Plantilla:Relaciones fundamentales de la trigonometría

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Relaciones fundamentales de la trigonometría

1. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1$ (Identidad pitagórica)

2. $tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}$

3. $1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}$

Demostración:

1. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = \left ( \cfrac{c_o}{h} \right )^2 + \left ( \cfrac{c_c}{h} \right )^2 =\cfrac {c_o^2+c_c^2}{h^2}= \cfrac {h^2}{h^2}=1$

ya que, por el teorema de Pitágoras, $c_o^2+c_c^2=h^2\;$ .

2. $\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}=\cfrac{c_o}{h}:\cfrac{c_c}{h}=\cfrac{c_o}{c_c}=tg \, \alpha$

3. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1 \ \rightarrow \ \cfrac{sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}+ \cfrac{cos^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha} \ \rightarrow \ tg^2 \, \alpha+1=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}$

Identidades trigonométricas

Tutorial 1 (7´13") Sinopsis:

Demostración de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

Tutorial 2 (7´08") Sinopsis:

Demostración de la identidad pitagórica.

Ejercicio 1 (9´45") Sinopsis:

Dada una de las razones trigonométricas de un ángulo, determinar las cinco restantes, haciendo uso de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

a) $sen \, \mu = \cfrac{1}{3}$ ; b) $cos \, \mu = \cfrac{1}{2}$ ; c) $tg \, \mu = 2$

d) $cotg \, \mu = 1$ ; e) $sec \, \mu = 2$ ; f) $cosec \, \mu = 3$

Ejercicio 2 (3'41") Sinopsis:

Simplifica: $M=\sqrt{cotg^2 \theta + cos \, \theta \, \sqrt{1 + tg^2 \theta}}$

Ejercicio 3 (7'45") Sinopsis:

Comprueba las siguientes identidades trigonométricas:

a) $tg \, \alpha + cotg \, \alpha = sec \, \alpha \cdot cosec \, \alpha$

b) $2(1- cos^2 \alpha) + cos^2 \alpha = 1 + sen^2 \alpha\;$

Ejercicio 4 (7'34") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$\cfrac{tg \, x - cotg \, x}{tg \, x + cotg \, x} = 2sen^2 x \, - 1$

Ejercicio 5 (5'48") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$\cfrac{1+sen \, x}{1- sen \, x}-\cfrac{1-sen \, x}{1+ sen \, x} = 4 \cdot tg x \cdot sec \, x$

Ejercicio 6 (6'22") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$\cfrac{1}{cos \, x}-\cfrac{cos \, x}{1+ sen \, x} = tg x$

Ejercicio 7 (6'47") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$1 - 2 sen^2 x = \cfrac{1- tg^2 x}{1+ tg^2 x}$

Ejercicio 8 (5'16") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$cos^4 x - sen^4 x +1 = 2 cos^2 x\;$

Ejercicio 9 (8'39") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$\cfrac{sen^4 \alpha - cos^4 \alpha + 1}{1 + cotg^2 \alpha}\;$

Ejercicios 10 (18'32") Sinopsis:

Identidades trigonométricas. Ejercicios.

Ejercicios 11 (11'47") Sinopsis:

Identidades trigonométricas. Ejercicios.

Ejercicios 12 (12'34") Sinopsis:

Identidades trigonométricas. Ejercicios.

Ejercicio resuelto: Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Sea $\alpha\;$ un ángulo agudo.

Sabiendo que $cos \, \alpha = 0.86$ , calcular $sen \, \alpha$ y $tg \, \alpha$ .
Sabiendo que $tg \, \alpha = 2.83$ , calcular $sen \, \alpha$ y $cos \, \alpha$ .

Solución:

Hay que usar las relaciones fundamentales de la trigonometría para despejar la razón trigonométrica desconocida:

1. $sen \, \alpha = 0.51 \, , \ tg \, \alpha=0.59$

2. $sen \, \alpha = 0.93 \, , \ cos \, \alpha=0.33$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Relaciones_fundamentales_de_la_trigonometr%C3%ADa"

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