Números complejos: Operaciones (1ºBach)

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* '''División:''' <math>\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\, </math>, siempre que <math>c+di\,</math> no sea nulo. * '''División:''' <math>\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\, </math>, siempre que <math>c+di\,</math> no sea nulo.
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-*Representación gráfica. 
-*Ejemplos. 
-*Propiedades. 
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-|titulo1= Producto de números complejos 
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-*Ejemplos.  
-*Propiedades. 
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-*Definición de cociente de números complejos en forma binómica. 
-*Ejemplos.  
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-|sinopsis=Las potencias de números complejos hacen uso de la fórmula del binomio de Newton. No obstante, son mucho más fáciles si se realizan en [[Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)#Potencias de números complejos en forma polar|forma polar]] como se verá en otro apartado de este tema.  
-}} 
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-3. <math>\,(3 + 4i) (2 - 5i)</math>+3. <math>\,(3 + 4i) \cdot (2 - 5i)</math>
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'''Solución:''' '''Solución:'''
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 +*Ejemplos.
 +*Propiedades.
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 +*Ejemplos.
 +*Propiedades.
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 +*Definición de cociente de números complejos en forma binómica.
 +*Ejemplos.
 +}}
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 +|sinopsis=Las potencias de números complejos hacen uso de la fórmula del binomio de Newton. No obstante, son mucho más fáciles si se realizan en [[Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)#Potencias de números complejos en forma polar|forma polar]] como se verá en otro apartado de este tema.
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 +----
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|titulo1= Ejercicio 1 |titulo1= Ejercicio 1
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{{Video_enlace_julioprofe {{Video_enlace_julioprofe
-|titulo1= Ejercicio 3+|titulo1= Ejercicio 2
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-|titulo1= Ejercicio 5+|titulo1= Ejercicio 3
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Línea 146: Línea 134:
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{{Video_enlace_julioprofe {{Video_enlace_julioprofe
-|titulo1=Ejercicio 6+|titulo1=Ejercicio 4
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 + 
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 +:d) <math>(z')^{-1}\;</math>
 +:e) <math>2z-5\overline{z}\;</math>
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 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 8
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 +|sinopsis=Calcula:
 + 
 +:a) <math>(\cfrac{3}{2}+i)+(-2+\cfrac{1}{2}\,i)\;</math>
 +:b) <math>(\sqrt{3}+2i)+(1-5i)\;</math>
 +:c) <math>(-3-\cfrac{1}{2}\,i)-(\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{7}\,i)\;</math>
 +:d) <math>(6+4i)\cdot(-1-2i)\;</math>
 +:e) <math>-3i \cdot (2i+3)\;</math>
 +:f) <math>(\sqrt{3}+2i):(1-5i)\;</math>
 +:g) <math>-3i : (2i+3)\;</math>
 +:h) <math>\left( \cfrac{2i^5+3i^{17}}{1+i} \right)^2\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 9
 +|duracion=13´39"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=M6U7ArqqVPA&list=PLpbLLqs33gIlut1lGHmwYqQjl6-yDrsPf&index=5
 +|sinopsis=Dados <math>z=1-3i\;</math>, <math>w=-3+2i\;</math> y <math>t=-2i\;</math>, calcula:
 + 
 +:a) <math>z \cdot w \cdot t\;</math>
 +:b) <math>z \cdot t -w \cdot (t+z)\;</math>
 +:c) <math>\cfrac{w}{z}\cdot t\;</math>
 +:d) <math>\cfrac{2z-3t}{w}\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 10
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 +|sinopsis=Calcula las potencias de exponente 2, 3 y 4 de los siguientes números complejos:
 + 
 +:a) <math>2+3i\;</math>
 +:b) <math>-2+i\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 11
 +|duracion=1´12"
 +|url1=https://youtu.be/FQPN__V04DU
 +|sinopsis=Suma: <math>(5 + 2i) +(3 - 7i)\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 12
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 +|sinopsis=Resta: <math>(2 - 3i)-(6 - 18i)\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 13
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 +|url1=https://youtu.be/Hu0zAucbcl8
 +|sinopsis=Multiplica: <math>(1 - 3i) \cdot (2 + 5i)\;</math>
}} }}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 2 ejercicios (Suma)+|titulo1=Ejercicio 14
|duracion=5´55" |duracion=5´55"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0401-dos-ejercicios-5-2#.VCrvVha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=jPOoEjN3zwI&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=7
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=
 +#Determina <math>m\;</math> y <math>n\;</math> de manera que los complejos <math>z_1=m+2i\;</math> y <math>z_2=2n-mi\;</math> sean tales que <math>z_1+z_2=1+3n+4i\;</math>.
 +#Determina <math>m\;</math> y <math>n\;</math> de manera que los complejos <math>z_1=m+ni\;</math> y <math>z_2=n+mi\;</math> sean tales que <math>z_1-z_2=3+4i\;</math>.
 + 
}} }}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 3 ejercicios (Ecuaciones con soluciones complejas)+|titulo1=Ejercicio 15
-|duracion=9´24"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0501-tres-ejercicios-ecuaciones-con-soluciones-complejas#.VCrwORa7ZV8+
-|sinopsis=Videotutorial. +
-}}+
-{{Video_enlace_fonemato+
-|titulo1= 3 ejercicios (Producto)+
