Ecuaciones de segundo grado (4ºESO Académicas)
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}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | + | {{Ecuación de segundo grado: definición y resolución}} | |
- | ==Ecuación de segundo grado== | + | |
- | {{Caja_Amarilla|texto=Una '''ecuación de segundo grado con una incógnita''', <math>x\;\!</math>, es aquella que se puede expresar de la forma: | + | |
- | <center><math>ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0</math></center> | + | |
- | que llamaremos '''forma general'''. | + | |
- | }} | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | + | {{Ecuaciones de segundo grado incompletas}} | |
- | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuación de segundo grado'' | + | |
- | |enunciado=Pasa a forma general la ecuación: | + | |
- | <center><math>3x-2x^2+5=-4x^2+3-x\;\!</math></center> | + | |
- | |sol= | + | |
- | Para ponerla en forma general, pasaremos todos los términos al miembro de la izquierda: | + | |
- | <center><math>3x-2x^2+5+4x^2-3+x=0\;\!</math></center> | + | |
- | Agrupando términos semejantes: | + | |
- | <center><math>2x^2+4x+2=0\;\!</math></center> | + | |
- | }} | + | |
- | + | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | ==Resolución de la ecuación de segundo grado== | + | ==Ejercicios propuestos== |
- | {{Teorema|titulo=''Fórmula de la ecuación de segundo grado'' | + | {{ejercicio |
- | |enunciado=Las soluciones de la ecuación de segundo grado son: | + | |titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones de segundo grado'' |
- | <center><math>x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math></center> | + | |cuerpo= |
- | donde el signo <math>(\pm)</math> significa que una solución se obtiene con el signo <math>(+)\;\!</math> y otra con el signo <math>(-)\;\!</math>. | + | |
- | |demo= | + | |
- | 1. Se divide la ecuación por <math>a\;\!</math>: | + | |
- | <center><math>x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0</math></center> | + | |
- | 2. Se multiplica y divide por <math>2\;\!</math> el coeficiente de la <math>x\;\!</math>: | + | (Pág. 58) |
- | <center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0</math></center> | + | |
- | 3. Se suma alos dos miembros de la igualdad <math>\cfrac{b^2}{4a^2}</math>: | + | [[Imagen:red_star.png|12px]] 1 al 3 |
- | <center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}</math></center> | + | |
- | 4. Se pasa restando a la derecha <math>\cfrac{c}{a}</math>: | ||
- | <center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}</math></center> | ||
- | |||
- | 5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de <math>\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2</math>: | ||
- | <center><math>\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}</math></center> | ||
- | |||
- | 6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros: | ||
- | <center><math>x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}</math></center> | ||
- | |||
- | 7. Se despeja x: | ||
- | <center><math>x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}</math></center> | ||
- | |||
- | 8. Se simplifica la expresión: | ||
- | <center><math>x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center> | ||
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- | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Resolución de la ecuación de segundo grado'' | ||
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- | :Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas. | ||
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- | Pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos: | ||
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- | |enunciado='''Actividad 1:''' Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. | ||
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- | {{p}} | ||
- | #Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación. | ||
- | #Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones. | ||
- | #Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución". | ||
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- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/4b_eso/Ecuaciones2grado/eg22_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
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- | ==Discriminante de una ecuación de segundo grado== | ||
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- | Llamamos '''discriminante''' de una ecuación de segundo grado a: | ||
- | <center><math>\triangle = b^2-4ac</math></center> | ||
- | por tanto: | ||
- | *Si <math>\triangle <0</math> la ecuación no tiene solución. | ||
- | *Si <math>\triangle >0</math> la ecuación tiene dos soluciones. | ||
- | *Si <math>\triangle =0</math> la ecuación tiene una solución (doble). | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | |||
- | ==Ecuaciones de segundo grado incompletas== | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto= | ||
- | Una ecuación de segundo grado <math>ax^2+bx+c=0\;\!</math> es incompleta, si ocurre uno de los siguientes casos: | ||
- | *<math>b=0\;\!</math>: <math>(ax^2+c=0\;\!)</math> | ||
- | :En este caso las soluciones se obtienen despejando x: | ||
- | <center><math>ax^2+c=0; \quad ax^2=-c; \quad x=-\cfrac{c}{a};\quad x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}</math></center> | ||
- | *<math>c=0\;\!</math>: <math>(ax^2+bx=0\;\!)</math> | ||
- | :En este caso, sacando factor común e igualando a cero cada factor: | ||
- | <center><math>ax^2+bx =0; \quad x \cdot (ax+b)=0 \quad \left \{ \begin{matrix} x_1=0 \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right . </math></center> | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones de segundo grado incompletas'' | ||
- | |enunciado= | ||
- | :Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas resueltas. | ||
- | |sol= | ||
- | Pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos: | ||
- | |||
- | *'''Caso 1:''' <math>b=0\;\!</math>: <math>(ax^2+c=0\;\!)</math> | ||
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- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/4b_eso/Ecuaciones2grado/eg21_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | *'''Caso 2:''' <math>c=0\;\!</math>: <math>(ax^2+bx=0\;\!)</math> | ||
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[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]] |
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Tabla de contenidos[esconder] |
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Ecuación de segundo grado
- Una ecuación de segundo grado con una incógnita,
, es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

- Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.
El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:
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Ecuación de segundo grado completa
Fórmula general
Las soluciones de la ecuación de segundo grado

son:

donde el signo significa que una solución se obtiene con el signo
y otra con el signo
.
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Número de soluciones de la ecuación de segundo grado
Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, , al número:

Proposición
Sea el discriminante de una ecuación de segundo grado:
- Si
, la ecuación no tiene solución.
- Si
, la ecuación tiene dos soluciones.
- Si
, la ecuación tiene una solución (doble).
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Ecuaciones de segundo grado incompletas
Una ecuación de segundo grado, , es incompleta, si
ó
:
- Si
- Si
Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas
- En el caso
, las soluciones se obtienen despejando
:
- En el caso

- En el caso
, las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:
- En el caso

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Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ecuaciones de segundo grado |