Números complejos: Forma polar (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión actual

Menú:

Enlaces internos	Para repasar o ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Geogebra Calculadoras

Tabla de contenidos

1 Forma polar de un número complejo
2 Paso de forma binómica a polar
3 Paso de forma polar a binómica
4 Forma trigonométrica de un número complejo
5 Familias de complejos en forma polar
6 Ejercicios
- 6.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 152)

[editar]

Forma polar de un número complejo

Dado un número complejo $z=a+bi\,$

El módulo de $z\,$ es la longitud del vector que lo representa, es decir, la distancia entre el afijo $(a,b)\,$ y el origen $(0,0)\,)$ . Se designa por $r=|z|\,$ .
El argumento de $z\,$ ( $z \ne 0$ ), es el ángulo que forma el vector con el eje X . Se designa por $\phi=arg(z)\,$ . De los infinitos argumentos de un número complejo, al comprendido entre 0º y 360º se le llama argumento principal.

La forma polar del número complejo $z \, (z \ne 0)$ , se designa $r_\phi \,$ , siendo $r=|z|\,$ y $\phi=arg(z)\,$ .

(El cero, al no tener argumento, no se puede poner en forma polar)

Propiedades

Si $z= r_\phi\;$ , entonces:

Su opuesto es $-z=r_{\phi + 180^\circ}$
Su conjugado es $\bar z = r_{-\phi}$

Fig. 1: Un número complejo queda determinado por su módulo y su argumento.

Forma polar de números complejos Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan los números complejos en forma polar. Mueve el deslizador para ver algunos ejemplos y completa los que faltan en tu cuaderno.

[editar]

Paso de forma binómica a polar

Procedimiento

Dado un número complejo $z=a+bi\,$ su forma polar $r_\phi \,$ se obtiene de la siguiente manera:

$r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\quad$

$\phi=arctg \, \cfrac{b}{a}$

Demostración:

Para la primera igualdad basta aplicar el teorema de Pitágoras.

Para la segunda, basta tener en cuenta que $tg \, \phi =\cfrac{b}{a}$ .

Ejemplo: Paso de forma binómica a polar

Pasa a forma polar:

a) $z=2+2i\,$

b) $z=-i\,$

c) $z=-3\,$

Solución:

a) $z=2+2i\,$

Calculamos el módulo:

$r = |z| = \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$

Calculamos el argumento:

$\phi=arctg \, \cfrac{2}{2}=45^\circ$

Solución: $z=(\sqrt{8})_{45^\circ}$

b) $z=-i\,$

Solución: $z=1_{270^\circ}$

c) $z=-3\,$

Solución: $z=3_{180^\circ}$

De forma binómica a forma polar (14´50") Sinopsis:

Qué es la forma polar de un número complejo, y cómo se pasa de forma binómica a polar.

Paso de forma binómica a polar Descripción:

Pasa los siguientes números complejos a forma polar y comprueba tus resultados en la escena:

a) $1+2i\,$ b) $-2+3i\,$ c) $-3-i\,$ d) $5-4i\,$

En esta escena puedes pasar un complejo de forma binómica a polar. Puedes variar los valores de a y b o mover el afijo con el ratón.

Paso de forma binómica a polar

Actividad: Paso de forma binómica a polar

a) Pasa $1-i\;$ a forma polar.

b) Halla el argumento de $1-i\;$ .

b) Halla el módulo de $1-i\;$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) convert 1-i to polar form

b) arg (1-i) in degrees o arg (1-i)

c) $| 1 - i |$

(Pág. 153)

[editar]

Paso de forma polar a binómica

Procedimiento

Dado un número complejo $r_\phi \,$ , su forma binómica $a+bi\,$ se obtiene de la siguiente manera:

$a=r \cdot cos \, \phi$
$b=r \cdot sen \, \phi$

Ejemplo: Paso de forma polar a binómica

Pasa a forma binómica el número complejo $z=2_{30^\circ}$

Solución:

Calculamos la parte real:

$a=2 \cdot cos \, 30^\circ=2 \, \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Calculamos su parte imaginaria:

$b=2 \cdot sen \, 30^\circ=2 \, \cfrac{1}{2}=1$

Solución: $z=\sqrt{3}+i$

De forma polar a binómica (9´12") Sinopsis:

Cómo se pasa un complejo de forma polar a binómica.

