Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)
De Wikipedia
| Revisión de 08:12 22 ene 2018 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→División de números complejos en forma polar) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión actual Coordinador (Discusión | contribuciones) (→División de números complejos en forma polar) |
||
| Línea 97: | Línea 97: | ||
| ==División de números complejos en forma polar== | ==División de números complejos en forma polar== | ||
| - | {{Teorema|titulo=División de complejos en forma polar|enunciado=La división de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos. | + | {{Teorema|titulo=División de complejos en forma polar|enunciado=La división de dos numeros complejos en forma polar, <math>r_\alpha\;</math> y <math>s_\beta \ , \ (s_\beta \ne 0)</math>, es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos. |
| {{Caja|contenido=<math>\cfrac{r_\alpha}{s_\beta}=\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta}</math>}} | {{Caja|contenido=<math>\cfrac{r_\alpha}{s_\beta}=\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta}</math>}} | ||
| + | |||
| + | |||
| |demo=En efecto: | |demo=En efecto: | ||
| :<math>\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta} \cdot s_\beta = \Big( \cfrac{r}{s} \cdot s \, \Big)_{\alpha - \beta + \beta} = r_\alpha</math> | :<math>\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta} \cdot s_\beta = \Big( \cfrac{r}{s} \cdot s \, \Big)_{\alpha - \beta + \beta} = r_\alpha</math> | ||
Revisión actual
Tabla de contenidos[esconder] |
Multiplicación de números complejos en forma polar
Producto de complejos en forma polar
El producto de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos de los respectivos complejos.
|
|
![=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta + i \, cos \alpha \, sen \beta + i \, sen \, \alpha \, cos \, \beta + i^2 \, sen \, \alpha \, sen \, \beta ]=](/wikipedia/images/math/5/9/1/591804e8ee81496a02138c096a8d2d59.png)
![=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta - sen \, \alpha \, sen \, \beta+ i \, ( cos \alpha \, sen \beta + sen \, \alpha \, cos \, \beta )]=](/wikipedia/images/math/2/f/c/2fcccb290acf0ed109301fe82ce33846.png)
![=r \cdot s \, [cos (\alpha + \beta ) + i \, sen \, ( \alpha + \beta )]=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}](/wikipedia/images/math/7/6/d/76d54879d578a64886a5aeeafb79b32e.png)
Potencias de números complejos en forma polar
Potencia de un complejo en forma polar
- La potencia n-ésima de un compejo se obtiene de la siguiente manera:
|
|
Fórmula de Moivre
y 
mediante la fórmula de Moivre.
División de números complejos en forma polar
División de complejos en forma polar
La división de dos numeros complejos en forma polar, 
y 
, es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.
|
|
en ambos miembros, se obtiene la igualdad que queríamos demostrar.
Ejercicios propuestos
 Ejercicios propuestos: Operaciones con complejos en forma polar (Pág. 154-155)
|
Radicación de números complejos en forma polar
Un número complejo 
es una raíz n-ésima de otro complejo 
si se cumple que 
.
Raíces de un complejo
- Un número complejo
tiene exactamente n raíces n-ésimas 
, que se obtienen de la siguiente manera:
![r_\alpha : \begin{cases} r=\sqrt[n]{R} \\ \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}](/wikipedia/images/math/4/a/5/4a5dd4f3f68e14f0c8013ccc27085e5e.png)
- Además, las n raíces están ubicadas en el plano complejo en los vértices de un polígono regular de n lados cuyo centro es el origen de coordenadas.
![\sqrt[n]{z}=w \iff z=w^n \iff (R_A)=(r_\alpha)^n \iff R_A=(r^n)_{n \, \alpha}](/wikipedia/images/math/b/7/7/b7781ba8724c717e4f2b2423267ad5bf.png)
![R_A=(r^n)_{n \, \alpha} \iff \begin{cases} r^n=R \iff r=\sqrt[n]{R} \\ n \, \alpha = A + 2k \pi \iff \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}](/wikipedia/images/math/c/8/0/c808af8500c52fdd7279ea16c43c86cc.png)
![r=\sqrt[n]{R}](/wikipedia/images/math/5/7/5/575ec5538dab079cec486d939b03cadc.png)
.
. Como este ángulo resulta de dividir en n partes iguales una vuelta completa de circunferencia, las n raíces están separadas entre sí por un mismo ángulo central.
![\sqrt[3]{1+i}](/wikipedia/images/math/8/8/3/883e0a5f87d5879d879d48e3bbe5789d.png)
a forma polar:
![\sqrt[3]{(\sqrt{2})_{45^\circ}}=r_\alpha](/wikipedia/images/math/c/5/e/c5e849c7713f59a373e993c0d21a8bd5.png)
, siendo ![\begin{cases} r=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \\ \alpha=\cfrac{45^\circ +2k \pi}{3}\, , \quad k=0,1,2 \end{cases}](/wikipedia/images/math/e/3/3/e338be4b3b0010eb3dd1abb6ea6669f0.png)
![r_\alpha : \begin{cases} r=\sqrt[6]{2} \\ \alpha= 15^\circ \, , \quad 135^\circ \, , \quad 257^\circ \end{cases}](/wikipedia/images/math/d/9/7/d978739b21c71e554a372161eb06a8b7.png)
![(\sqrt[6]{2})_{15^\circ} \, , \quad (\sqrt[6]{2})_{135^\circ} \, , \quad (\sqrt[6]{2})_{257^\circ}](/wikipedia/images/math/a/d/b/adb33551ba73519cab6c3b98e938918b.png)
.
.
, 
y 
son los vértices de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de centro el origen de coordenadas. Sabiendo que 
, calcula 
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Raíces de números complejos (Pág. 157)
|
, calcula:
![\sqrt[4]{z}](/wikipedia/images/math/9/3/f/93f257c77eb6dc38e437630b7937ac03.png)
y 
mediante el producto 
y la suma de sus módulos 8.
.
![\sqrt[3]{-6}](/wikipedia/images/math/8/c/b/8cb3155458419d36267bad202db41cdc.png)
.
