Ecuaciones trigonométricas (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 09:25 1 feb 2018

Menú:

Enlaces internos	Para repasar o ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Geogebra Calculadoras

Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte de los argumentos de funciones trigonométricas.

Como las incógnitas son ángulos, si existe alguna solución, éstas van a ser infinitas (todos los ángulos coterminales con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la solución comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.

Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones son muy diversas: cambio de variable, uso de identidades trigonométricas fundamentales y de fórmulas trigonométricas, etc.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos: Ecuaciones trigonométricas

1. Resuelve: $cos \, (30^\circ + x)= sen \, x$

Solución:

Solución:

Desarrollamos el coseno de una suma en el primer miembro:

$cos \, 30^\circ \cdot cos \, x - sen \, 30^\circ \cdot sen \, x = sen \, x$

$\cfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos \, x - \cfrac{1}{2} \cdot sen \, x = sen \, x$

$\sqrt{3} \, cos \, x = 3 \, sen \, x$

Dividimos ambos miembros por $cos \, x$ . (Observa que $cos \, x=0$ si $x=90^\circ$ ó $x=270^\circ$ , valores que no cumplen la ecuación de partida. Por tanto no estaríamos dividiendo por cero y no perderíamos ninguna solución)

$\sqrt{3} = 3 \, \cfrac{sen \, x}{cos \, x} \ \rightarrow \ \sqrt{3} = 3 \, tg \, x \ \rightarrow$

$\rightarrow tg \, x = \cfrac{\sqrt{3}}{3} \rightarrow \begin{cases} x_1= 30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_2=210^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} , \, k \in \mathbb{Z}$

Soluciones:

$x= \begin{cases} ~30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 210^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} , \, k \in \mathbb{Z}$

2. Resuelve: $2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0$

Solución:

Solución:

Transformamos la ecuación de partida:

$2 \, tg \, x - \cfrac{3}{tg \, x} - 1=0$

$2 \, tg^2 \, x - tg \, x - 3=0$

Hacemos un cambio de variable: $z= tg \, x$

$2z^2- z - 3=0 \,$

$z=\cfrac{1 \pm \sqrt{1+24}}{4}=\cfrac{1 \pm 5}{4}= \begin{cases} z_1=\cfrac{3}{2}\\ z_2=-1 \end{cases}$

Deshacemos el cambio de variable:

$z_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow tg \, x_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow x_1 =56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

$z_2=-1 \rightarrow tg \, x_2=-1 \rightarrow x_2 =135^\circ + 180^\circ \cdot k \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

Soluciones:

$x= \begin{cases} 56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k \\ 135^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

3. Resuelve: $cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0$

Solución:

Solución:

Usando la identidad fundamental:

$sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \rightarrow cos^2 \, x = 1 - sen^2 \, x$

Sustituimos en nuestra ecuación de partida:

$1-sen^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0$

$1-4 \, sen^2 \, x =0 \rightarrow sen^2 \, x =\cfrac{1}{4}\rightarrow sen \, x =\pm \cfrac{1}{2}$

Veamos cada uno de los dos casos:

$sen \, x = \cfrac{1}{2} \rightarrow \begin{cases} x_1 =30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_2 =150^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases}$

$sen \, x = -\cfrac{1}{2} \rightarrow \begin{cases} x_3 =210^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_4 =330^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases}$

Soluciones:

$x=\begin{cases} 30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 150^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 210^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 330^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases}$

4. Resuelve: $cos \,3x + cos \, x=0$

Solución:

Solución:

Transformamos la suma en producto:

$2 \cdot cos \, \cfrac{3x+x}{2} \cdot cos \, \cfrac{3x-x}{2}=0$

$2 \cdot cos \, 2x \cdot cos \, x = 0$

Dividimos ambos miembros entre 2 e igualamos a cero cada factor:

$cos \, 2x \cdot cos \, x = 0 \rightarrow \begin{cases} cos \, 2x =0 \\ \acute{o} \\ cos \, x = 0 \end{cases}$

Veamos que ocurre en cada caso:

$cos \, x = 0 \rightarrow \begin{cases} x_1=90^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_2=270^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

$cos \, 2x = 0 \rightarrow cos^2 \, x - sen^2 \, x = 0 \rightarrow cos^2 \, x = sen^2 \, x$

$\rightarrow \begin{cases} cos \, x = sen \, x \rightarrow \begin{cases} x_3 = 45^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_4 = 225^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z} \\ \acute{o} \\ cos \, x = -sen \, x \rightarrow \begin{cases} x_5 = 135^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_6 = 315^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases}$

Soluciones: Se comprueba que los 6 conjuntos de soluciones anteriores son válidos. Podemos abreviar su expresión de la siguiente manera:

$x=\begin{cases} 90^\circ + 180^\circ \cdot k \\ 45^\circ + 90^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

5. Resuelve: $sen^2 \, x - cos^2 \, x = \cfrac{1}{2}$

Solución:

Solución:

Multiplicamos los dos miembros por -1:

$cos^2 \, x - sen^2 \, x = -\cfrac{1}{2} \rightarrow cos \, 2x=-\cfrac{1}{2}$

$2x=\begin{cases} 120^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 240^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \ k \in \mathbb{Z} \ \rightarrow$ $x= \begin{cases} \, 60^\circ + 180^\circ \cdot k \\ 120^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \ k \in \mathbb{Z}$

Soluciones:

$x= \begin{cases} \, 60^\circ + 180^\circ \cdot k \\ 120^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

Ecuaciones trigonométricas

Ejercicio 1 (4´02") Sinopsis:

Resuelve: $2 sen \, \theta \, -1 = 0\;$ con $0 \le \theta < 360^o\;$

Ejercicio 2 (4´25") Sinopsis:

Resuelve: $2 cos \, \alpha \, + \sqrt{3} = 0\;$ con $0 \le \alpha < 360^o\;$

Ejercicio 3 (6´11") Sinopsis:

Resuelve dando la solución en radianes: $sen \, x = \cfrac{1}{3}\;$ .

Ejercicio 4 (5´20") Sinopsis:

Resuelve dando la solución en radianes:

$cos \, \theta = 1\;$ .
$cos \, \theta = -1\;$ .

Ejercicio 3a (6´23") Sinopsis:

Resuelve: $tg^2 x + cosec^2 x \, - 3 = 0\;$ (1ª parte)

Ejercicio 3b (5´58") Sinopsis:

Resuelve: $tg^2 x + cosec^2 x \, - 3 = 0\;$ (2ª parte)

Ejercicio 4 (6'41") Sinopsis:

Resuelve: $-3 sen \, x + cos^2 x= 3\;$

Ejercicio 5 (7'02") Sinopsis:

Resuelve el sistema:

$\left . \begin{matrix} sen \, x + sen \, y =\ \cfrac{\sqrt{3} + 1}{2} \\ sen \, x - sen \, y =\ \cfrac{\sqrt{3} - 1}{2} \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 6 (5´55") Sinopsis:

Resuelve las siguientes ecuaciones:

$1+sen \, x- cos^2 \, x =0$
$cos \, x + cos \, 2x =0$
$sen \, x + cos \, x =1$

Ejercicio 7 (5´44") Sinopsis:

Resuelve las siguientes ecuaciones:

$sen \, 2x = tg \, x$
$sen \, x + cos \, x =sec \, x$
$tg \, 2x =tg \, x$

Ecuaciones trigonométricas

Actividad 1 Descripción:

Ecuaciones trigonométricas sencillas.

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás practicar ejercicios sobre resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas.

Actividad 3 Descripción:

En esta escena podrás practicar ejercicios sobre resolución de ecuaciones trigonométricas que se pueden factorizar.

Autoevaluación 1 Descripción:

Resuelve ecuaciones trigonométricas (básico).

Autoevaluación 2 Descripción:

Resuelve ecuaciones trigonométricas.

Autoevaluación 3 Descripción:

Problemas para resolver por medio de ecuaciones trigonométricas.

Autoevaluación 4 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones trigonométricas.

Autoevaluación 5 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre sistemas de ecuaciones trigonométricas.

Ecuaciones trigonométricas

Actividad: Ecuaciones trigonométricas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $cos(30^o+x)=sen(x)\,$

b) $sen(2x)=tg(x)\,$

c) $cos(3x)+cos(x)=0\,$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve [cos(30º+xº)=sin(xº), 0º<=xº<360º] o bien solve [cos(30º+x)=sin(x), 0<=x<2pi] o bien solve [cos(30º+x)=sin(x)]

b) solve [sin(2xº)= tan(xº), 0º<=xº<360º]

c) solve [cos(3xº)+cos(xº)=0, 0º<=xº<360º] (pulsa luego en "More solutions")

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ecuaciones trigonométricas

(Pág. 135)

1; 2a,d; 4a,d; 5b

2b,c; 3; 4b,c; 5a

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_trigonom%C3%A9tricas_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría | Álgebra

 |descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones trigonométricas.
 |url1=http://www.vitutor.com/al/trigo/e_e.html
+}}
+{{AI_vitutor
+|titulo1=Autoevaluación 5
+|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre sistemas de ecuaciones trigonométricas.
+|url1=http://www.vitutor.com/al/trigo/s_e.html
 }}
 }}

Ecuaciones trigonométricas (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión de 09:25 1 feb 2018

Ecuaciones trigonométricas

Ejercicios propuestos

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas