Plantilla:Aproximaciones

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Línea 1: Línea 1:
-==Aproximaciones==+En la vida real suelen presentarse situaciones en las que no se puede, o no interesa realizar cálculos con valores exactos, bien porque éstos no se conocen, bien por que la información que ofrece el resultado exacto es irrelevante. En estas situaciones se recurre al cálculo con aproximaciones.
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 +Así, cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Entonces, lo solemos sustituir por otro más manejable de valor similar, prescindiendo de sus últimas cifras. Por ejemplo, al escribir el número <math>3\sqrt2</math> queda reflejado con total precisión de qué número estamos hablando. Este número, tan sencillo de expresar con radicales, tiene, sin embargo, una expresión decimal que consta de infinitas cifras (4.2426406871192851464050661726291...). En la práctica, muchas veces es preferida la expresión decimal aproximada, con una cantidad reducida de cifras decimales (4.24), aunque ésta sea imprecisa, porque resulta más fácil captar su valor que expresándolo con radicales.
 + 
 +Otras veces, cuando hacemos una medición, el aparato de medida tiene limitaciones en cuanto a la precisión, por lo que la medida real no es posible averiguarla con exactitud y es sustituida por otra aproximada, más sencilla.
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 +{{p}}
{{Caja_Amarilla|texto= {{Caja_Amarilla|texto=
-*Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Por eso lo solemos sustituir por otro más manejable de valor similar, prescindiendo de sus últimas cifras, que sustituimos por ceros. Ese otro número más sencillo decimos que es una '''aproximación''' del número de partida.{{p}}+*Una '''aproximación''' de un número es una representación inexacta de dicho número que, sin embargo, es suficientemente fiel como para ser útil.
-*Cuando aproximamos un número, nos quedamos con sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas cifras, con las que nos quedamos, se llaman '''cifras significativas'''.+*Cuando aproximamos un número, nos quedamos con sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas cifras, con las que nos quedamos, se llaman '''cifras significativas'''. A veces modificamos la última cifra con la que nos quedamos, dependiendo del tipo de aproximación que hagamos.
-*Llamamos '''orden''' de la aproximación, a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas.+*Llamamos '''orden de la aproximación''', a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas.
*Se puede aproximar '''por defecto''' si el número utilizado es menor que el de partida, o '''por exceso''' si el número utilizado es mayor que el de partida. *Se puede aproximar '''por defecto''' si el número utilizado es menor que el de partida, o '''por exceso''' si el número utilizado es mayor que el de partida.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_cibermatex
 +|titulo1=Cifras significativas
 +|duracion=12'17"
 +|sinopsis=Cifras significativas. Ejemplos.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=KA3mQTQTAuc
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 10: Línea 24:
|titulo=Ejemplo: ''Aproximaciones'' |titulo=Ejemplo: ''Aproximaciones''
|enunciado= |enunciado=
-Aproxima por defecto y por exceso los siguientes números:{{p}}+Aproxima por defecto y por exceso los siguientes números e indica el orden de la aproximación:{{p}}
:a) 263825 con 2 cifras significativas. :a) 263825 con 2 cifras significativas.
:b) 6035192 con 1 cifra significativa. :b) 6035192 con 1 cifra significativa.
-:c) 60,35 con 3 cifras significativas.+:c) 60.35 con 3 cifras significativas.
{{p}} {{p}}
|sol={{p}} |sol={{p}}
Línea 21: Línea 35:
263825 ---> 260000 ---> 270000 ---> 2 ---> Decenas de millar 263825 ---> 260000 ---> 270000 ---> 2 ---> Decenas de millar
6035192 ---> 6000000 ---> 7000000 ---> 1 ---> Unidades de millón 6035192 ---> 6000000 ---> 7000000 ---> 1 ---> Unidades de millón
- 60,35 ---> 60,3 ---> 60,4 ---> 3 ---> Décimas+ 60.35 ---> 60.3 ---> 60.4 ---> 3 ---> Décimas
{{p}} {{p}}
}} }}
===Redondeo=== ===Redondeo===
