Plantilla:Resolución de ecuaciones de primer grado

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Revisión actual

Procedimiento

Para resolver una ecuación de primer grado hay que transformarla en otras ecuaciones equivalentes, cada vez más sencillas, hasta conseguir despejar la incógnita.

Los pasos que hay que dar pueden ser los siguientes, aunque algunos pueden variar de orden según los casos:

Quitar denominadores, si los hay (multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores).
Quitar paréntesis, si los hay.
Transponer términos, pasando las incógnitas a un lado y los números al otro (Usaremos la primera de las transformaciones descritas en el apartado anterior)
Simplificar cada miembro (agrupando términos numéricos y términos con incógnita) hasta obtener una expresión del tipo $a \cdot x = b$ .
Despejar la incógnita, x, obteniendo la solución (Usaremos la segunda de las transformaciones descritas en el apartado anterior, siempre que $a \ne 0$ . (Si fuese $a=0\,$ , estaríamos un caso especial que se analizará en el apartado de "casos especiales".)
Podemos, opcionalmente, comprobar la solución. Para ello sustituiremos la incógnita por la solución en los dos miembros de la ecuación de partida y los resultados deben coincidir.

Ejercicios resueltos

Resuelve la siguiente ecuación:

$\cfrac{3x-1}{20}-\cfrac{2(x+3)}{5}=\cfrac{4x+2}{15}-5$

Solución:

Solución: $x=7\,$

Ejemplos: Ecuaciones de primer grado sencillas

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Ejemplos: Ecuaciones de primer grado con paréntesis

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Ejemplos: Ecuaciones de primer grado con denominadores

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Casos especiales

Tras efectuar el procedimiento anterior, si en la expresión $a \cdot x=b\;$ del paso 4º, resultase que el coeficiente de la variable $x\;$ es cero, tendríamos:

$0 \cdot x=b\,$

Entonces, al no poder dividir por 0 para despejar la $x\;$ (paso 5º), llegaríamos a uno de los siguientes dos casos especiales:

Casos especiales

$0 \cdot x = b \, , \ (b \ne 0) \ \rightarrow$ La ecuación no tiene solución.

$0 \cdot x = 0 \ \rightarrow$ La ecuación tiene infinitas soluciones.

Demostración:

$0 \cdot x = b \, , \ (b \ne 0) \ \rightarrow$ Si $b \ne 0$ , como el miembro de la izquierda es siempre igual a cero, sea cual sea el valor de $x\;$ , la igualdad es imposible. Por tanto no hay solución.

$0 \cdot x = 0 \ \rightarrow$ El miembro de la izquierda es siempre igual a cero, por tanto, sea cual sea el valor de $x\;$ , la igualdad se cumple. Luego, cualquier número es solución de la ecuación.

Ejemplos

$3x-7=3x \ \rightarrow \ 0 \cdot x = 7 \ \rightarrow$ No tiene solución, ya que no hay ningún número que multiplicado por 0 de 7.

$2(x-1)+2 = 2x \ \rightarrow \ 0 \cdot x = 0 \ \rightarrow$ La ecuación tiene infinitas soluciones, ya que cualquier número multiplicado por 0 da 0.

Casos especiales

Ejercicio 1 (5'29") Sinopsis:

Resuelve:

a) $-7x+2=2x+2-9x\;$

b) $-7x+3=2x+2-9x\;$

c) $-7x+3=2x+2\;$

Ejercicio 2 (5'29") Sinopsis:

Resuelve:

$8 \, (3x+10)=28x-14-4x\;$

Ejercicio 3 (1'31") Sinopsis:

Completa la ecuación para que no tenga solución:

7x - 9 = ___ x + ___

Ejercicio 4 (1'56") Sinopsis:

Completa la ecuación para que tenga infinitas soluciones:

4(x - 2) + x = 5x + ___

Casos especiales

Autoevaluación 1 Descripción:

Número de soluciones de una ecuación de primer grado.

Autoevaluación 2 Descripción:

Número de soluciones de una ecuación de primer grado.

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Actividades

Resolución de ecuaciones de primer grado

Actividad: Resolución de ecuaciones de primer grado

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $\cfrac{x-1}{4}-\cfrac{x-5}{36}=\cfrac{x+5}{9}\;$

b) $\cfrac{3}{4}(2x+4)=x+19 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve (x-1)/4 - (x-5)/36 = (x+5)/9

b) solve 3/4 (2x+4)=x+19

Resolución de ecuaciones de primer grado

Ejercicio 1 (6'16") Sinopsis:

Resuelve: $15x-[8x-(2-10x)]=24x+[-(3x+7)-(x+1)]\;$

Ejercicio 2 (5'29") Sinopsis:

Resuelve: $2x(5-9x)+13=3x(1+2x)-7-6x(4x-9)\;$

Ejercicio 3 (7'42") Sinopsis:

Resuelve: $14-(5x-1)(2x+3)=17-(10x+1)(x-6)\;$

Ejercicio 4 (7'26") Sinopsis:

Resuelve: $3(x-2)^2-4(x+1)^2+(x-6)(x-7)-5(8-10x)=-24\;$

Ejercicio 5 (3'12") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{4}{x-3}=\cfrac{5}{x-2}\;$