Paso de forma polar a binómica Descripción:

Pasa los siguientes números complejos a forma binómica y comprueba tus resultados en esta escena:

a) $1_{225^\circ}$ b) $4_{0^\circ}$ c) $3_{270^\circ}$ d) $2_{295^\circ}$ e) $8_{90^\circ}$ f) $2_{120^\circ}$

En esta escena puedes pasar un complejo de forma polar a binómica. Puedes variar los valores del módulo y del argumento.

[editar]

Forma trigonométrica de un número complejo

Según lo visto en el apartado anterior:

$z=a+bi= r \cdot cos \, \phi + r \cdot sen \, \phi \cdot i=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)$

Se llama forma trigonométrica de un número complejo, a la expresión

$z=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)$

Ejemplo: Forma trigonométrica de un complejo

Pasa a forma trigonométrica el número complejo $z=2_{60^\circ}$

Solución:

Tan sólo hay que aplicar la fórmula:

$z=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)=2 \, (cos \, 60^\circ + i \, sen \, 60^\circ)$

Formas polar y trigonométrica de un número complejo

Tutorial (11´22") Sinopsis:

Videotutorial.

Ejercicio 1 (10´34") Sinopsis:

4 ejercicios.

Ejercicio 2 (7´00") Sinopsis:

4 ejercicios

Ejercicio 3 (10´37") Sinopsis:

9 ejercicios.

[editar]

Familias de complejos en forma polar

Ejercicio resuelto: Familias de complejos en forma polar

Representa los siguientes conjuntos de números complejos:

a) $|z|=3\;$

b) $|z|<3\;$

c) $1 \le |z| \le 3$

d) $Arg(z)=30^\circ$

Solución:

a) Como $|z|=3\;$ , los números complejos que cumplen esa condición son los puntos del plano cuya distancia al origen es igual a 3, esto es, una circunferencia de centro O y radio 3.

b) Como $|z|<3\;$ , los números complejos que cumplen esa condición son los puntos del plano cuya distancia al origen es menor que 3, esto es, una círculo de centro O y radio 3 sin la circunferencia del borde.

c) Como $1 \le |z| \le 3$ , la solución es una corona circular de radios 1 y 3 y centro O, incluidas las circunferencias de los bordes.

d) Como $Arg(z)=30^\circ$ la solución es una semirrecta abierta de origen O que forma un ángulo de 30º con el eje X.

Soluciones Descripción:

En esta escena de Geogebra podrás ver como se representan gráficamente las soluciones.

[editar]

Ejercicios

[editar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Forma polar de un número complejo

(Pág. 153)

2a,e,f; 3a,e,f; 4; 5; 6

1; 2b,c,d; 3b,c,d

(Pág. 158)

1c,d,e; 2d,e

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_complejos:_Forma_polar_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría | Números

