Factorización de polinomios (4ºESO Académicas)

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}} }}
{{p}} {{p}}
-==Teorema del resto== 
-{{Teorema del resto}} 
- 
-==Raíces de un polinomio== 
-{{Caja_Amarilla|texto=Un número <math>a\,</math> es una '''raíz''' o un '''cero''' de un polinomio <math>P(x)\,</math>, si <math>P(a)\, = 0\,</math>. Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación <math>P(x)\,= 0\,</math>.}} 
-{{p}} 
-{{teorema|titulo=Corolario al Teorema del Resto 
-|enunciado=Si <math>x=a\;</math> es una raíz de un polinomio <math>P(x)\;</math>, entonces <math>(x-a)\;</math> es un factor de dicho polinomio. 
-|demo= 
-Es una consecuencia directa del teorema del resto. En efecto, si <math>x=a\;</math> es una raíz de <math>P(x)\;</math>, entonces <math>P(a)=0\;</math> y, por el teorema del resto, el resto de dividir <math>P(x)\;</math> entre <math>(x-a)\;</math> es cero. Así <math>(x-a)\;</math> es un factor de <math>P(x)\;</math>. 
-}} 
- 
-==Raíces enteras de un polinomio== 
-Tenemos un polinomio <math>P(x)\,\!</math> con raíces entera y queremos encontrarlas. Para hacerlo tenemos que ir probando a dividirlo por <math>(x-a)\,\!</math>, pero ¿qué valor puede tomar <math>a\,\!</math>? El siguiente resultado nos da la respuesta: 
- 
-{{teorema: raíces enteras de un polinomio}} 
- 
==Factorización de polinomios== ==Factorización de polinomios==
{{Caja_Amarilla|texto='''Factorizar''' un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.}} {{Caja_Amarilla|texto='''Factorizar''' un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.}}
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===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2=== ===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2===
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento para factorizar polinomios|enunciado=+{{Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2}}
-*Siempre que se pueda, sacaremos <math>x\;</math> '''factor común'''.+
-*Mediante la '''[[Cociente de Polinomios. Regla de Ruffini (4ºESO-B)#División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini|regla de Ruffini]]''' buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz <math>x=a\;</math> de un polinomio <math>P(x)\;</math>, tendremos que <math>P(x)=(x-a)\,Q(x)\;</math>, donde <math>Q(x)\;</math> tiene un grado menos que <math>P(x)\;</math>.+
-}}+
-Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.+
{{p}} {{p}}
===Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini=== ===Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini===
{{Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini}} {{Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini}}
-{{p}}+ 
-==Videotutoriales==+===Ejercicios propuestos===
-{{Video_enlace+{{ejercicio
-|titulo1=Teorema del resto+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Factorización de polinomios''
-|duracion=8´+|cuerpo=
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/13-polinomios/06-teorema-del-resto#.VCMDWhZ8HA8+ 
-|sinopsis=Si P(x) es un polinomio de grado no inferior a 1, el resto de la división P(x)/(x-a) es el número P(a) que se obtiene al sustituir "x" por "a" en P(x).+(Pág. 43)
-La división P(x)/(x-a) es "exacta" si P(a) = 0; y en tal caso se dice que "a" es un "cero" o "raíz" del polinomio P(x), o una solución de la ecuación P(x) = 0.+ 
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 1
 + 
}} }}
-{{p}}+ 
-{{Video_enlace+ 
-|titulo1=6 ejercicios sobre el teorema del resto+
-|duracion=11´+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/13-polinomios/0601-seis-ejercicios#.VCMEbhZ8HA8+
-|sinopsis=Videotutorial.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace+
-|titulo1=Factorización de polinomios+
-|duracion=10´+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/13-polinomios/08-factorizacion-de-polinomios#.VCL8URZ8HA8+
-|sinopsis="Factorizar" un polinomio P(x) es expresarlo como producto de otros de menor grado que él, y para ello hay que calcular los "ceros" de P(x), cosa no siempre fácil.+
-Si "a" es un "cero" de P(x) y C(x) es el cociente de la división P(x)/(x-a), es P(x) = (x-a).C(x).+
-Teorema de la factorización: si los coeficientes de un polinomio P(x) son números enteros, los ceros enteros de P(x) son divisores del término independiente de P(x).+
-Si la suma de los coeficientes de P(x) es 0, pues apostar tranquilamente la vida a que el número 1 es un "cero" de P(x); o sea, P(x) es divisible por (x-1).+
-}}+
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-{{Video_enlace+
-|titulo1=Factorización de polinomios de grado 3+
-|duracion=11´+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/13-polinomios/0801-dos-ejercicios-5#.VCL9RxZ8HA8+
-|sinopsis=Videotutorial+
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-|titulo1=Factorización de un polinomio de grado 4+
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-}}+
-{{p}}+
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-|titulo1=Factorización de un polinomio de grado 5+
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-}}+
-{{p}}+
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]]

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Tabla de contenidos

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Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

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Factorización de polinomios de grado 2

ejercicio

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles

Factoriza los siguientes polinomios

a) 5x^2+5x-60\;
b) 5x^3+5x^2-60x\;

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Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

ejercicio

Procedimiento para factorizar polinomios

  • Siempre que se pueda, sacaremos x\; factor común.
  • Mediante la regla de Ruffini podremos buscar las raíces enteras o fraccionarias del polinomio y obtener la factorización.

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

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Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

ejercicio

Factorización de un polinomio por Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.

ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini

Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Factorización de polinomios

(Pág. 43)

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