Plantilla:Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
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| ===Signo de las razones trigonométricas=== | ===Signo de las razones trigonométricas=== | ||
| - | {{Teorema_sin_demo|titulo=Determinación del signo de las razones trigonométricas|enunciado= | + | El signo de una razón trigonométrica viene determinado por el cuadrante en el que se encuentre el ángulo. |
| - | *'''Signo del coseno:''' Según en qué cuadrante esté el ángulo, el segmento '''OC''' que determina al coseno, puede estar situado a la derecha o a la izquierda del origen '''O'''. Así, el signo del coseno será positivo si está a la derecha de '''O''' y negativo si está a la izquierda. | + | {{p}} |
| - | *'''Signo del seno:''' Según el cuadrante en el que esté el ángulo, el segmento '''CB''' que determina al seno, puede estar situado por encima o por debajo del eje X . Así el signo del seno será positivo si está por encima y negativo si está por debajo. | + | {{Teorema|titulo=Signo de las razones trigonométricas|enunciado= |
| - | *'''Signo de la tangente:''' Queda determinado a partir del signo del seno y del coseno mediante la regla de los signos. | + | *'''Seno:''' El seno de un ángulo es positivo si el ángulo está en el primer o segundo cuadrante, y es negativo si está en el tercer o cuarto cuadrante. |
| + | *'''Coseno:''' El coseno de un ángulo es positivo si el ángulo está en el primer o cuarto cuadrante, y es negativo si está en el segundo o tercer cuadrante. | ||
| + | |demo= | ||
| + | *'''Seno:''' Según el cuadrante en el que esté el ángulo, el segmento '''CB''' que determina al seno, puede estar situado por encima o por debajo del eje X . Así el signo del seno será positivo si está por encima (primer y segundo cuadrante) y negativo si está por debajo (tercer y cuarto cuadrante). | ||
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| + | *'''Coseno:''' Según en qué cuadrante esté el ángulo, el segmento '''OC''' que determina al coseno, puede estar situado a la derecha o a la izquierda del origen '''O'''. Así, el signo del coseno será positivo si está a la derecha de '''O''' (primer y cuarto cuadrante) y negativo si está a la izquierda (segundo y tercer cuadrante). | ||
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| + | {{Nota|titulo=Observación:|texto=El signo de las demás razones trigonométricas se deduce fácilmente a partir de los signos del seno y del coseno: | ||
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| + | *El signo de la tangente queda determinado a partir del signo del seno y del coseno mediante la regla de los signos. | ||
| + | *El signo de las razones trigonométricas inversas (cosecante, secante y cotangente) son los mismos que los de sus respectivas razones directas (seno, coseno y tangente). | ||
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| |descripcion=En esta escena podrás ver los valores y el signo de las 6 razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante. | |descripcion=En esta escena podrás ver los valores y el signo de las 6 razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante. | ||
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| |sinopsis=Interpretación geométrica de la tangente usando la circunferencia goniométrica y análisis de su signo y crecimiento según los cuadrantes. | |sinopsis=Interpretación geométrica de la tangente usando la circunferencia goniométrica y análisis de su signo y crecimiento según los cuadrantes. | ||
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| {{Video_enlace_matemovil | {{Video_enlace_matemovil | ||
| - | |titulo1=Ejercicios 1 | + | |titulo1=Ejercicio 1 |
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| - | |sinopsis=Circunferencia goniométrica. Ejercicios. | + | |sinopsis= |
| + | #Sabiendo que <math>sen\,\alpha=\cfrac{2x-5}{3}</math>, halla el intervalo de definición de la variable <math>x\;</math>. | ||
| + | #Halla el valor de la expresión <math>M=\cfrac{cos\,0^\circ+sen\,90^\circ}{cos\,180^\circ+cos\,270^\circ}</math>. | ||