|duracion=9´19" |duracion=9´19"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0502-tres-ejercicios#.VCrwdha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=4Nqa_X-c62s&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=10
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Calcula <math>k\;</math> en los siguientes casos:
 + 
 +:a) <math>(2+3i) \cdot (4+ki)=5+14i</math>
 +:b) <math>(3-2i) \cdot (k+5i)=k-7i</math>
 +:c) <math>(2+ki) \cdot (k+3i)=-15+3i</math>
}} }}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 3 ejercicios (Producto)+|titulo1=Ejercicio 16
|duracion=7´05" |duracion=7´05"
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-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Si <math>z_1=2+3i\;</math>, <math>z_2=5-4i\;</math> y <math>z_3=1+2i\;</math>, determina:
 +:a) <math>z_1 \cdot \overline{z_2}</math>
 +:b) <math>z_2 \cdot z_3^{-1}</math>
 +:c) <math>z_3 \cdot (13z_1^{-1}+41z_2^{-1})</math>
}} }}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 2 ejercicios (Cociente)+|titulo1=Ejercicio 17
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-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Si <math>z_1=2+3i\;</math>, <math>z_2=5-4i\;</math> y <math>z_3=1+2i\;</math>, determina:
 +:a) <math>\cfrac{z_1 + \overline{z_2}}{z_3}</math>
 +:b) <math>\cfrac{z_2 + 2z_3}{z_1^{-1}}</math>
}} }}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 3 ejercicios (Cociente)+|titulo1=Ejercicio 18
|duracion=8´11" |duracion=8´11"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0602-tres-ejercicios-3#.VCrxbBa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=FPS9_WouC_I&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=14
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Halla <math>z\;</math>:
-}}+ 
 +:a) <math>1+4i=\cfrac{5+2i}{z}</math>
 +:b) <math>1+4i=\cfrac{5}{5+zi}</math>
 +:c) <math>(2-i) \cdot z + 4 =7-5i</math>
 +}}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 3 ejercicios (Cociente)+|titulo1=Ejercicio 19
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-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0603-tres-ejercicios-3#.VCrxixa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=4-CfluEYzzI&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=15
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Halla <math>z\;</math>:
 + 
 +:a) <math>4+z-2i=z \cdot i-3</math>
 +:b) <math>\cfrac{2+z \cdot i}{z}=3+4i</math>
 +:c) <math>\cfrac{z}{1+z \cdot i}=3+i</math>
}} }}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 2 ejercicios (Potencia)+|titulo1=Ejercicio 20
|duracion=6´49" |duracion=6´49"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/1001-dos-ejercicios-9#.VCr5_ha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=R5UcB9oP3ZY&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=24
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Calcula usando el [[Fórmula del binomio de Newton (1ºBach)| binomio de Newton]]:
 + 
 +:a) <math>(2+3i)^4\;</math>
 +:b) <math>(2-3i)^5\;</math>
}} }}
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Operaciones con complejos en forma binómica|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad
 +|descripcion=Suma, resta y producto de números complejos en forma binómica.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra2/introduction-to-complex-numbers-algebra-2/multiplying-complex-numbers-algebra-2/a/complex-number-operations-review
 +}}
 +----
 +'''Suma y resta:'''
 +
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación
 +|descripcion=Suma y resta de números complejos en forma binómica.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra2/introduction-to-complex-numbers-algebra-2/adding-and-subtracting-complex-numbers-algebra-2/e/adding_and_subtracting_complex_numbers
 +}}
 +----
 +'''Multiplicación:'''
 +
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad
 +|descripcion=Producto números complejos en forma binómica.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra2/introduction-to-complex-numbers-algebra-2/multiplying-complex-numbers-algebra-2/a/multiplying-complex-numbers
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1a
 +|descripcion=Producto de un número real o un imaginario puro por un número complejo en forma binómica.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra2/introduction-to-complex-numbers-algebra-2/multiplying-complex-numbers-algebra-2/e/multiply-complex-numbers-by-real-or-imaginary-numbers
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1b
 +|descripcion=Producto de números complejos en forma binómica.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra2/introduction-to-complex-numbers-algebra-2/multiplying-complex-numbers-algebra-2/e/multiplying_complex_numbers
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
==Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica== ==Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica==
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica
 +|duracion=14´54"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XxV8SYFES-c&list=PLpbLLqs33gIlut1lGHmwYqQjl6-yDrsPf&index=4
 +|sinopsis=Ejemplos de suma, resta, multiplicación y división de números complejos en forma binómica. Interpretación gráfica.
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica|enunciado=
{{Geogebra_enlace {{Geogebra_enlace
|descripcion=En esta escena podrás ver como se representa la suma de números complejos en forma binómica. |descripcion=En esta escena podrás ver como se representa la suma de números complejos en forma binómica.
-|enlace=[https://ggbm.at/Zhm3k4Kk Suma de números complejos en forma binómica]+|enlace=[http://ggbm.at/Zhm3k4Kk Suma]
}} }}
-{{p}} 
{{Geogebra_enlace {{Geogebra_enlace
|descripcion=En esta escena podrás ver como se representa la resta de números complejos en forma binómica. |descripcion=En esta escena podrás ver como se representa la resta de números complejos en forma binómica.
-|enlace=[https://ggbm.at/GPYkzkJA Resta de números complejos en forma binómica]+|enlace=[http://ggbm.at/GPYkzkJA Resta]
}} }}
-{{p}} 
{{Geogebra_enlace {{Geogebra_enlace
|descripcion=En esta escena podrás ver como se representa la multiplicación de números complejos en forma binómica. |descripcion=En esta escena podrás ver como se representa la multiplicación de números complejos en forma binómica.
-|enlace=[https://ggbm.at/bm3Vb27Q Multiplicación de números complejos en forma binómica]+|enlace=[http://ggbm.at/bm3Vb27Q Multiplicación]
}} }}
-{{p}} 
{{Geogebra_enlace {{Geogebra_enlace
|descripcion=En esta escena podrás ver como se representa la división de números complejos en forma binómica. |descripcion=En esta escena podrás ver como se representa la división de números complejos en forma binómica.
-|enlace=[https://ggbm.at/knBnTDDU División de números complejos en forma binómica]+|enlace=[http://ggbm.at/knBnTDDU División]
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 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación
 +|descripcion=Suma y resta de números complejos de forma gráfica.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra2/introduction-to-complex-numbers-algebra-2/adding-and-subtracting-complex-numbers-algebra-2/e/complex_plane_operations
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{{p}} {{p}}
(Pág. 151) (Pág. 151)
 +
==Propiedades de las operaciones con números complejos== ==Propiedades de las operaciones con números complejos==
{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado= {{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado=
Línea 248: Línea 387:
a) Obtener un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean <math>5-2i\;</math> y <math>5+2i\;</math>. a) Obtener un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean <math>5-2i\;</math> y <math>5+2i\;</math>.
-b) ¿Cuánto ha de valer x para que <math>(2x+i)^2\;</math> sea imaginario puro?+b) ¿Cuánto ha de valer <math>x\;</math> para que <math>(2x+i)^2\;</math> sea imaginario puro?
|sol= |sol=
a) <math>P(x)= [x-(5-2i)][x-(5+2i)]= \cdots = x^2-10x+29\;</math> a) <math>P(x)= [x-(5-2i)][x-(5+2i)]= \cdots = x^2-10x+29\;</math>
Línea 256: Línea 395:
'''Solución:''' <math>x=\pm 2</math> '''Solución:''' <math>x=\pm 2</math>
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-{{Videotutoriales|titulo=Operaciones con complejos|enunciado=+{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Operaciones con complejos''|enunciado=
{{Video_enlace_matemovil {{Video_enlace_matemovil
|titulo1= Ejercicio 1 |titulo1= Ejercicio 1
Línea 275: Línea 414:
f) <math>|\overline{z_1}|\;</math> f) <math>|\overline{z_1}|\;</math>
-'''Nota:''' El módulo de un número complejo <math>z=a+bi\;</math> es igual a <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}\;</math>. Esto se verá más adelante. 
}} }}
{{Video_enlace_matemovil {{Video_enlace_matemovil
Línea 296: Línea 434:
a) Halla el valor de "x" sabiendo que <math>5+xi=6-3i\;</math>. a) Halla el valor de "x" sabiendo que <math>5+xi=6-3i\;</math>.
-b) Sea <math>M=(3+2xi)^2</math>.¿Qué valor debe tomar "x" para que M sea imaginario puro? ¿Y para que M sea un número real?+b) Sea <math>M=(3+2xi)^2\;</math>.¿Qué valor debe tomar "x" para que M sea imaginario puro? ¿Y para que M sea un número real?
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=2´25"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=xaUnHy6RxWs&index=15&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL
 +|sinopsis=Calcula "m" y "n" para que sea cierta la igualdad <math>(3m+2i)-(5-2ni)=2-6i\;</math>.
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 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 6
 +|duracion=10´41"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=xSYPDVvjy-4&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL&index=11
 +|sinopsis=Halla dos números complejos cuyo cociente sea imaginario puro, su suma sea 5 y el módulo del dividendo sea doble del módulo del divisor.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 7
 +|duracion=4´01"
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 +|sinopsis=Calcula el valor de "x" de manera que <math>\cfrac{x+i}{1-i}</math> sea:
 +
 +a) Igual a 1+2i.
 +
 +b) Un número real.
 +
 +c)Un número imaginario puro.
 +}}
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 +|titulo1=Ejercicio 8
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 +|sinopsis=Dados los dos números complejos, 2-mi y 3-ni, halla los valores de "m" y "n" de manera que el producto de los complejos dados sea 8-4i.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 9
 +|duracion=14´49"
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 +|sinopsis=
 +# Halla una ecuación de segundo grado que tengan como raíces a: <math>2+3i\;</math> y <math>2-3i\;</math>.
 +# Resuelve: <math>z^2+z+1=0\;</math> en el conjunto de los números complejos.
 +# Halla <math>b\;</math> para que el módulo de <math>\cfrac{b+4i}{1+i}</math> sea <math>\sqrt{26}\;</math>.
 +# La suma de un complejo y su conjugado es 24 y la suma de sus módulos es 26. Hállalo.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 10
 +|duracion=14´48"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=BGKRzMRR_yQ&list=PLpbLLqs33gIlut1lGHmwYqQjl6-yDrsPf&index=6
 +|sinopsis=
 +# Calcula: a) <math>i^{17}\;</math> ; b) <math>i^{210}\;</math> ; c) <math>i^{160}\;</math>
 +# Halla el valor de <math>k\;</math> para que \cfrac{2-ki}{k-i} sea: a) imaginario puro; b) real.
 +# Halla el valor de <math>m\;</math> y <math>n\;</math> para que <math>(2+mi)+(n+5i)=7-2i\;</math>
 +# Halla el valor de <math>a\;</math> y <math>b\;</math> para que <math>a-3i=\cfrac{2+bi}{5-3i}\;</math>
}} }}
}} }}

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]

(Pág. 150)

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Operaciones con números complejos en forma binómica

  • Suma: \,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • Resta: \,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • Multiplicación: \,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
  • División: \,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,, siempre que c+di\, no sea nulo.

ejercicio

Ejemplos: Operaciones con complejos en forma binómica

Efectúa las siguientes operaciones:

1. \,(3 + 2i) + (5 + 6i)
2. \,(6 - 5i) - (4 - 7i)
3. \,(3 + 4i) \cdot (2 - 5i)
4. \,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}

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Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica

(Pág. 151)

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Propiedades de las operaciones con números complejos

ejercicio

Propiedades

  • Propiedades de la suma:
    • Asociativa: z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_1\;
    • Conmutativa: z_1+z_2=z_2+z_1\;
    • Existencia de elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma.
    • Existencia de opuesto: Todo número complejo, a+bi\,, tiene un opuesto, -a-bi\,
  • Propiedades del producto:
    • Asociativa: z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)=(z_1 \cdot z_2) \cdot z_1
    • Conmutativa: z_1 \cdot z_2=z_2 \cdot z_1
    • Existencia de elemento neutro: El 1 es el elemento neutro del producto.
    • Existencia de inverso: Todo número complejo, a+bi\,, distinto de 0, tiene inverso, \cfrac{1}{a+bi}:
\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\cfrac{a-bi}{a^2+b^2}=\cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}i
  • Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: z_1\cdot(z_2+z_3)=z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3

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Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos

a) Obtener un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean 5-2i\; y 5+2i\;.

b) ¿Cuánto ha de valer x\; para que (2x+i)^2\; sea imaginario puro?

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Operaciones con números complejos

(Pág. 150-151)

2b,d,h,k; 3; 4

1; 2a,c,e,f,g,i,j; 5

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_complejos:_Operaciones_%281%C2%BABach%29"
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