Números complejos: Forma polar (1ºBach)
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:d) <math>Arg(z)=30^\circ</math> | :d) <math>Arg(z)=30^\circ</math> | ||
|sol= | |sol= | ||
- | Como <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}=r \rightarrow x^2+y^2=r^2</math>, los tres primeros apartados se resuelven de la siguiente manera: | + | :'''a)''' Como <math>|z|=3\;</math>, los números complejos que cumplen esa condición son los puntos del plano cuya distancia al origen es igual a 3, esto es, una circunferencia de centro O y radio 3. |
- | :'''a)''' Representando la curva <math>x^2+y^2=9\;</math> se obtiene una circunferncia de centro O y radio 3. | + | :'''b)''' Como <math>|z|<3\;</math>, los números complejos que cumplen esa condición son los puntos del plano cuya distancia al origen es menor que 3, esto es, una círculo de centro O y radio 3 sin la circunferencia del borde. |
- | :'''b)''' Representando la curva <math>x^2+y^2<9\;</math> se obtiene un círculo de centro O y radio 3sin la circunferencia del borde. | + | :'''c)''' Como <math>1 \le |z| \le 3</math>, la solución es una corona circular de radios 1 y 3 y centro O, incluidas las circunferencias de los bordes. |
- | :'''c)''' Representando la curva <math>1 \le x^2+y^2 \le 9</math> se obtiene una corona circular de radios 1 y 3 y centro O, incluidas las circunferencias de los bordes. | + | :'''d)''' Como <math>Arg(z)=30^\circ</math> la solución es una semirrecta abierta de origen O que forma un ángulo de 30º con el eje X. |
- | + | ||
- | Como <math>tg \, \theta = \cfrac{y}{x} \rightarrow y= tg \, \theta \cdot x</math>: | + | |
- | + | ||
- | :'''d)''' Representando la recta <math>y= tg \, 30^\circ \cdot x</math> con <math>x>0\;</math> se obtiene una semirrecta abierta de origen O que forma un ángulo de 30º con el eje X. | + | |
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|descripcion=En esta escena de Geogebra podrás ver como se representan gráficamente las soluciones. | |descripcion=En esta escena de Geogebra podrás ver como se representan gráficamente las soluciones. | ||
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Tabla de contenidos |
(Pág. 152)
Forma polar de un número complejo
Dado un número complejo
La forma polar del número complejo (El cero, al no tener argumento, no se puede poner en forma polar) |
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se representan los números complejos en forma polar. Mueve el deslizador para ver algunos ejemplos y completa los que faltan en tu cuaderno.
Paso de forma binómica a polar
Procedimiento
Dado un número complejo su forma polar
se obtiene de la siguiente manera:
| ![]() |
Ejemplo: Paso de forma binómica a polar
Pasa a forma polar:
- a)
- b)
- c)
a)
Calculamos el módulo:
Calculamos el argumento:
Solución:
b)
Solución:
c)
![z=3_{180^\circ}](/wikipedia/images/math/2/8/a/28a1c8cfe2184a1b4257e8b58f75901f.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Qué es la forma polar de un número complejo, y cómo se pasa de forma binómica a polar.
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Pasa los siguientes números complejos a forma polar y comprueba tus resultados en la escena:
- a)
b)
c)
d)
- a)
En esta escena puedes pasar un complejo de forma binómica a polar. Puedes variar los valores de a y b o mover el afijo con el ratón.
Actividad: Paso de forma binómica a polar a) Pasa b) Halla el argumento de b) Halla el módulo de Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: a) convert 1-i to polar form b) arg (1-i) in degrees o arg (1-i) c) | 1 − i | |
(Pág. 153)
Paso de forma polar a binómica
Ejemplo: Paso de forma polar a binómica
Pasa a forma binómica el número complejo
Calculamos la parte real:
Calculamos su parte imaginaria:
![z=\sqrt{3}+i](/wikipedia/images/math/5/5/a/55a3bdf645c77969d7a82ddd65cdca01.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Cómo se pasa un complejo de forma polar a binómica.
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Pasa los siguientes números complejos a forma binómica y comprueba tus resultados en esta escena:
- a)
b)
c)
d)
e)
f)
- a)
En esta escena puedes pasar un complejo de forma polar a binómica. Puedes variar los valores del módulo y del argumento.
Forma trigonométrica de un número complejo
Según lo visto en el apartado anterior:
![z=a+bi= r \cdot cos \, \phi + r \cdot sen \, \phi \cdot i=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)](/wikipedia/images/math/c/6/6/c6607cbf9ef0442ece9f10a82ca9b4e4.png)
Se llama forma trigonométrica de un número complejo, a la expresión
|
Ejemplo: Forma trigonométrica de un complejo
Pasa a forma trigonométrica el número complejo
Tan sólo hay que aplicar la fórmula:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Videotutorial.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
4 ejercicios.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
4 ejercicios
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
9 ejercicios.
Familias de complejos en forma polar
Ejercicio resuelto: Familias de complejos en forma polar
Representa los siguientes conjuntos de números complejos:
- a)
- b)
- c)
- d)
- a) Como
, los números complejos que cumplen esa condición son los puntos del plano cuya distancia al origen es igual a 3, esto es, una circunferencia de centro O y radio 3.
- b) Como
, los números complejos que cumplen esa condición son los puntos del plano cuya distancia al origen es menor que 3, esto es, una círculo de centro O y radio 3 sin la circunferencia del borde.
- c) Como
, la solución es una corona circular de radios 1 y 3 y centro O, incluidas las circunferencias de los bordes.
- d) Como
la solución es una semirrecta abierta de origen O que forma un ángulo de 30º con el eje X.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena de Geogebra podrás ver como se representan gráficamente las soluciones.
Ejercicios
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Forma polar de un número complejo |