Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)

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(División de números complejos en forma polar)
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{{Caja|contenido=<math>(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)</math>}} {{Caja|contenido=<math>(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)</math>}}
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-:Esta fórmula debe su nombre al matemático francés [[Moivre| Abraham de Moivre]] (1667-1754).+Esta fórmula debe su nombre al matemático francés [[Moivre| Abraham de Moivre]] (1667-1754).
|demo= |demo=
Basta aplicar la fórmula de la potencia de un complejo en forma polar y tener en cuenta la forma trigonométrica de un número complejo: Basta aplicar la fórmula de la potencia de un complejo en forma polar y tener en cuenta la forma trigonométrica de un número complejo:
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==División de números complejos en forma polar== ==División de números complejos en forma polar==
-{{Teorema|titulo=División de complejos en forma polar|enunciado=La división de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.+{{Teorema|titulo=División de complejos en forma polar|enunciado=La división de dos numeros complejos en forma polar, <math>r_\alpha\;</math> y <math>s_\beta \ , \ (s_\beta \ne 0)</math>, es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.
{{Caja|contenido=<math>\cfrac{r_\alpha}{s_\beta}=\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta}</math>}} {{Caja|contenido=<math>\cfrac{r_\alpha}{s_\beta}=\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta}</math>}}
-|demo=+ 
 + 
 +|demo=En efecto:
 +:<math>\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta} \cdot s_\beta = \Big( \cfrac{r}{s} \cdot s \, \Big)_{\alpha - \beta + \beta} = r_\alpha</math>
 + 
 +De donde, dividiendo por <math>s_\beta\;</math> en ambos miembros, se obtiene la igualdad que queríamos demostrar.
 + 
 + 
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{{p}} {{p}}
Línea 99: Línea 114:
{{Geogebra_enlace {{Geogebra_enlace
|descripcion=En esta escena podrás ver como se representan las divisiones de números complejos en forma polar. |descripcion=En esta escena podrás ver como se representan las divisiones de números complejos en forma polar.
-|enlace=[https://ggbm.at/eyfZ6huD División de complejos en forma polar]+|enlace=[http://ggbm.at/eyfZ6huD División de complejos en forma polar]
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|titulo1= Producto y cociente de números complejos en forma polar |titulo1= Producto y cociente de números complejos en forma polar
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Línea 132: Línea 147:
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-{{Teorema|titulo=Raíces de un complejo|enunciado=:Un número complejo <math>z=R_A \,</math> tiene exactamente n raíces n-ésimas <math>w=r_\alpha \,</math> , que se obtienen de la siguiente manera:+{{Teorema|titulo=Raíces de un complejo|enunciado=*Un número complejo <math>z=R_A \,</math> tiene exactamente n raíces n-ésimas <math>w=r_\alpha \,</math> , que se obtienen de la siguiente manera:
<center><math> <center><math>
Línea 142: Línea 157:
</math></center> </math></center>
 +*Además, las n raíces están ubicadas en el plano complejo en los vértices de un polígono regular de n lados cuyo centro es el origen de coordenadas.
|demo=Por la definición de raíz n-ésima: |demo=Por la definición de raíz n-ésima:
Línea 157: Línea 173:
A partir de k=n, los ángulos que se obtienen son coterminales con los ya obtenidos. A partir de k=n, los ángulos que se obtienen son coterminales con los ya obtenidos.
 +----
 +Para la segunda parte, fíjate que todas las raíces tienen el mismo módulo, por lo que están a la misma distancia del origen, es decir, están en una circunferencia de centro el origen y radio <math>r=\sqrt[n]{R}</math>.
 +
 +En cuanto a los argumentos, tenemos que:
 +
 +<center><math>\alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}=\cfrac{A}{n}+\cfrac{2\pi}{n}\,k</math></center>
 +
 +por lo que cada raíz se obtiene girando la anterior un mismo ángulo <math>\cfrac{2\pi}{n}</math>. Como este ángulo resulta de dividir en n partes iguales una vuelta completa de circunferencia, las n raíces están separadas entre sí por un mismo ángulo central.
 +
 +En consecuencia, las raíces están ubicadas en los vértices de un polígono regular de n lados cuyo centro es el origen de coordenadas.
}} }}
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Línea 191: Línea 217:
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|descripcion=En esta escena podrás ver como se representan las raíces de números complejos en forma polar. |descripcion=En esta escena podrás ver como se representan las raíces de números complejos en forma polar.
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Línea 198: Línea 224:
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Línea 205: Línea 231:
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Línea 217: Línea 243:
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-{{wolfram desplegable|titulo=Operaciones con complejos|contenido=+{{wolfram desplegable|titulo=Raíces de complejos|contenido=
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Línea 254: Línea 298:
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 +==Ejercicios y videotutoriales==
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 +|titulo1=Operaciones con complejos en forma polar
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 +|sinopsis=Repaso de las operaciones con complejos en forma polar con ejemplos.
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 +|sinopsis=Multiplicaciones, divisiones y potencias de complejos en forma polar.
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 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=7´00"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8NUTg4NgFfU&index=17&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL
 +|sinopsis=Sea <math>z=10-10\sqrt{3}\,i</math>, calcula:
 +a) <math>z^5\;</math>
 +
 +b) <math>\sqrt[4]{z}</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 3
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 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=M1HeJUIPX6w&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL&index=13
 +|sinopsis=Encuentra las ecuaciones de segundo grado cuyas raíces son:
 +
 +a) <math>3+2i \, , \ 3-2i</math>
 +
 +b) <math>\sqrt{2_{45^\circ}} \, , \ \sqrt{2_{315^\circ}}</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=12´59"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=15v5EZNs1uI&index=12&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL
 +|sinopsis=Resolución de ecuaciones con soluciones complejas.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=3´58"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=3OmENFAf7-w&index=10&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL
 +|sinopsis=El producto de dos números complejos es -8. Halla sus módulos y argumentos sabiendo que uno de ellos es el cuadrado del otro.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 6
 +|duracion=5´38"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=godIpwGBqQA&index=6&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL
 +|sinopsis=Calcula <math>sen \, 75^\circ</math> y <math>cos \, 75^\circ</math> mediante el producto <math>1_{30^\circ} \cdot 1_{45^\circ}</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 7
 +|duracion=4´10"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=LD9P5BYgIX8&index=5&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL
 +|sinopsis=Halla dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de sus argumentos <math>\cfrac{\pi}{3}</math> y la suma de sus módulos 8.
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 8
 +|duracion=11´12"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8atix3cTBt0&list=PLpbLLqs33gIlrSJWmC0763mdectCCztgL&index=4
 +|sinopsis=El producto e dos números complejos es 2i y el cubo de uno de ellos dividido por el otro es 1/2. Hállalos.
 +}}
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 +|titulo1=Ejercicio 9
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 +|sinopsis=De dos números complejos sabemos que:
 +
 +a) Tienen el mismo módulo.
 +
 +b) Sus argumentos suman <math>\cfrac{17\pi}{6}</math>.
 +
 +c) El primero es conjugado del cuadrado del segundo.
 +
 +¿Cuáles son esos números?
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Ejercicio 10
 +|duracion=12´04"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Y2s3y7mjTlo&list=PLpbLLqs33gIlut1lGHmwYqQjl6-yDrsPf&index=12
 +|sinopsis=Halla las coordenadas polares de los vértices, el perímetro y el área de un triángulo sabiendo que sus vértices son los afijos de <math>\sqrt[3]{-6}</math>.
 +}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría: Números]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Multiplicación de números complejos en forma polar

