Plantilla:Divisibilidad de polinomios
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- | En tal caso, diremos que <math>P(x)\,</math> es '''divisible''' por <math>Q(x)\,</math>. También diremos que <math>P(x)\,</math> es un '''múltiplo''' de <math>Q(x)\,</math>. | + | <center><math> P(x)=(3x^3-14x^2+4x+3) \, , \quad Q(x)=(3x+1) \, , \quad C(x)=x^2-5x+3</math>:</center> |
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La divisibilidad de polinomios es semejante a la [[Divisibilidad|divisibilidad con números enteros]]. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de '''máximo común divisor''', '''mínimo común múltiplo''' e '''irreducibilidad''' son similares a los correspondientes conceptos numéricos. | La divisibilidad de polinomios es semejante a la [[Divisibilidad|divisibilidad con números enteros]]. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de '''máximo común divisor''', '''mínimo común múltiplo''' e '''irreducibilidad''' son similares a los correspondientes conceptos numéricos. | ||
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Son polinomios irreducibles, entre otros: | Son polinomios irreducibles, entre otros: | ||
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* Los de primer grado: <math>3x,\ x-3,\ 5x-3\ \;</math> | * Los de primer grado: <math>3x,\ x-3,\ 5x-3\ \;</math> | ||
* Los de segundo grado sin raíces: <math>x^2+1,\ 2x^2-3x+5 \;</math> | * Los de segundo grado sin raíces: <math>x^2+1,\ 2x^2-3x+5 \;</math> | ||
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+ | :<math>P(x)=(x-1)^2 (x-3)\;</math> | ||
+ | :<math>Q(x)=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;</math>: | ||
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+ | Su mínimo común múltiplo es: | ||
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Revisión actual
Polinomios múltiplos y divisores
- Un polinomio
es divisor de otro,
y lo representaremos por
, si la división
es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio
tal que
.
- En tal caso, diremos que
es divisible por
y que
es un múltiplo de
.
- También diremos que
y
son factores del polnomio
.
Dados los polinomios:
![P(x)=(3x^3-14x^2+4x+3) \, , \quad Q(x)=(3x+1) \, , \quad C(x)=x^2-5x+3](/wikipedia/images/math/4/5/2/452f2336e4eb1658658895d47f7af6b3.png)
Se cumple que
![Q(x)|P(x)\;](/wikipedia/images/math/0/5/e/05e578355debe9f77bd1768d2d0a24a3.png)
![P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,](/wikipedia/images/math/1/0/f/10f81e4feab9969bf11942109761f9ed.png)
Es decir, la siguiente división es exacta:
![(3x^3-14x^2+4x+3):(3x+1)=x^2-5x+3\;](/wikipedia/images/math/6/a/f/6af2fa9da87745411be51632cd2fb729.png)
porque:
![(3x+1) \cdot (x^2-5x+3) =3x^3-14x^2+4x+3](/wikipedia/images/math/9/8/3/98395b6ade73473d50d292b9500d140f.png)
La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.
Polinomios irreducibles
Un polinomio es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.
Son polinomios irreducibles, entre otros:
- Los de primer grado:
- Los de segundo grado sin raíces:
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Se dice que el polinomio es el máximo común divisor de los polinomios
y
, y lo expresaremos:
![m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;](/wikipedia/images/math/c/6/6/c66f3168e53561a04ed46aade0f24ca0.png)
si es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.
Se dice que el polinomio es el mínimo común múltiplo de los polinomios
y
, y lo expresaremos:
![m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;](/wikipedia/images/math/2/2/1/221e514439439421dc1201091dd735b3.png)
si es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.