| + | #Indica si es verdadero o falso: | ||
| + | |||
| + | ::a) <math>sen\,200^\circ > sen\,250^\circ</math> | ||
| + | ::b) <math>cos\,200^\circ > cos\,250^\circ</math> | ||
| + | ::c) <math>tg\,200^\circ > tg\,250^\circ</math> | ||
| + | |||
| |url1=https://www.youtube.com/watch?v=NyJbARReKcs&index=31&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33 | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=NyJbARReKcs&index=31&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33 | ||
| }} | }} | ||
| {{Video_enlace_matemovil | {{Video_enlace_matemovil | ||
| - | |titulo1=Ejercicios 2 | + | |titulo1=Ejercicio 2 |
| |duracion=9'13" | |duracion=9'13" | ||
| - | |sinopsis=Circunferencia goniométrica. Ejercicios. | + | |sinopsis= |
| + | *Halla el área de las figuras sombreadas (ver video). | ||
| + | *Ejercicios propuestos. | ||
| + | |||
| |url1=https://www.youtube.com/watch?v=-yfCApmsF9M&index=32&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33 | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=-yfCApmsF9M&index=32&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33 | ||
| }} | }} | ||
| - | }} | ||
| - | ==Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sin usar el círculo unidad== | ||
| - | También se pueden definir las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante sin hacer uso del círculo unidad. Puedes verlo en los siguientes videos: | ||
| - | {{p}} | ||
| - | {{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera (sin usar el círculo unidad)|enunciado= | ||
| - | {{Video_enlace_fonemato | ||
| - | |titulo1=Tutorial 1 | ||
| - | |duracion=5´52" | ||
| - | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=0QKGTIoQqmA&list=PL8C0D37B1235315C7&index=3 | ||
| - | |sinopsis=Si el lado origen de un ángulo orientado es el semieje OX, del cuadrante en que está el lado extremo se dice "cuadrante del ángulo". | ||
| - | En este video definimos las razones trigonométricas de un ángulo orientado, y para ello empleamos las coordenadas de un punto cualquiera (a;b) del lado extremo. | ||
| - | }} | ||
| - | {{Video_enlace_matemovil | ||
| - | |titulo1=Tutorial 2 | ||
| - | |duracion=24'53" | ||
| - | |sinopsis=Ángulos en posición normal. Ejercicios. | ||
| - | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=wpA4uYR8FpY&index=27&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33 | ||
| - | }} | ||
| - | ---- | ||
| - | {{Video_enlace_fonemato | ||
| - | |titulo1= Ejercicio 1 | ||
| - | |duracion=5´53" | ||
| - | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=12EYvYLU3PE&list=PL8C0D37B1235315C7&index=4 | ||
| - | |sinopsis=3 ejercicios. | ||
| - | }} | ||
| - | {{Video_enlace_fonemato | ||
| - | |titulo1= Ejercicio 2 | ||
| - | |duracion=6´51" | ||
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| - | |sinopsis=3 ejercicios. | ||
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| - | {{Video_enlace_matemovil | ||
| - | |titulo1=Ejercicios 3 | ||
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| - | {{Video_enlace_matemovil | ||
| - | |titulo1=Ejercicios 4 | ||
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| - | |sinopsis=Ángulos en posición normal. Ejercicios. | ||
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| - | }} | ||
| }} | }} | ||
Revisión actual
Obsérvese como, en el apartado anterior, las coordenadas del punto B son 
. Así podemos dar la siguiente definición del seno y del coseno de un ángulo de cualquier cuadrante:
- Dado un ángulo
, se define el coseno y el seno de dicho ángulo, como las coordenadas del punto de corte, B, del lado terminal del ángulo con la circunferencia goniométrica:
- Definiremos la tangente del ángulo, como:
, 
Tutorial 1 (9´51") Sinopsis: - Definición de circunferencia goniométrica o círculo unitario.
- Definición del seno, coseno y tangente de un ángulo a partir de la circunferencia goniométrica.
Ejercicio (12´36") Sinopsis: Asocia las expresiones equivalentes que aparecen en el video.
En esta escena podrás ver como se representan las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante.
Autoevaluación sobre trigonometría en el círculo unitario.
[editar]
Signo de las razones trigonométricas
El signo de una razón trigonométrica viene determinado por el cuadrante en el que se encuentre el ángulo.
Signo de las razones trigonométricas
- Seno: El seno de un ángulo es positivo si el ángulo está en el primer o segundo cuadrante, y es negativo si está en el tercer o cuarto cuadrante.
- Coseno: El coseno de un ángulo es positivo si el ángulo está en el primer o cuarto cuadrante, y es negativo si está en el segundo o tercer cuadrante.
Demostración:
- Seno: Según el cuadrante en el que esté el ángulo, el segmento CB que determina al seno, puede estar situado por encima o por debajo del eje X . Así el signo del seno será positivo si está por encima (primer y segundo cuadrante) y negativo si está por debajo (tercer y cuarto cuadrante).
- Coseno: Según en qué cuadrante esté el ángulo, el segmento OC que determina al coseno, puede estar situado a la derecha o a la izquierda del origen O. Así, el signo del coseno será positivo si está a la derecha de O (primer y cuarto cuadrante) y negativo si está a la izquierda (segundo y tercer cuadrante).
El signo de las demás razones trigonométricas se deduce fácilmente a partir de los signos del seno y del coseno:
- El signo de la tangente queda determinado a partir del signo del seno y del coseno mediante la regla de los signos.
- El signo de las razones trigonométricas inversas (cosecante, secante y cotangente) son los mismos que los de sus respectivas razones directas (seno, coseno y tangente).
En esta escena podrás ver los valores y el signo de las 6 razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante.
Los siguientes gráficos muestran los distintos casos según en qué cuadrante se encuentre el ángulo:
Cuadrante I
( seno + / cos + )  | Cuadrante II
( seno + / cos - )  |
Cuadrante III
( seno - / cos - )  | Cuadrante IV
( seno - / cos + )  |
Tutorial 1 (40'20") Sinopsis: - La circunferencia goniométrica.
- Definición de las razones trigonométricas usando la circunferencia goniométrica o círculo unidad.
- Signo de las razones trigonométricas según el cuadrante con una interesante regla mnemotécnica.
- Ejemplos.
- Construcción gráfica de las razones trigonométricas usando el círculo trigonométrico.
Tutorial 2a: El seno (7´26") Sinopsis:Interpretación geométrica del seno usando la circunferencia goniométrica y análisis de su signo y crecimiento según los cuadrantes.
Tutorial 2b: El coseno (7´54") Sinopsis:Interpretación geométrica del coseno usando la circunferencia goniométrica y análisis de su signo y crecimiento según los cuadrantes.
Tutorial 2c: La tangente (7´41") Sinopsis:Interpretación geométrica de la tangente usando la circunferencia goniométrica y análisis de su signo y crecimiento según los cuadrantes.
Tutorial 2c: La cosecante (15´21") Sinopsis:Interpretación geométrica de la cosecante usando la circunferencia goniométrica y análisis de su signo y crecimiento según los cuadrantes.
Tutorial 2d: La secante (13´06") Sinopsis:Interpretación geométrica de la secante usando la circunferencia goniométrica y análisis de su signo y crecimiento según los cuadrantes.
Tutorial 2e: La cotangente (13´30") Sinopsis:Interpretación geométrica de la cotangente usando la circunferencia goniométrica y análisis de su signo y crecimiento según los cuadrantes.
Ejercicio 1 (27'42") Sinopsis: - Sabiendo que
, halla el intervalo de definición de la variable 
.
- Halla el valor de la expresión
.
- Indica si es verdadero o falso:
- a)
- b)
- c)
- a)
Ejercicio 2 (9'13") Sinopsis: - Halla el área de las figuras sombreadas (ver video).
- Ejercicios propuestos.