Ejercicio 6 (6'37") Sinopsis:

Resuelve:

a) $x(x-2)-x^2=4-2x\;$

b) $(x-3)(1+2x)-2x(x-4)=-12\;$

Ejercicio 7 (10'40") Sinopsis:

Resuelve:

a) $\cfrac{x}{2}+\cfrac{x-1}{3}+\cfrac{x+1}{6}=1\;$

b) $\cfrac{x-3}{2}-\cfrac{x-1}{6}=1\;$

c) $\cfrac{x+1}{3}-\cfrac{x-2}{6}-\cfrac{x-1}{2}=0\;$

Ejercicio 8 (8'22") Sinopsis:

Resuelve:

a) $-\cfrac{3(x-2)}{5}+1=-2x+\cfrac{x+1}{2}\;$

b) $\cfrac{2(x-2)}{6}-\cfrac{11}{2}=3 \left(1-\cfrac{x}{2} \right)\;$

Ejercicio 8 (4'38") Sinopsis:

Resuelve:

a) $2(5-3x)+x+7=4(2x-1)+2x-9\;$

b) $3(x-2)+7x=2(5x-3)+1\;$

Ejercicio 9 (4'43") Sinopsis:

Resuelve:

a) $\cfrac{x-5}{3}+\cfrac{3}{2}=\cfrac{x}{2}\;$

b) $\cfrac{x-3}{4}+\cfrac{3x+1}{10}=\cfrac{2x-3}{5}-\cfrac{1}{2}\;$

Ejercicio 10 (8'27") Sinopsis:

Despeja x en la siguiente ecuación con coeficientes desconocidos:

$ax+3x=bx]5\;$

Resolución de ecuaciones de primer grado

Actividad Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de primer grado más complejas.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre resolución de ecuaciones de primer grado.

Autoevaluación 2 Descripción:

Autoevaluación sobre ecuaciones de primer grado.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ecuaciones de primer grado con coeficientes desconocidos.

Ejercicios resueltos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de primer grado.

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Plantilla:Resolución de ecuaciones de primer grado

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 #'''Transponer términos''', pasando las incógnitas a un lado y los números al otro (Usaremos la primera de las transformaciones descritas en el apartado anterior)
 #'''Simplificar''' cada miembro (agrupando términos numéricos y términos con incógnita) hasta obtener una expresión del tipo {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>a \cdot x = b</math>}}.
-#'''Despejar la incógnita''', x, obteniendo la solución (Usaremos la segunda de las transformaciones descritas en el apartado anterior, siempre que <math>a \ne 0</math>. Si fuese <math>a=0\,</math>, estaremos un caso especial que se analizará en el apartado de "'''casos especiales'''".)
+#'''Despejar la incógnita''', x, obteniendo la solución (Usaremos la segunda de las transformaciones descritas en el apartado anterior, siempre que <math>a \ne 0</math>. (Si fuese {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>a=0\,</math>}}, estaríamos un caso especial que se analizará en el apartado de "'''casos especiales'''".)
 #Podemos, opcionalmente, '''comprobar la solución'''. Para ello sustituiremos la incógnita por la solución en los dos miembros de la ecuación de partida y los resultados deben coincidir.
 }}
 {{p}}
 ===Casos especiales===
-Tras efectuar el procedimiento anterior, si en la expresión {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>a \cdot x=b\;</math>}} del paso 4º resulta que {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>a=0\,</math>}}, al no poder dividir por 0 para despejar la x (paso 5º), llegaremos a uno de los siguientes dos casos especiales:
+Tras efectuar el procedimiento anterior, si en la expresión {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>a \cdot x=b\;</math>}} del paso 4º, resultase que el coeficiente de la variable <math>x\;</math> es cero, tendríamos:
+{{p}}
+<center><math>0 \cdot x=b\,</math></center>
+{{p}}
+Entonces, al no poder dividir por 0 para despejar la <math>x\;</math> (paso 5º), llegaríamos a uno de los siguientes dos casos especiales:
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 * <math>0 \cdot x = 0 \ \rightarrow </math> La ecuación tiene '''infinitas soluciones'''.
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-*<math>0 \cdot x = b \, , \ (b \ne 0) \ \rightarrow </math> Si b es distinto de cero, como el miembro de la izquierda es siempre cero, la igualdad es imposible. Por tanto no hay solución.
+*<math>0 \cdot x = b \, , \ (b \ne 0) \ \rightarrow </math> Si <math>b \ne 0</math>, como el miembro de la izquierda es siempre igual a cero, sea cual sea el valor de <math>x\;</math>, la igualdad es imposible. Por tanto no hay solución.
-* <math>0 \cdot x = 0 \ \rightarrow </math> El miembro de la izquierda es siempre cero, por tanto, sea cual sea el valor de x, la igualdad se cumple. Luego, cualquier número es solución de la ecuación.
+* <math>0 \cdot x = 0 \ \rightarrow </math> El miembro de la izquierda es siempre igual a cero, por tanto, sea cual sea el valor de <math>x\;</math>, la igualdad se cumple. Luego, cualquier número es solución de la ecuación.
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