Números complejos: Operaciones (1ºBach)

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(→Operaciones con números complejos en forma binómica)
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-|sinopsis=Operaciones en forma binómica.+|sinopsis=Dados los complejos: <math>z=5+7i\;</math> y <math>z'=-\sqrt{3}+2i\;</math>, calcula:
 + 
 +:a) <math>z+z'\;</math>
 +:b) <math>z-z'\;</math>
 +:c) <math>z \cdot z' \cdot z\;</math>
 +:d) <math>(z')^{-1}\;</math>
 +:e) <math>2z-5\overline{z}\;</math>
 +:f) <math>z \cdot z'\;</math>
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Línea 173: Línea 180:
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-|sinopsis=Operaciones en forma binómica.+|sinopsis=Calcula:
 + 
 +:a) <math>(\cfrac{3}{2}+i)+(-2+\cfrac{1}{2}\,i)\;</math>
 +:b) <math>(\sqrt{3}+2i)+(1-5i)\;</math>
 +:c) <math>(-3-\cfrac{1}{2}\,i)-(\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{7}\,i)\;</math>
 +:d) <math>(6+4i)\cdot(-1-2i)\;</math>
 +:e) <math>-3i \cdot (2i+3)\;</math>
 +:f) <math>(\sqrt{3}+2i):(1-5i)\;</math>
 +:g) <math>-3i : (2i+3)\;</math>
 +:h) <math>\left( \cfrac{2i^5+3i^{17}}{1+i} \right)^2\;</math>
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Línea 179: Línea 195:
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-|sinopsis=Operaciones en forma binómica.+|sinopsis=Dados <math>z=1-3i\;</math>, <math>w=-3+2i\;</math> y <math>t=-2i\;</math>, calcula:
 + 
 +:a) <math>z \cdot w \cdot t\;</math>
 +:b) <math>z \cdot t -w \cdot (t+z)\;</math>
 +:c) <math>\cfrac{w}{z}\cdot t\;</math>
 +:d) <math>\cfrac{2z-3t}{w}\;</math>
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-|sinopsis=Potencias en forma binómica.+|sinopsis=Calcula las potencias de exponente 2, 3 y 4 de los siguientes números complejos:
 + 
 +:a) <math>2+3i\;</math>
 +:b) <math>-2+i\;</math>
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|titulo1=Ejercicio 11 |titulo1=Ejercicio 11
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Línea 200: Línea 218:
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Línea 206: Línea 224:
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Línea 212: Línea 230:
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-|titulo1= 2 ejercicios (Suma)+|titulo1=Ejercicio 14
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-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=
 +#Determina <math>m\;</math> y <math>n\;</math> de manera que los complejos <math>z_1=m+2i\;</math> y <math>z_2=2n-mi\;</math> sean tales que <math>z_1+z_2=1+3n+4i\;</math>.
 +#Determina <math>m\;</math> y <math>n\;</math> de manera que los complejos <math>z_1=m+ni\;</math> y <math>z_2=n+mi\;</math> sean tales que <math>z_1-z_2=3+4i\;</math>.
 + 
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-|titulo1= 3 ejercicios (Producto)+|titulo1=Ejercicio 15
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-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Calcula <math>k\;</math> en los siguientes casos:
 + 
 +:a) <math>(2+3i) \cdot (4+ki)=5+14i</math>
 +:b) <math>(3-2i) \cdot (k+5i)=k-7i</math>
 +:c) <math>(2+ki) \cdot (k+3i)=-15+3i</math>
}} }}
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-|titulo1= 3 ejercicios (Producto)+|titulo1=Ejercicio 16
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-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Si <math>z_1=2+3i\;</math>, <math>z_2=5-4i\;</math> y <math>z_3=1+2i\;</math>, determina:
 +:a) <math>z_1 \cdot \overline{z_2}</math>
 +:b) <math>z_2 \cdot z_3^{-1}</math>
 +:c) <math>z_3 \cdot (13z_1^{-1}+41z_2^{-1})</math>
}} }}
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-|titulo1= 2 ejercicios (Cociente)+|titulo1=Ejercicio 17
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-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Si <math>z_1=2+3i\;</math>, <math>z_2=5-4i\;</math> y <math>z_3=1+2i\;</math>, determina:
 +:a) <math>\cfrac{z_1 + \overline{z_2}}{z_3}</math>
 +:b) <math>\cfrac{z_2 + 2z_3}{z_1^{-1}}</math>
}} }}
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-|titulo1= 3 ejercicios (Cociente)+|titulo1=Ejercicio 18
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|url1=https://www.youtube.com/watch?v=FPS9_WouC_I&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=14 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=FPS9_WouC_I&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=14
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Halla <math>z\;</math>:
-}}+ 
 +:a) <math>1+4i=\cfrac{5+2i}{z}</math>
 +:b) <math>1+4i=\cfrac{5}{5+zi}</math>
 +:c) <math>(2-i) \cdot z + 4 =7-5i</math>
 +}}
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-|titulo1= 3 ejercicios (Cociente)+|titulo1=Ejercicio 19
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-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Halla <math>z\;</math>:
 + 
 +:a) <math>4+z-2i=z \cdot i-3</math>
 +:b) <math>\cfrac{2+z \cdot i}{z}=3+4i</math>
 +:c) <math>\cfrac{z}{1+z \cdot i}=3+i</math>
}} }}
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-|titulo1= 2 ejercicios (Potencia)+|titulo1=Ejercicio 20
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-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Calcula usando el [[Fórmula del binomio de Newton (1ºBach)| binomio de Newton]]:
 + 
 +:a) <math>(2+3i)^4\;</math>
 +:b) <math>(2-3i)^5\;</math>
}} }}
Línea 430: Línea 471:
|duracion=14´49" |duracion=14´49"
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-|sinopsis=Ejercicios varios.+|sinopsis=
 +# Halla una ecuación de segundo grado que tengan como raíces a: <math>2+3i\;</math> y <math>2-3i\;</math>.
 +# Resuelve: <math>z^2+z+1=0\;</math> en el conjunto de los números complejos.
 +# Halla <math>b\;</math> para que el módulo de <math>\cfrac{b+4i}{1+i}</math> sea <math>\sqrt{26}\;</math>.
 +# La suma de un complejo y su conjugado es 24 y la suma de sus módulos es 26. Hállalo.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 10
 +|duracion=14´48"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=BGKRzMRR_yQ&list=PLpbLLqs33gIlut1lGHmwYqQjl6-yDrsPf&index=6
 +|sinopsis=
 +# Calcula: a) <math>i^{17}\;</math> ; b) <math>i^{210}\;</math> ; c) <math>i^{160}\;</math>
 +# Halla el valor de <math>k\;</math> para que \cfrac{2-ki}{k-i} sea: a) imaginario puro; b) real.
 +# Halla el valor de <math>m\;</math> y <math>n\;</math> para que <math>(2+mi)+(n+5i)=7-2i\;</math>
 +# Halla el valor de <math>a\;</math> y <math>b\;</math> para que <math>a-3i=\cfrac{2+bi}{5-3i}\;</math>
}} }}
}} }}