 }}
 {{p}}
-{{AI_enlace
+{{Video_enlace_8cifras
-|titulo1=Actividad: ''Paso de forma binómica a polar''
+|titulo1=De forma binómica a forma polar
+|duracion=14´50"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=YQuDN2MUKkk&index=7&list=PLpbLLqs33gIlut1lGHmwYqQjl6-yDrsPf
+|sinopsis=Qué es la forma polar de un número complejo, y cómo se pasa de forma binómica a polar.
+}}
+{{AI_descartes
+|titulo1=Paso de forma binómica a polar
 |descripcion=Pasa los siguientes números complejos a forma polar y comprueba tus resultados en la escena:
 }}
 {{p}}
+{{Video_enlace_8cifras
-{{AI_enlace
+|titulo1=De forma polar a binómica
-|titulo1=Actividad: ''Paso de forma polar a binómica''
+|duracion=9´12"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=IK1SaP8uvVM&index=8&list=PLpbLLqs33gIlut1lGHmwYqQjl6-yDrsPf
+|sinopsis=Cómo se pasa un complejo de forma polar a binómica.
+}}
+{{AI_descartes
+|titulo1=Paso de forma polar a binómica
 |descripcion=Pasa los siguientes números complejos a forma binómica y comprueba tus resultados en esta escena:
 }}
 {{p}}
-{{Video_enlace
+{{Videotutoriales|titulo=Formas polar y trigonométrica de un número complejo|enunciado=
-|titulo1= Formas polar y trigonométrica de un número complejo
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Tutorial
 |duracion=11´22"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/07-formas-polar-y-trigonometrica-de-un-numero-complejo#.VCryRRa7ZV8
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=azuVR4S0UD0&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=16
 |sinopsis=Videotutorial.
 }}
-{{p}}
+----
-{{Video_enlace
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 4 ejercicios
+|titulo1= Ejercicio 1
 |duracion=10´34"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0701-cuatro-ejercicios-5#.VCry0Ba7ZV8
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=BYOUqBDau1c&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=17
-|sinopsis=Videotutorial.
+|sinopsis=4 ejercicios.
 }}
-{{Video_enlace
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 4 ejercicios
+|titulo1=Ejercicio 2
-|duracion=7´
+|duracion=7´00"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0702-cuatro-ejercicios-2#.VCrzBha7ZV8
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=7agSOtjzFvQ&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=18
-|sinopsis=Videotutorial.
+|sinopsis=4 ejercicios
 }}
-{{Video_enlace
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1= 9 ejercicios
+|titulo1=Ejercicio 3
 |duracion=10´37"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/12-numeros-complejos/0703-nueve-ejercicios#.VCrzLxa7ZV8
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=d2qfqSWpPXg&list=PLB2E59B57C33C7B8D&index=25
-|sinopsis=Videotutorial.
+|sinopsis=9 ejercicios.
 }}
+}}
+{{p}}
-{{p}}
 ==Familias de complejos en forma polar==
 :d) <math>Arg(z)=30^\circ</math>
 |sol=
-Como <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}=r \rightarrow x^2+y^2=r^2</math>, los tres primeros apartados se resuelven de la siguiente manera:
+:'''a)''' Como <math>|z|=3\;</math>, los números complejos que cumplen esa condición son los puntos del plano cuya distancia al origen es igual a 3, esto es, una circunferencia de centro O y radio 3.
-:'''a)''' Representando la curva <math>x^2+y^2=9\;</math> se obtiene una circunferncia de centro O y radio 3.
+:'''b)''' Como <math>|z|<3\;</math>, los números complejos que cumplen esa condición son los puntos del plano cuya distancia al origen es menor que 3, esto es, una círculo de centro O y radio 3 sin la circunferencia del borde.
-:'''b)''' Representando la curva <math>x^2+y^2<9\;</math> se obtiene un círculo de centro O y radio 3sin la circunferencia del borde.
+:'''c)''' Como <math>1 \le |z| \le 3</math>, la solución es una corona circular de radios 1 y 3 y centro O, incluidas las circunferencias de los bordes.
-:'''c)''' Representando la curva <math>1 \le x^2+y^2 \le 9</math> se obtiene una corona circular de radios 1 y 3 y centro O, incluidas las circunferencias de los bordes.
+:'''d)''' Como <math>Arg(z)=30^\circ</math> la solución es una semirrecta abierta de origen O que forma un ángulo de 30º con el eje X.
-Como <math>tg \, \theta = \cfrac{y}{x} \rightarrow y= tg \, \theta \cdot x</math>:
-:'''d)''' Representando la recta <math>y= tg \, 30^\circ \cdot x</math> con <math>x>0\;</math> se obtiene una semirrecta abierta de origen O que forma un ángulo de 30º con el eje X.
 {{Geogebra_enlace
 |descripcion=En esta escena de Geogebra podrás ver como se representan gráficamente las soluciones.
-|enlace=[https://ggbm.at/DWpDZeYY Soluciones]
+|enlace=[http://ggbm.at/DWpDZeYY Soluciones]
 }}
 }}
 ==Ejercicios==
-{{Video_enlace_matemovil
-|titulo1= Ejercicio 1
-|duracion=7´40"
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=mSdDyGvfInc&index=49&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ
-|sinopsis=Dados los complejos <math>z_1=3+2i\;</math> y <math>z_2=2-i\;</math>, halla <math>z_1 \cdot z_2\;</math> y <math>z_1 : z_2\;</math>.
-}}
 ===Ejercicios propuestos===
 {{ejercicio

Números complejos: Forma polar (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Forma polar de un número complejo

Paso de forma binómica a polar

Paso de forma polar a binómica

Forma trigonométrica de un número complejo

Familias de complejos en forma polar

Ejercicios

Ejercicios propuestos

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas