula la ecuación continua y general de la recta que pasa por los puntos (-1,3) y (1, 2) y compruébala en la siguiente escena:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_afin/recta_por_2_ptos_2.html
-width=640
-height=480
-name=myframe
-</iframe></center>
-b) Comprueba si los puntos A(1,0), B(2,1) y C(3,3) están o no alineados. (Sugerencia: Calcula la recta que pasa por A y B, y comprueba que C pertenece a ella.)
-}}
-}}
-==Ejercicios==
-{{ejercicio
-|titulo=Ejercicios: ''Ecuaciones de la recta''
-|cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado=
-'''1. ''' Halla la ecuación de las siguientes rectas:
-:a) Tiene pendiente -2 y ordenada en el origen 3.
-:b) Tiene pendiente 4 y pasa por el punto <math>(3,\ -2)</math>.
-:c) Pasa por los puntos <math>(-1,\ 0)</math> y <math>(\cfrac{1}{2},\ 4)</math>.
-:d) Pasa por el punto <math>(4,\ -2)</math> y es paralela a la recta <math>y=5-\cfrac{2}{3}\cdot x</math>.
-{{p}}
-|sol={{p}}
-:a) <math>y=-2x+3\;</math>
-:b) <math>y=4x-14\;</math>
-:c) <math>y=\cfrac {8}{3} \cdot x+ \cfrac {8}{3}</math>
-:d) <math>y=-\cfrac {2}{3} \cdot x+ \cfrac {2}{3}</math>
-}}
-{{p}}
-{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado=
-'''2. ''' Averigua si los puntos (0,3), (3,1) y (9,-4) están alineados.
-{{p}}
-|sol={{p}}
-Se halla la ecuación de la recta que pasa por los dos primeros puntos y de comprueba que el tercer punto no verifica la ecuación. Por tanto no están alineados.
-}}
-}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

Enlaces internos	Para repasar	Enlaces externos
Indice		WIRIS Geogebra Calculadora

Ecuaciones de la recta

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Ecuación explícita de una recta

Ecuación general o implícita de una recta

Ecuación punto-pendiente de una recta

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Ejercicios

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas