Números complejos: Operaciones (1ºBach)

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(→Operaciones con números complejos en forma binómica)
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|enlaces= |enlaces=
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==Operaciones con números complejos en forma binómica== ==Operaciones con números complejos en forma binómica==
{{Caja_Amarilla|texto= {{Caja_Amarilla|texto=
Línea 15: Línea 17:
* '''División:''' <math>\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\, </math>, siempre que <math>c+di\,</math> no sea nulo. * '''División:''' <math>\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\, </math>, siempre que <math>c+di\,</math> no sea nulo.
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-|titulo1= Suma de números complejos 
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-|sinopsis=*Definición de suma de números complejos en forma binómica. 
-*Representación gráfica. 
-*Ejemplos. 
-*Propiedades. 
-}} 
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-|titulo1= Producto de números complejos 
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-*Ejemplos.  
-*Propiedades. 
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-|titulo1= Cociente de números complejos 
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-*Definición de cociente de números complejos en forma binómica. 
-*Ejemplos.  
-}} 
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-|titulo1= Potenciación de números complejos expresados en forma binómica 
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-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/10-potenciacion-de-numeros-complejos-expresados-en-forma-binomica#.VCr30xa7ZV8 
-|sinopsis=Las potencias de números complejos hacen uso de la fórmula del binomio de Newton. No obstante, son mucho más fáciles si se realizan en [[Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)#Potencias de números complejos en forma polar|forma polar]] como se verá en otro apartado de este tema.  
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{{ejercicio_cuerpo {{ejercicio_cuerpo
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-3. <math>\,(3 + 4i) (2 - 5i)</math>+3. <math>\,(3 + 4i) \cdot (2 - 5i)</math>
|sol= |sol=
'''Solución:''' '''Solución:'''
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-<math>\,(3 + 4i) (2 - 5i)=6-15i+8i-20i^2=6-7i+20=26-7i</math>+<math>\,(3 + 4i) \cdot (2 - 5i)=6-15i+8i-20i^2=6-7i+20=26-7i</math>
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Línea 95: Línea 62:
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-{{Video_enlace+{{Videotutoriales|titulo=Operaciones con complejos en forma binómica|enunciado=
-|titulo1= 2 ejercicios (Suma)+ 
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 +*Representación gráfica.
 +*Ejemplos.
 +*Propiedades.
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-|titulo1= 3 ejercicios (Ecuaciones con soluciones complejas)+|titulo1=Tutorial 1b: ''Producto''
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 +*Ejemplos.
 +*Propiedades.
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-|titulo1= 3 ejercicios (Producto)+|titulo1=Tutorial 1c: ''Cociente''
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 +*Definición de cociente de números complejos en forma binómica.
 +*Ejemplos.
 +}}
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 +|titulo1=Tutorial 1d: ''Potenciación''
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 +|sinopsis=Las potencias de números complejos hacen uso de la fórmula del binomio de Newton. No obstante, son mucho más fáciles si se realizan en [[Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)#Potencias de números complejos en forma polar|forma polar]] como se verá en otro apartado de este tema.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1= Ejercicio 1
 +|duracion=1´47"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=b0FFMwax2Oc
 +|sinopsis=Dados los complejos <math>z_1=5-3i\;</math> y <math>z_2=-4+2i\;</math>, halla:
 + 
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 + 
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 +}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1= Ejercicio 2
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 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=1LCiuis7rZE
 +|sinopsis=Dados los complejos <math>z_1=7-i\;</math> y <math>z_2=3-5i\;</math>, halla:
 + 
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 + 
 +b) <math>z_1 : z_2\;</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1= Ejercicio 3
 +|duracion=16´47"
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 +|sinopsis=Dados los complejos <math>z_1=2+3i\;</math> y <math>z_2=4-5i\;</math>, halla:
 + 
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 + 
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 + 
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 + 
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 + 
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 + 
 +}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=9´48"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=ypGp3P68NxI
 +|sinopsis=Dados los complejos <math>z_1=-3+4i\;</math> y <math>z_2=5-2i\;</math>, halla:
 + 
 +a) <math>(\overline{z_1})^2 - (z_2)^3\;</math>
 + 
 +b) <math>z_1 : z_2\;</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1= Ejercicio 5
 +|duracion=4´15"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=kteT6kMVFrM&index=47&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ
 +|sinopsis=Dados los complejos <math>z_1=3+2i\;</math> y <math>z_2=2-i\;</math>, halla:
 + 
 +a) <math>z_1+ z_2\;</math>
 + 
 +b) <math>z_1- z_2\;</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1= Ejercicio 6
 +|duracion=7´21"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=q1p8uSBhpi4&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=48
 +|sinopsis=Dados los complejos <math>z_1=3+2i\;</math> y <math>z_2=2-i\;</math>, halla:
 + 
 +a) <math>z_1 \cdot z_2\;</math>
 + 
 +b) <math>z_1 : z_2\;</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 7
 +|duracion=7´55"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=eXDIkPZNXtk&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL&index=21
 +|sinopsis=Dados los complejos: <math>z=5+7i\;</math> y <math>z'=-\sqrt{3}+2i\;</math>, calcula:
 + 
 +:a) <math>z+z'\;</math>
 +:b) <math>z-z'\;</math>
 +:c) <math>z \cdot z' \cdot z\;</math>
 +:d) <math>(z')^{-1}\;</math>
 +:e) <math>2z-5\overline{z}\;</math>
 +:f) <math>z \cdot z'\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 8
 +|duracion=9´02"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=hzCBQTfxecA&index=20&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL
 +|sinopsis=Calcula:
 + 
 +:a) <math>(\cfrac{3}{2}+i)+(-2+\cfrac{1}{2}\,i)\;</math>
 +:b) <math>(\sqrt{3}+2i)+(1-5i)\;</math>
 +:c) <math>(-3-\cfrac{1}{2}\,i)-(\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{7}\,i)\;</math>
 +:d) <math>(6+4i)\cdot(-1-2i)\;</math>
 +:e) <math>-3i \cdot (2i+3)\;</math>
 +:f) <math>(\sqrt{3}+2i):(1-5i)\;</math>
 +:g) <math>-3i : (2i+3)\;</math>
 +:h) <math>\left( \cfrac{2i^5+3i^{17}}{1+i} \right)^2\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 9
 +|duracion=13´39"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=M6U7ArqqVPA&list=PLpbLLqs33gIlut1lGHmwYqQjl6-yDrsPf&index=5
 +|sinopsis=Dados <math>z=1-3i\;</math>, <math>w=-3+2i\;</math> y <math>t=-2i\;</math>, calcula:
 + 
 +:a) <math>z \cdot w \cdot t\;</math>
 +:b) <math>z \cdot t -w \cdot (t+z)\;</math>
 +:c) <math>\cfrac{w}{z}\cdot t\;</math>
 +:d) <math>\cfrac{2z-3t}{w}\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 10
 +|duracion=6´39"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Cz6OVB695_o&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL&index=19
 +|sinopsis=Calcula las potencias de exponente 2, 3 y 4 de los siguientes números complejos:
 + 
 +:a) <math>2+3i\;</math>
 +:b) <math>-2+i\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 11
 +|duracion=1´12"
 +|url1=https://youtu.be/FQPN__V04DU
 +|sinopsis=Suma: <math>(5 + 2i) +(3 - 7i)\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 12
 +|duracion=1´48"
 +|url1=https://youtu.be/txIeI1NUtJM
 +|sinopsis=Resta: <math>(2 - 3i)-(6 - 18i)\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 13
 +|duracion=5´27"
 +|url1=https://youtu.be/Hu0zAucbcl8
 +|sinopsis=Multiplica: <math>(1 - 3i) \cdot (2 + 5i)\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 14
 +|duracion=5´55"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=jPOoEjN3zwI&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=7
 +|sinopsis=
 +#Determina <math>m\;</math> y <math>n\;</math> de manera que los complejos <math>z_1=m+2i\;</math> y <math>z_2=2n-mi\;</math> sean tales que <math>z_1+z_2=1+3n+4i\;</math>.
 +#Determina <math>m\;</math> y <math>n\;</math> de manera que los complejos <math>z_1=m+ni\;</math> y <math>z_2=n+mi\;</math> sean tales que <math>z_1-z_2=3+4i\;</math>.
 + 
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 15
|duracion=9´19" |duracion=9´19"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0502-tres-ejercicios#.VCrwdha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=4Nqa_X-c62s&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=10
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Calcula <math>k\;</math> en los siguientes casos:
 + 
 +:a) <math>(2+3i) \cdot (4+ki)=5+14i</math>
 +:b) <math>(3-2i) \cdot (k+5i)=k-7i</math>
 +:c) <math>(2+ki) \cdot (k+3i)=-15+3i</math>
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 3 ejercicios (Producto)+|titulo1=Ejercicio 16
|duracion=7´05" |duracion=7´05"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0503-tres-ejercicios#.VCrwxha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=X9No_AcbtI8&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=11
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Si <math>z_1=2+3i\;</math>, <math>z_2=5-4i\;</math> y <math>z_3=1+2i\;</math>, determina:
 +:a) <math>z_1 \cdot \overline{z_2}</math>
 +:b) <math>z_2 \cdot z_3^{-1}</math>
 +:c) <math>z_3 \cdot (13z_1^{-1}+41z_2^{-1})</math>
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 2 ejercicios (Cociente)+|titulo1=Ejercicio 17
|duracion=6´46" |duracion=6´46"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0601-dos-ejercicios-6#.VCrxMBa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=cwGyXm5n0AQ&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=13
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Si <math>z_1=2+3i\;</math>, <math>z_2=5-4i\;</math> y <math>z_3=1+2i\;</math>, determina:
 +:a) <math>\cfrac{z_1 + \overline{z_2}}{z_3}</math>
 +:b) <math>\cfrac{z_2 + 2z_3}{z_1^{-1}}</math>
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 3 ejercicios (Cociente)+|titulo1=Ejercicio 18
|duracion=8´11" |duracion=8´11"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0602-tres-ejercicios-3#.VCrxbBa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=FPS9_WouC_I&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=14
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Halla <math>z\;</math>:
-}}+ 
-{{Video_enlace+:a) <math>1+4i=\cfrac{5+2i}{z}</math>
-|titulo1= 3 ejercicios (Cociente)+:b) <math>1+4i=\cfrac{5}{5+zi}</math>
 +:c) <math>(2-i) \cdot z + 4 =7-5i</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 19
|duracion=7´19" |duracion=7´19"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0603-tres-ejercicios-3#.VCrxixa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=4-CfluEYzzI&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=15
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Halla <math>z\;</math>:
 + 
 +:a) <math>4+z-2i=z \cdot i-3</math>
 +:b) <math>\cfrac{2+z \cdot i}{z}=3+4i</math>
 +:c) <math>\cfrac{z}{1+z \cdot i}=3+i</math>
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 2 ejercicios (Potencia)+|titulo1=Ejercicio 20
|duracion=6´49" |duracion=6´49"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/1001-dos-ejercicios-9#.VCr5_ha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=R5UcB9oP3ZY&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=24
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Calcula usando el [[Fórmula del binomio de Newton (1ºBach)| binomio de Newton]]:
 + 
 +:a) <math>(2+3i)^4\;</math>
 +:b) <math>(2-3i)^5\;</math>
 +}}
 + 
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Operaciones con complejos en forma binómica|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad
 +|descripcion=Suma, resta y producto de números complejos en forma binómica.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra2/introduction-to-complex-numbers-algebra-2/multiplying-complex-numbers-algebra-2/a/complex-number-operations-review
 +}}
 +----
 +'''Suma y resta:'''
 + 
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación
 +|descripcion=Suma y resta de números complejos en forma binómica.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra2/introduction-to-complex-numbers-algebra-2/adding-and-subtracting-complex-numbers-algebra-2/e/adding_and_subtracting_complex_numbers
 +}}
 +----
 +'''Multiplicación:'''
 + 
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad
 +|descripcion=Producto números complejos en forma binómica.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra2/introduction-to-complex-numbers-algebra-2/multiplying-complex-numbers-algebra-2/a/multiplying-complex-numbers
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1a
 +|descripcion=Producto de un número real o un imaginario puro por un número complejo en forma binómica.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra2/introduction-to-complex-numbers-algebra-2/multiplying-complex-numbers-algebra-2/e/multiply-complex-numbers-by-real-or-imaginary-numbers
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1b
 +|descripcion=Producto de números complejos en forma binómica.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra2/introduction-to-complex-numbers-algebra-2/multiplying-complex-numbers-algebra-2/e/multiplying_complex_numbers
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI_enlace 
-|titulo1=Actividad: ''Suma de números complejos'' 
-|descripcion={{b4}}Efectúa las siguientes sumas de números complejos en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena: 
-:# <math>\,(3 + i) + (1 - 3i)</math>+==Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica==
-:# <math>\,(-5 + 3i) + (6 + 4i)</math>+{{Video_enlace_8cifras
-:# <math>\,(5 - 4i) + (-1 - i)</math>+|titulo1=Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica
-:# <math>\,(-3 + 4i)+(3 + i)</math>+|duracion=14´54"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XxV8SYFES-c&list=PLpbLLqs33gIlut1lGHmwYqQjl6-yDrsPf&index=4
 +|sinopsis=Ejemplos de suma, resta, multiplicación y división de números complejos en forma binómica. Interpretación gráfica.
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica|enunciado=
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver como se representa la suma de números complejos en forma binómica.
 +|enlace=[http://ggbm.at/Zhm3k4Kk Suma]
 +}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver como se representa la resta de números complejos en forma binómica.
 +|enlace=[http://ggbm.at/GPYkzkJA Resta]
 +}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver como se representa la multiplicación de números complejos en forma binómica.
 +|enlace=[http://ggbm.at/bm3Vb27Q Multiplicación]
 +}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver como se representa la división de números complejos en forma binómica.
 +|enlace=[http://ggbm.at/knBnTDDU División]
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación
 +|descripcion=Suma y resta de números complejos de forma gráfica.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra2/introduction-to-complex-numbers-algebra-2/adding-and-subtracting-complex-numbers-algebra-2/e/complex_plane_operations
 +}}
 +}}
{{p}} {{p}}
-Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene la suma de dos complejos por el "método del paralelogramo"+(Pág. 151)
-Mueve los puntos azules para modificar los datos.+==Propiedades de las operaciones con números complejos==
 +{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado=
 +*'''Propiedades de la suma:'''
 +**'''Asociativa''': <math>z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_1\;</math>
 +**'''Conmutativa''': <math>z_1+z_2=z_2+z_1\;</math>
 +**Existencia de '''elemento neutro''': El 0 es el elemento neutro de la suma.
 +**Existencia de '''opuesto''': Todo número complejo, <math>a+bi\,</math>, tiene un opuesto, <math>-a-bi\,</math>
 +*'''Propiedades del producto:'''
 +**'''Asociativa''': <math>z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)=(z_1 \cdot z_2) \cdot z_1</math>
 +**'''Conmutativa''': <math>z_1 \cdot z_2=z_2 \cdot z_1</math>
 +**Existencia de '''elemento neutro''': El 1 es el elemento neutro del producto.
 +**Existencia de '''inverso''': Todo número complejo, <math>a+bi\,</math>, distinto de 0, tiene inverso, <math>\cfrac{1}{a+bi}</math>:
 +::<math>\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\cfrac{a-bi}{a^2+b^2}=\cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}i</math>
-<center><iframe>+*'''Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:''' <math>z_1\cdot(z_2+z_3)=z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3</math>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_suma.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_suma.html+
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI_enlace+==Ejercicios==
-|titulo1=Actividad: ''Resta de números complejos''+{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos
-|descripcion={{b4}}Efectúa las siguientes restas de números complejos en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:+|enunciado=
 +a) Obtener un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean <math>5-2i\;</math> y <math>5+2i\;</math>.
-:# <math>\,(-5 + 3i) - (4 + 2i)</math>+b) ¿Cuánto ha de valer <math>x\;</math> para que <math>(2x+i)^2\;</math> sea imaginario puro?
-:# <math>\,(5 -2i) -(1+ 4i)</math>+|sol=
-:# <math>\,(5 - 4i) - (-1 - i)</math>+a) <math>P(x)= [x-(5-2i)][x-(5+2i)]= \cdots = x^2-10x+29\;</math>
-:# <math>\,(-3 + 4i)-(3 - 2i)</math>+
-{{p}}+
-Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene la resta de dos complejos por el "método del paralelogramo"+b) Hay que desarrollar el cuadrado e igualar la parte real a cero.
-Mueve los puntos azules para modificar los datos.+'''Solución:''' <math>x=\pm 2</math>
 +}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Operaciones con complejos''|enunciado=
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1= Ejercicio 1
 +|duracion=17´15"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=x6YPRxhAmmk&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=50
 +|sinopsis=Dados los complejos <math>z_1=3-2i\;</math>, <math>z_2=1-4i\;</math>, <math>z_3=1+i\;</math> y <math>z_4=i\;</math>, calcula:
 +a) <math>z_4+z_4^2+z_4^3+z_4^4\;</math>.
-<center><iframe>+b) <math>z_3^2\;</math>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_resta1.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_resta1.html+c) <math>z_1 \cdot z_2\;</math>
-}}+
-{{p}}+
-{{AI_enlace+
-|titulo1=Actividad: ''Resta de números complejos (método 2)''+
-|descripcion={{b4}}Otro modo de restar números complejos es sumar el opuesto: puedes comprobarlo en la siguiente escena:+
-:# <math>\,(-5 + 3i) - (4 + 2i)</math>+d) <math>z_4^{130}\;</math>
-:# <math>\,(5 -2i) -(1+ 4i)</math>+
-:# <math>\,(5 - 4i) - (-1 - i)</math>+
-:# <math>\,(-3 + 4i)-(3 - 2i)</math>+
-{{p}}+
-<center><iframe>+e) <math>z_1 : z_2\;</math>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_resta2.html+ 
-width=780+f) <math>|\overline{z_1}|\;</math>
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_resta2.html 
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_matemovil
-{{AI_enlace+|titulo1= Ejercicio 2
-|titulo1=Actividad: ''Producto de números complejos''+|duracion=7´40"
-|descripcion={{b4}} Efectúa las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=mSdDyGvfInc&index=49&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ
 +|sinopsis=Dados los complejos <math>z_1=31-i\;</math> y <math>z_2=3-i\;</math>, halla el módulo de <math>\overline{\left( \cfrac{z_2}{z_1} \right)}\;</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1= Ejercicio 3
 +|duracion=8´46"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=tRhy-bkJClc&index=51&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ
 +|sinopsis=Calcula: <math>\cfrac{i^{243}+i^{14}}{i^{221}+i^{200}}</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1= Ejercicio 4
 +|duracion=8´53"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=hkS2F-ZWsHU&index=52&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ
 +|sinopsis=
 +a) Halla el valor de "x" sabiendo que <math>5+xi=6-3i\;</math>.
-:# <math>\,(-2 -2i) (1 + 3i)</math>+b) Sea <math>M=(3+2xi)^2\;</math>.¿Qué valor debe tomar "x" para que M sea imaginario puro? ¿Y para que M sea un número real?
-:# <math>\,(2 + 3i)(5-6i)</math>+
-:# <math>\,(2+3i)(-2-3i)</math>+