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]

(Pág. 150)

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Operaciones con números complejos en forma binómica

  • Suma: \,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • Resta: \,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • Multiplicación: \,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
  • División: \,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,, siempre que c+di\, no sea nulo.

ejercicio

Ejemplos: Operaciones con complejos en forma binómica

Efectúa las siguientes operaciones:

1. \,(3 + 2i) + (5 + 6i)
2. \,(6 - 5i) - (4 - 7i)
3. \,(3 + 4i) \cdot (2 - 5i)
4. \,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}

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Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica

(Pág. 151)

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Propiedades de las operaciones con números complejos

ejercicio

Propiedades

  • Propiedades de la suma:
    • Asociativa: z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_1\;
    • Conmutativa: z_1+z_2=z_2+z_1\;
    • Existencia de elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma.
    • Existencia de opuesto: Todo número complejo, a+bi\,, tiene un opuesto, -a-bi\,
  • Propiedades del producto:
    • Asociativa: z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)=(z_1 \cdot z_2) \cdot z_1
    • Conmutativa: z_1 \cdot z_2=z_2 \cdot z_1
    • Existencia de elemento neutro: El 1 es el elemento neutro del producto.
    • Existencia de inverso: Todo número complejo, a+bi\,, distinto de 0, tiene inverso, \cfrac{1}{a+bi}:
\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\cfrac{a-bi}{a^2+b^2}=\cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}i
  • Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: z_1\cdot(z_2+z_3)=z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3

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Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos

a) Obtener un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean 5-2i\; y 5+2i\;.

b) ¿Cuánto ha de valer x\; para que (2x+i)^2\; sea imaginario puro?

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Operaciones con números complejos

(Pág. 150-151)

2b,d,h,k; 3; 4

1; 2a,c,e,f,g,i,j; 5

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