-{{Caja_Amarilla|texto=Para '''redondear''' un número a un determinado orden de unidades:<br>+{{Def: redondeo}}
-# Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden+
-# Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco se suma una unidad a la cifra anterior}}+
{{p}} {{p}}
{{Ejemplo {{Ejemplo
Línea 33: Línea 45:
|enunciado= |enunciado=
Redondea los siguientes números:{{p}} Redondea los siguientes números:{{p}}
-:a) 27640,342 a la centena.+:a) 27640.342 a la centena.
-:b) 3857,567 a la décima.+:b) 3857.567 a la décima.
-:c) 24572,2578 a la unidad de millar.+:c) 24572.2578 a la unidad de millar.
{{p}} {{p}}
|sol= |sol=
-a) 27600 ; b) 3857,6 ; c) 25000+a) 27600 ; b) 3857.6 ; c) 25000
}} }}
===Truncamiento=== ===Truncamiento===
-{{Caja_Amarilla|texto=Para '''truncar''' un número a un determinado orden de unidades se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.+{{Caja_Amarilla|texto=El '''truncamiento''' es una forma de aproximar números. Para '''truncar''' un número a un determinado orden de unidades se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 49: Línea 61:
|enunciado= |enunciado=
Trunca los siguientes números :{{p}} Trunca los siguientes números :{{p}}
-:a) 27630,24578 a la milésima. +:a) 27630.24578 a la milésima.
-:b) 3851,34 a la unidad.+:b) 3851.34 a la unidad.
-:c) 12345621,2 a la decena de millar.+:c) 12345621.2 a la decena de millar.
{{p}} {{p}}
-|sol=a) 27630,245 ; b) 3851 ; c) 12340000+|sol=a) 27630.245 ; b) 3851 ; c) 12340000
}} }}
- 
-==Errores== 
-Cuando damos una cantidad de forma aproximada, cometemos un error. Distinguiremos los siguientes tipos de errores: 
-===Error absoluto=== 
-{{Caja_Amarilla|texto= El '''error absoluto''' (E.A.) es la diferencia entre el valor real, ''V<sub>r</sub>'', y el aproximado, ''V<sub>a</sub>'', en valor absoluto, es decir, siempre con signo positivo. 
{{p}} {{p}}
-{{Caja|contenido=<math>E.A.= |V_r - V_a|\;</math>}}+{{AI_cidead
 +|titulo1=Aproximaciones I
 +|descripcion=*Ejemplos de aproximaciones.
 +*Ejercicios sobre redondeo.
 +|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena1/3quincena1_contenidos_5a.htm
}} }}
-{{p}}+{{AI_cidead
-{{Ejemplo+|titulo1=Aproximaciones II
-|titulo=Ejemplo: ''Error absoluto''+|descripcion=*Ejemplos de aproximaciones.
-|enunciado=+*Ejercicios sobre truncamiento y redondeo.
-:Una montaña mide 2475 m. Redondea la altura a las centenas y halla el error absoluto cometido:+|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/reales/quincena1_contenidos_2a.htm
-{{p}}+
-|sol=+
-a) Redondeando a las centenas, la montaña mide 2500 m.{{p}}+
-b) <math>E.A. = |2475 - 2500| = |-25| = 25 m\;</math>+
}} }}
-{{p}}+{{Videotutoriales|titulo=Aproximaciones|enunciado=
- +{{Video_enlace_tutomate
-===Error relativo===+|titulo1=Tutorial 1 (Redondeo y truncamiento)
-{{Caja_Amarilla|texto= El '''error relativo''' (E.R.) es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto.+|duracion=7'37"
-{{Caja|contenido=<math>E. R= \cfrac {Error \ absoluto}{Valor \ real}</math>}}+|sinopsis=Aproximaciones de números decimales por redondeo y truncamiento. Ejemplos.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Om9NP_TJKEU&index=1&list=PLWRbPOo5oaTfZHG7NVCJbQScXnnXSKvCw
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_miguematicas
-{{Ejemplo+|titulo1=Tutorial 2 (Redondeo y truncamiento)
-|titulo=Ejemplo: ''Error relativo''+|duracion=4'28"
-|enunciado=+|sinopsis=Aproximaciones de números decimales por redondeo y truncamiento. Ejemplos.
-:Una montaña mide 2475 m. Trunca la altura a las centenas y halla el error relativo cometido:+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=aoE6BL2s4bM
-{{p}}+
-|sol=+
-a) Truncando a las centenas, la montaña mide 2400 m.{{p}}+
-b) <math>E.A. = |2475 - 2400| = |75| = 75 \;</math>+
-c) <math>E.R. = \cfrac {75}{2475}=0.0303...=3.03%</math>+
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Errores''|cuerpo=+|titulo1=Tutorial 3 (Aprox. por defecto y por exceso. Redondeo y truncamiento)
-{{ai_cuerpo+|duracion=16'51"
-|enunciado={{b4}}1. Ejemplos sobre aproximaciones de fracciones y los errores cometidos.+|sinopsis=Aproximaciones de números decimales por defecto, por exceso, redondeo y truncamiento. Ejemplos.
-|actividad=+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=mQXa2VLo98E
-En la siguiente escena se muestran ejemplos de como se redondea ó trunca una fracción a un orden determinado de decimales, así como los errores absoluto y relativo cometidos.+
- +
-Pulsa "Inicio" para obtener un nuevo ejemplo.+
- +
-Introduce el orden de la aproximación en la casilla correspondiente y pulsa "Redondeo" o "Truncamiento" para obtener distintos tipos de aproximaciones.+
- +
-Anota algún ejemplo en tu cuaderno.+
-{{p}}+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros8_2.html+
-width=670+
-height=390+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros8_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
}} }}
-{{ai_cuerpo+{{Video_enlace_profealex
-|enunciado={{b4}}2. Ejercicios sobre aproximaciones de fracciones y los errores cometidos.+|titulo1=Tutorial 4 (Redondeo)
-|actividad=+|duracion=8'32"
-Pulsa el botón "Ayuda" y lee atentamente la explicación del ejercicio.+|sinopsis=Redondeo de números decimales. Ejemplos.
-{{p}}+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=zRV_Nq91JpM
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros8_3.html+
-width=670+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros8_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
}} }}
}} }}
{{p}} {{p}}
- +{{Geogebra_enlace
-==Cota del error==+|descripcion=En esta escena podrás practicar a redondear y truncar números decimales.
-Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error cometido debe estar controlado o acotado. Las cotas de error nos darán el máximo error que cometeremos al dar una aproximación de un número.+|enlace=[https://ggbm.at/Jk9KdCT5 Redondeo y truncado de números decimales]
- +
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-*Llamaremos '''cota del error absoluto''' a un número ''k'' que cumpla que E.A. < ''k''.+
-*Llamaremos '''cota del error relativo''' a un número ''k´'' que cumpla que E.R. < ''k´''.+
-}}+
-{{p}}+
- +
-===Redondeo y cota del error===+
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Cotas del error absoluto y relativo|enunciado=:Cuando redondeamos un valor, podemos dar cotas de los errores de la siguiente manera:{{p}}+
-:*'''Cota de error absoluto:''' ''k'' = 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo.+
-:*'''Cota del error relativo:''' ''k´'' = <math>\cfrac{k} {Valor \, real}</math>+
- +
-:Cuando el valor real no es conocido o es un número irracional, y sólo tenemos un valor aproximado, el cálculo de las cota del error se hace de la siguiente manera:{{p}} +
-:*'''Cota de error absoluto:''' ''k'' = 5 unidades del orden de la primera cifra no significativa.+
-:*'''Cota del error relativo:''': ''k´'' = <math>\cfrac{k} {Valor \, aproximado - k} \approx \cfrac{k} {Valor \, aproximado}</math>+
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Cota del error''+
-|enunciado=+
-:En el ejemplo anterior de la montaña que mide 2475 m, halla la cota de los errores absoluto y relativo cometidos en el redondeo a las centenas.+
-{{p}}+
-|sol=+
-Redondeando a las centenas, la montaña mide 2500 m. +
-Al redondear la primera cifra no utilizada es la de las decenas. De esta forma, la cotas de error son:+
-*'''Cota de error absoluto:''' ''k'' = 50+
-*'''Cota del error relativo:''':''k´'' = <math>\cfrac{50}{2475} = 0.0202... \rightarrow E.R.< 2.02%</math>+
- +
-Sin embargo, si el problema no diese el valor real de altura de la montaña, sino que sólo diese su valor aproximado, 2500 m, entonces:+
- +
-*'''Cota de error absoluto:''' ''k'' = 50+
-*'''Cota del error relativo:''':''k´'' = <math>\cfrac{50}{2500} = 0.02 \rightarrow E.R.< 2%</math>+
- +
-}}+
-{{Video_enlace|titulo1=Cotas de error|duracion=9'|sinopsis=Videotutorial sobre las cotas de error absoluto y relativo.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=KnN6bqMyNDE}}+
-{{p}}+
-{{ejercicio+
-|titulo=Ejercicios propuestos: Números aproximados+
-|cuerpo=+
-{{b4}}(Pág. 41)+
- +
-{{b4}}[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2+
- +
}} }}
{{p}} {{p}}

Revisión actual

En la vida real suelen presentarse situaciones en las que no se puede, o no interesa realizar cálculos con valores exactos, bien porque éstos no se conocen, bien por que la información que ofrece el resultado exacto es irrelevante. En estas situaciones se recurre al cálculo con aproximaciones.

Así, cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Entonces, lo solemos sustituir por otro más manejable de valor similar, prescindiendo de sus últimas cifras. Por ejemplo, al escribir el número 3\sqrt2 queda reflejado con total precisión de qué número estamos hablando. Este número, tan sencillo de expresar con radicales, tiene, sin embargo, una expresión decimal que consta de infinitas cifras (4.2426406871192851464050661726291...). En la práctica, muchas veces es preferida la expresión decimal aproximada, con una cantidad reducida de cifras decimales (4.24), aunque ésta sea imprecisa, porque resulta más fácil captar su valor que expresándolo con radicales.

Otras veces, cuando hacemos una medición, el aparato de medida tiene limitaciones en cuanto a la precisión, por lo que la medida real no es posible averiguarla con exactitud y es sustituida por otra aproximada, más sencilla.


  • Una aproximación de un número es una representación inexacta de dicho número que, sin embargo, es suficientemente fiel como para ser útil.
  • Cuando aproximamos un número, nos quedamos con sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas cifras, con las que nos quedamos, se llaman cifras significativas. A veces modificamos la última cifra con la que nos quedamos, dependiendo del tipo de aproximación que hagamos.
  • Llamamos orden de la aproximación, a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas.
  • Se puede aproximar por defecto si el número utilizado es menor que el de partida, o por exceso si el número utilizado es mayor que el de partida.

Cifras significativas (12'17")     Sinopsis:

Cifras significativas. Ejemplos.

ejercicio

Ejemplo: Aproximaciones

Aproxima por defecto y por exceso los siguientes números e indica el orden de la aproximación:

a) 263825 con 2 cifras significativas.
b) 6035192 con 1 cifra significativa.
c) 60.35 con 3 cifras significativas.

Solución:

   Número         Aproximación        Aproximación       Nº cifras          Orden de la
 de partida       por defecto          por exceso      significativas       aproximación
 ------------     ------------      --------------     --------------    -------------------
    263825    --->    260000   --->      270000    --->       2      ---> Decenas de millar
   6035192    --->   6000000   --->     7000000    --->       1      ---> Unidades de millón
        60.35 --->        60.3 --->          60.4  --->       3      ---> Décimas

[editar]

Redondeo

El redondeo es una forma de aproximar números. Para redondear un número a un determinado orden de unidades hay que:

  • Sustituir por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.
  • Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco se suma una unidad a la cifra anterior.

ejercicio

Ejemplo: Redondeo

Redondea los siguientes números:

a) 27640.342 a la centena.
b) 3857.567 a la décima.
c) 24572.2578 a la unidad de millar.

Solución:
a) 27600 ; b) 3857.6 ; c) 25000
[editar]

Truncamiento

El truncamiento es una forma de aproximar números. Para truncar un número a un determinado orden de unidades se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.

ejercicio

Ejemplo: Truncamiento

Trunca los siguientes números :

a) 27630.24578 a la milésima.
b) 3851.34 a la unidad.
c) 12345621.2 a la decena de millar.

Solución:
a) 27630.245 ; b) 3851 ; c) 12340000

Aproximaciones I     Descripción:
  • Ejemplos de aproximaciones.
  • Ejercicios sobre redondeo.
Aproximaciones II     Descripción:
  • Ejemplos de aproximaciones.
  • Ejercicios sobre truncamiento y redondeo.
video
Aproximaciones
Tutorial 1 (Redondeo y truncamiento) (7'37")     Sinopsis:

Aproximaciones de números decimales por redondeo y truncamiento. Ejemplos.

Tutorial 2 (Redondeo y truncamiento) (4'28")     Sinopsis:

Aproximaciones de números decimales por redondeo y truncamiento. Ejemplos.

Tutorial 3 (Aprox. por defecto y por exceso. Redondeo y truncamiento) (16'51")     Sinopsis:

Aproximaciones de números decimales por defecto, por exceso, redondeo y truncamiento. Ejemplos.

Tutorial 4 (Redondeo) (8'32")     Sinopsis:

Redondeo de números decimales. Ejemplos.

Redondeo y truncado de números decimales     Descripción:

En esta escena podrás practicar a redondear y truncar números decimales.

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