-:# <math>\,(-1-2i)(-1+2i)</math>+
-{{p}}+
-Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el producto de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir del primer número complejo, el origen de coordenadas y el punto (1,0).+
-Mueve los puntos azules para modificar los datos.+}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=2´25"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=xaUnHy6RxWs&index=15&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL
 +|sinopsis=Calcula "m" y "n" para que sea cierta la igualdad <math>(3m+2i)-(5-2ni)=2-6i\;</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 6
 +|duracion=10´41"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=xSYPDVvjy-4&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL&index=11
 +|sinopsis=Halla dos números complejos cuyo cociente sea imaginario puro, su suma sea 5 y el módulo del dividendo sea doble del módulo del divisor.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 7
 +|duracion=4´01"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=lrDzgloS3PM&index=9&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL
 +|sinopsis=Calcula el valor de "x" de manera que <math>\cfrac{x+i}{1-i}</math> sea:
 +a) Igual a 1+2i.
-<center><iframe>+b) Un número real.
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_prod.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_prod.html+c)Un número imaginario puro.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 8
 +|duracion=4´59"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=bzHdxNiNKt4&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL&index=8
 +|sinopsis=Dados los dos números complejos, 2-mi y 3-ni, halla los valores de "m" y "n" de manera que el producto de los complejos dados sea 8-4i.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 9
 +|duracion=14´49"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=fvTN0G_BRXM&list=PLpbLLqs33gIlut1lGHmwYqQjl6-yDrsPf&index=11
 +|sinopsis=
 +# Halla una ecuación de segundo grado que tengan como raíces a: <math>2+3i\;</math> y <math>2-3i\;</math>.
 +# Resuelve: <math>z^2+z+1=0\;</math> en el conjunto de los números complejos.
 +# Halla <math>b\;</math> para que el módulo de <math>\cfrac{b+4i}{1+i}</math> sea <math>\sqrt{26}\;</math>.
 +# La suma de un complejo y su conjugado es 24 y la suma de sus módulos es 26. Hállalo.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 10
 +|duracion=14´48"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=BGKRzMRR_yQ&list=PLpbLLqs33gIlut1lGHmwYqQjl6-yDrsPf&index=6
 +|sinopsis=
 +# Calcula: a) <math>i^{17}\;</math> ; b) <math>i^{210}\;</math> ; c) <math>i^{160}\;</math>
 +# Halla el valor de <math>k\;</math> para que \cfrac{2-ki}{k-i} sea: a) imaginario puro; b) real.
 +# Halla el valor de <math>m\;</math> y <math>n\;</math> para que <math>(2+mi)+(n+5i)=7-2i\;</math>
 +# Halla el valor de <math>a\;</math> y <math>b\;</math> para que <math>a-3i=\cfrac{2+bi}{5-3i}\;</math>
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
 +{{wolfram desplegable|titulo=Operaciones con complejos|contenido=
 +{{wolfram
 +|titulo=Actividad: ''Operaciones con complejos''
 +|cuerpo=
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
-{{AI_enlace+a) Halla un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean <math>2+i\;</math> y <math>2-i\;</math>.
-|titulo1=Actividad: ''División de números complejos''+
-|descripcion={{b4}} Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno y compruébalas en la escena:+
-:# <math>\,(2+4i):(4-2i)</math>+b) Halla x para que <math>(2+xi)^2\;</math> sea imaginario puro.
-:# <math>\,(1-4i):(3+i)</math>+
-:# <math>\,(5+i):(-2-i)</math>+
-:# <math>\,(4-2i):i</math>+
-{{p}}+
-Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el cociente de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir de los dos.+
-Mueve los puntos azules para modificar los datos.+c) Halla la parte imaginaria de <math>(1-i)^3\;</math>
 +{{p}}
 +|sol=
 +Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
 +a) {{consulta|texto=expand [x-(2+i)][x-(2-i)]}}
-<center><iframe>+b) {{consulta|texto=solve Re[(2+x*i)^2]=0}}
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_div.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_div.html+c) {{consulta|texto=Im[(1-i)^3]}}
 + 
 +{{widget generico}}
 +}}
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Propiedades de las operaciones con números complejos==+===Ejercicios propuestos===
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado=+{{ejercicio
-* El 0 es el '''elemento neutro''' de la '''suma'''.+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Operaciones con números complejos''
-* Todo número complejo, <math>a+bi\,</math>, tiene un '''opuesto''', <math>-a-bi\,</math>+|cuerpo=
-* El 1 es el '''elemento neutro''' del producto.+(Pág. 150-151)
-* Todo número complejo, <math>a+bi\,</math>, distinto de 0, tiene '''inverso''', <math>\cfrac{1}{a+bi}</math>:+ 
-::<math>\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\cfrac{a-bi}{a^2+b^2}=\cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}i</math>}}+[[Imagen:red_star.png|12px]] 2b,d,h,k; 3; 4
 + 
 +[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1; 2a,c,e,f,g,i,j; 5
 +}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría: Números]]

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Tabla de contenidos

(Pág. 150)

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Operaciones con números complejos en forma binómica

  • Suma: \,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • Resta: \,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • Multiplicación: \,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
  • División: \,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,, siempre que c+di\, no sea nulo.

ejercicio

Ejemplos: Operaciones con complejos en forma binómica

Efectúa las siguientes operaciones:

1. \,(3 + 2i) + (5 + 6i)
Solución:
Solución:

\,(3 + 2i) + (5 + 6i)=3 + 5 + 2i + 6i=8 + 8i

    
2. \,(6 - 5i) - (4 - 7i)
Solución:
Solución:

\,(6 - 5i) - (4 - 7i)=6-4-5i+7i=2+2i

    
3. \,(3 + 4i) \cdot (2 - 5i)
Solución:
Solución:

\,(3 + 4i) \cdot (2 - 5i)=6-15i+8i-20i^2=6-7i+20=26-7i

    
4. \,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}
Solución:
Solución:

\,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}=\frac{(5 - 3i)(4-2i)}{(4 + 2i)(4-2i)}=\frac{(20-10i-12i+6i^2)}{(16-8i+8i-4i^2)}=

~~=\frac{(20-6-10i-12i)}{(16+4)}=\frac{14}{20}-\frac{22}{20}i
    

video
Operaciones con complejos en forma binómica
Tutorial 1a: Suma (8´53")     Sinopsis:
  • Definición de suma de números complejos en forma binómica.
  • Representación gráfica.
  • Ejemplos.
  • Propiedades.
Tutorial 1b: Producto (11´26")     Sinopsis:
  • Definición de producto de números complejos en forma binómica.
  • Ejemplos.
  • Propiedades.
Tutorial 1c: Cociente (7´45")     Sinopsis:
  • Definición de cociente de números complejos en forma binómica.
  • Ejemplos.
Tutorial 1d: Potenciación (3´50")     Sinopsis:

Las potencias de números complejos hacen uso de la fórmula del binomio de Newton. No obstante, son mucho más fáciles si se realizan en forma polar como se verá en otro apartado de este tema.

Ejercicio 1 (1´47")     Sinopsis:

Dados los complejos z_1=5-3i\; y z_2=-4+2i\;, halla:

a) z_1+ z_2\;

b) z_1- z_2\;.

Ejercicio 2 (4´53")     Sinopsis:

Dados los complejos z_1=7-i\; y z_2=3-5i\;, halla:

a) z_1 \cdot z_2\;

b) z_1 : z_2\;.

Ejercicio 3 (16´47")     Sinopsis:

Dados los complejos z_1=2+3i\; y z_2=4-5i\;, halla:

a) 5z_1+ 7z_2\;

b) z_1- \overline{z_2}\;

c) z_1 \cdot z_2\;

d) \overline{z_1} :z_2\;

e) |\overline{z_1+z_2}|\;

Ejercicio 4 (9´48")     Sinopsis:

Dados los complejos z_1=-3+4i\; y z_2=5-2i\;, halla:

a) (\overline{z_1})^2 - (z_2)^3\;

b) z_1 : z_2\;.

Ejercicio 5 (4´15")     Sinopsis:

Dados los complejos z_1=3+2i\; y z_2=2-i\;, halla:

a) z_1+ z_2\;

b) z_1- z_2\;.

Ejercicio 6 (7´21")     Sinopsis:

Dados los complejos z_1=3+2i\; y z_2=2-i\;, halla:

a) z_1 \cdot z_2\;

b) z_1 : z_2\;.

Ejercicio 7 (7´55")     Sinopsis:

Dados los complejos: z=5+7i\; y z'=-\sqrt{3}+2i\;, calcula:

a) z+z'\;
b) z-z'\;
c) z \cdot z' \cdot z\;
d) (z')^{-1}\;
e) 2z-5\overline{z}\;
f) z \cdot z'\;
Ejercicio 8 (9´02")     Sinopsis:

Calcula:

a) (\cfrac{3}{2}+i)+(-2+\cfrac{1}{2}\,i)\;
b) (\sqrt{3}+2i)+(1-5i)\;
c) (-3-\cfrac{1}{2}\,i)-(\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{7}\,i)\;
d) (6+4i)\cdot(-1-2i)\;
e) -3i \cdot (2i+3)\;
f) (\sqrt{3}+2i):(1-5i)\;
g) -3i : (2i+3)\;
h) \left( \cfrac{2i^5+3i^{17}}{1+i} \right)^2\;
Ejercicio 9 (13´39")     Sinopsis:

Dados z=1-3i\;, w=-3+2i\; y t=-2i\;, calcula:

a) z \cdot w \cdot t\;
b) z \cdot t -w \cdot (t+z)\;
c) \cfrac{w}{z}\cdot t\;
d) \cfrac{2z-3t}{w}\;
Ejercicio 10 (6´39")     Sinopsis:

Calcula las potencias de exponente 2, 3 y 4 de los siguientes números complejos:

a) 2+3i\;
b) -2+i\;
Ejercicio 11 (1´12")     Sinopsis:

Suma: (5 + 2i) +(3 - 7i)\;

Ejercicio 12 (1´48")     Sinopsis:

Resta: (2 - 3i)-(6 - 18i)\;

Ejercicio 13 (5´27")     Sinopsis:

Multiplica: (1 - 3i) \cdot (2 + 5i)\;

Ejercicio 14 (5´55")     Sinopsis:
  1. Determina m\; y n\; de manera que los complejos z_1=m+2i\; y z_2=2n-mi\; sean tales que z_1+z_2=1+3n+4i\;.
  2. Determina m\; y n\; de manera que los complejos z_1=m+ni\; y z_2=n+mi\; sean tales que z_1-z_2=3+4i\;.
Ejercicio 15 (9´19")     Sinopsis:

Calcula k\; en los siguientes casos:

a) (2+3i) \cdot (4+ki)=5+14i
b) (3-2i) \cdot (k+5i)=k-7i
c) (2+ki) \cdot (k+3i)=-15+3i
Ejercicio 16 (7´05")     Sinopsis:

Si z_1=2+3i\;, z_2=5-4i\; y z_3=1+2i\;, determina:

a) z_1 \cdot \overline{z_2}
b) z_2 \cdot z_3^{-1}
c) z_3 \cdot (13z_1^{-1}+41z_2^{-1})
Ejercicio 17 (6´46")     Sinopsis:

Si z_1=2+3i\;, z_2=5-4i\; y z_3=1+2i\;, determina:

a) \cfrac{z_1 + \overline{z_2}}{z_3}
b) \cfrac{z_2 + 2z_3}{z_1^{-1}}
Ejercicio 18 (8´11")     Sinopsis:

Halla z\;:

a) 1+4i=\cfrac{5+2i}{z}
b) 1+4i=\cfrac{5}{5+zi}
c) (2-i) \cdot z + 4 =7-5i
Ejercicio 19 (7´19")     Sinopsis:

Halla z\;:

a) 4+z-2i=z \cdot i-3
b) \cfrac{2+z \cdot i}{z}=3+4i
c) \cfrac{z}{1+z \cdot i}=3+i
Ejercicio 20 (6´49")     Sinopsis:

Calcula usando el binomio de Newton:

a) (2+3i)^4\;
b) (2-3i)^5\;

video
Operaciones con complejos en forma binómica
Actividad     Descripción:

Suma, resta y producto de números complejos en forma binómica.

Suma y resta:

Autoevaluación     Descripción:

Suma y resta de números complejos en forma binómica.

Multiplicación:

Actividad     Descripción:

Producto números complejos en forma binómica.

Autoevaluación 1a     Descripción:

Producto de un número real o un imaginario puro por un número complejo en forma binómica.

Autoevaluación 1b     Descripción:

Producto de números complejos en forma binómica.

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Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica

Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica (14´54")     Sinopsis:

Ejemplos de suma, resta, multiplicación y división de números complejos en forma binómica. Interpretación gráfica.

video
Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica
Suma     Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la suma de números complejos en forma binómica.

Resta     Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la resta de números complejos en forma binómica.

Multiplicación     Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la multiplicación de números complejos en forma binómica.

División     Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la división de números complejos en forma binómica.

Autoevaluación     Descripción:

Suma y resta de números complejos de forma gráfica.

(Pág. 151)

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Propiedades de las operaciones con números complejos

ejercicio

Propiedades

  • Propiedades de la suma:
    • Asociativa: z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_1\;
    • Conmutativa: z_1+z_2=z_2+z_1\;
    • Existencia de elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma.
    • Existencia de opuesto: Todo número complejo, a+bi\,, tiene un opuesto, -a-bi\,
  • Propiedades del producto:
    • Asociativa: z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)=(z_1 \cdot z_2) \cdot z_1
    • Conmutativa: z_1 \cdot z_2=z_2 \cdot z_1
    • Existencia de elemento neutro: El 1 es el elemento neutro del producto.
    • Existencia de inverso: Todo número complejo, a+bi\,, distinto de 0, tiene inverso, \cfrac{1}{a+bi}:
\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\cfrac{a-bi}{a^2+b^2}=\cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}i
  • Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: z_1\cdot(z_2+z_3)=z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3

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Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos

a) Obtener un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean 5-2i\; y 5+2i\;.

b) ¿Cuánto ha de valer x\; para que (2x+i)^2\; sea imaginario puro?

Solución:

a) P(x)= [x-(5-2i)][x-(5+2i)]= \cdots = x^2-10x+29\;

b) Hay que desarrollar el cuadrado e igualar la parte real a cero.

Solución: x=\pm 2
video
Ejercicios: Operaciones con complejos
Ejercicio 1 (17´15")     Sinopsis:

Dados los complejos z_1=3-2i\;, z_2=1-4i\;, z_3=1+i\; y z_4=i\;, calcula:

a) z_4+z_4^2+z_4^3+z_4^4\;.

b) z_3^2\;

c) z_1 \cdot z_2\;

d) z_4^{130}\;

e) z_1 : z_2\;

f) |\overline{z_1}|\;

Ejercicio 2 (7´40")     Sinopsis:

Dados los complejos z_1=31-i\; y z_2=3-i\;, halla el módulo de \overline{\left( \cfrac{z_2}{z_1} \right)}\;.

Ejercicio 3 (8´46")     Sinopsis:

Calcula: \cfrac{i^{243}+i^{14}}{i^{221}+i^{200}}.

Ejercicio 4 (8´53")     Sinopsis:

a) Halla el valor de "x" sabiendo que 5+xi=6-3i\;.

b) Sea M=(3+2xi)^2\;.¿Qué valor debe tomar "x" para que M sea imaginario puro? ¿Y para que M sea un número real?

Ejercicio 5 (2´25")     Sinopsis:

Calcula "m" y "n" para que sea cierta la igualdad (3m+2i)-(5-2ni)=2-6i\;.

Ejercicio 6 (10´41")     Sinopsis:

Halla dos números complejos cuyo cociente sea imaginario puro, su suma sea 5 y el módulo del dividendo sea doble del módulo del divisor.

Ejercicio 7 (4´01")     Sinopsis:

Calcula el valor de "x" de manera que \cfrac{x+i}{1-i} sea:

a) Igual a 1+2i.

b) Un número real.

c)Un número imaginario puro.

Ejercicio 8 (4´59")     Sinopsis:

Dados los dos números complejos, 2-mi y 3-ni, halla los valores de "m" y "n" de manera que el producto de los complejos dados sea 8-4i.

Ejercicio 9 (14´49")     Sinopsis:
  1. Halla una ecuación de segundo grado que tengan como raíces a: 2+3i\; y 2-3i\;.
  2. Resuelve: z^2+z+1=0\; en el conjunto de los números complejos.
  3. Halla b\; para que el módulo de \cfrac{b+4i}{1+i} sea \sqrt{26}\;.
  4. La suma de un complejo y su conjugado es 24 y la suma de sus módulos es 26. Hállalo.
Ejercicio 10 (14´48")     Sinopsis:
  1. Calcula: a) i^{17}\; ; b) i^{210}\; ; c) i^{160}\;
  2. Halla el valor de k\; para que \cfrac{2-ki}{k-i} sea: a) imaginario puro; b) real.
  3. Halla el valor de m\; y n\; para que (2+mi)+(n+5i)=7-2i\;
  4. Halla el valor de a\; y b\; para que a-3i=\cfrac{2+bi}{5-3i}\;

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Operaciones con complejos
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Actividad: Operaciones con complejos

a) Halla un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean 2+i\; y 2-i\;.

b) Halla x para que (2+xi)^2\; sea imaginario puro.

c) Halla la parte imaginaria de (1-i)^3\;

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) expand [x-(2+i)][x-(2-i)]

b) solve Re[(2+x*i)^2]=0

c) Im[(1-i)^3]

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Operaciones con números complejos

(Pág. 150-151)

2b,d,h,k; 3; 4

1; 2a,c,e,f,g,i,j; 5

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_complejos:_Operaciones_%281%C2%BABach%29"
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