ejercicio

Producto de complejos en forma polar


El producto de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos de los respectivos complejos.

r_\alpha \cdot s_\beta=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}

Potencias de números complejos en forma polar

ejercicio

Potencia de un complejo en forma polar


La potencia n-ésima de un compejo se obtiene de la siguiente manera:

(r_\alpha)^n =(r^n)_{n \cdot \alpha}

Fórmula de Moivre

ejercicio

Fórmula de Moivre


(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)

Esta fórmula debe su nombre al matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).

División de números complejos en forma polar

ejercicio

División de complejos en forma polar


La división de dos numeros complejos en forma polar, r_\alpha\; y s_\beta \ , \ (s_\beta \ne 0), es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.

\cfrac{r_\alpha}{s_\beta}=\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Operaciones con complejos en forma polar


(Pág. 154-155)

2a,d,e,f; 3a; 4d; 5

1; 2b,c; 3b; 4a,b,c

Radicación de números complejos en forma polar

Un número complejo w \, es una raíz n-ésima de otro complejo z \, si se cumple que w^n=z \,.

ejercicio

Raíces de un complejo


  • Un número complejo z=R_A \, tiene exactamente n raíces n-ésimas w=r_\alpha \, , que se obtienen de la siguiente manera:
r_\alpha :  \begin{cases} r=\sqrt[n]{R} \\  \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}
  • Además, las n raíces están ubicadas en el plano complejo en los vértices de un polígono regular de n lados cuyo centro es el origen de coordenadas.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Raíces de números complejos


(Pág. 157)

2; 3; 4a; 5a,d; 7; 8a,e,f

1; 4b; 5b,c; 6; 8b,c,d

Ejercicios y videotutoriales

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda