Números complejos: Forma polar (1ºBach)

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==Forma polar de un número complejo== ==Forma polar de un número complejo==
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*Su '''conjugado''' es <math>\bar z = r_{-\phi}</math> *Su '''conjugado''' es <math>\bar z = r_{-\phi}</math>
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 +|descripcion=En esta escena podrás ver como se representan los números complejos en forma polar. Mueve el deslizador para ver algunos ejemplos y completa los que faltan en tu cuaderno.
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==Paso de forma binómica a polar== ==Paso de forma binómica a polar==
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Dado un número complejo <math>z=a+bi\,</math> su forma polar <math>r_\phi \,</math> se obtiene de la siguiente manera: Dado un número complejo <math>z=a+bi\,</math> su forma polar <math>r_\phi \,</math> se obtiene de la siguiente manera:
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==Paso de forma polar a binómica== ==Paso de forma polar a binómica==
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Dado un número complejo <math>r_\phi \,</math>, su forma binómica <math>a+bi\,</math> se obtiene de la siguiente manera: Dado un número complejo <math>r_\phi \,</math>, su forma binómica <math>a+bi\,</math> se obtiene de la siguiente manera:
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- +
-::<math>z=\sqrt{3}+i</math>+
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En esta escena puedes pasar un complejo de forma polar a binómica. Puedes variar los valores del módulo y del argumento. En esta escena puedes pasar un complejo de forma polar a binómica. Puedes variar los valores del módulo y del argumento.
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 +==Familias de complejos en forma polar==
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 +{{Ejemplo|titulo=Ejercicio resuelto: ''Familias de complejos en forma polar''
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 +:'''a)''' Como <math>|z|=3\;</math>, los números complejos que cumplen esa condición son los puntos del plano cuya distancia al origen es igual a 3, esto es, una circunferencia de centro O y radio 3.
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 +:'''b)''' Como <math>|z|<3\;</math>, los números complejos que cumplen esa condición son los puntos del plano cuya distancia al origen es menor que 3, esto es, una círculo de centro O y radio 3 sin la circunferencia del borde.
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 +:'''c)''' Como <math>1 \le |z| \le 3</math>, la solución es una corona circular de radios 1 y 3 y centro O, incluidas las circunferencias de los bordes.
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 +:'''d)''' Como <math>Arg(z)=30^\circ</math> la solución es una semirrecta abierta de origen O que forma un ángulo de 30º con el eje X.
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 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena de Geogebra podrás ver como se representan gráficamente las soluciones.
 +|enlace=[http://ggbm.at/DWpDZeYY Soluciones]
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 +==Ejercicios==
 +===Ejercicios propuestos===
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 +(Pág. 153)
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 +(Pág. 158)
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 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 1c,d,e; 2d,e
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 +}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría: Números]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

(Pág. 152)

Forma polar de un número complejo

Dado un número complejo z=a+bi\,

  • El módulo de z\, es la longitud del vector que lo representa, es decir, la distancia entre el afijo (a,b)\, y el origen (0,0)\,). Se designa por r=|z|\,.
  • El argumento de z\, (z \ne 0), es el ángulo que forma el vector con el eje X . Se designa por \phi=arg(z)\,. De los infinitos argumentos de un número complejo, al comprendido entre 0º y 360º se le llama argumento principal.

La forma polar del número complejo z \, (z \ne 0), se designa r_\phi \,, siendo r=|z|\, y \phi=arg(z)\,.

(El cero, al no tener argumento, no se puede poner en forma polar)

ejercicio

Propiedades


Si z= r_\phi\;, entonces:

  • Su opuesto es -z=r_{\phi + 180^\circ}
  • Su conjugado es \bar z = r_{-\phi}
Fig. 1: Un número complejo queda determinado por su módulo y su argumento.
Aumentar
Fig. 1: Un número complejo queda determinado por su módulo y su argumento.

Paso de forma binómica a polar

ejercicio

Procedimiento


Dado un número complejo z=a+bi\, su forma polar r_\phi \, se obtiene de la siguiente manera:

  • r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\quad     
  • \phi=arctg \, \cfrac{b}{a}

ejercicio

Ejemplo: Paso de forma binómica a polar


Pasa a forma polar:

a) z=2+2i\,
b) z=-i\,
c) z=-3\,

(Pág. 153)

Paso de forma polar a binómica

ejercicio

Procedimiento


Dado un número complejo r_\phi \,, su forma binómica a+bi\, se obtiene de la siguiente manera:

  • a=r \cdot cos \, \phi
  • b=r \cdot sen \, \phi

ejercicio

Ejemplo: Paso de forma polar a binómica


Pasa a forma binómica el número complejo z=2_{30^\circ}

Forma trigonométrica de un número complejo

Según lo visto en el apartado anterior:

z=a+bi= r \cdot cos \, \phi + r \cdot sen \, \phi \cdot i=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)

Se llama forma trigonométrica de un número complejo, a la expresión

z=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)

ejercicio

Ejemplo: Forma trigonométrica de un complejo


Pasa a forma trigonométrica el número complejo z=2_{60^\circ}

Familias de complejos en forma polar

ejercicio

Ejercicio resuelto: Familias de complejos en forma polar


Representa los siguientes conjuntos de números complejos:

a) |z|=3\;
b) |z|<3\;
c) 1 \le |z| \le 3
d) Arg(z)=30^\circ

Ejercicios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Forma polar de un número complejo


(Pág. 153)

2a,e,f; 3a,e,f; 4; 5; 6

1; 2b,c,d; 3b,c,d

(Pág. 158)

1c,d,e; 2d,e

Herramientas personales
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