Ecuaciones de segundo grado (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

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1 Ecuación de segundo grado
2 Ejercicios propuestos

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Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita, $x\;\!$ , es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

Ejemplos [Mostrar]

La ecuación de segundo grado (3´38") Sinopsis:[Mostrar]

La ecuación de segundo grado Descripción: [Mostrar]

El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:

Ecuaciones de segundo grado: definición, resolución, propiedades. (16´21") Sinopsis: [Mostrar]

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Ecuación de segundo grado completa

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

son:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

donde el signo $(\pm)$ significa que una solución se obtiene con el signo $(+)\;\!$ y otra con el signo $(-)\;\!$ .

Demostración:[Mostrar]

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado resueltas [Mostrar]

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula [Mostrar]

Resolución de las ecuaciones de segundo grado [Mostrar]

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Número de soluciones de la ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, $ax^2+bx+c=0 \;$ , al número:

$\triangle = b^2-4ac$

Proposición

Sea $\triangle$ el discriminante de una ecuación de segundo grado:

Si $\triangle <0$ , la ecuación no tiene solución.
Si $\triangle >0$ , la ecuación tiene dos soluciones.
Si $\triangle =0$ , la ecuación tiene una solución (doble).

Demostración:[Mostrar]

Discriminante y número de soluciones [Mostrar]

Discriminate y número de soluciones [Mostrar]

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Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado, $ax^2+bx+c=0\;\!$ , es incompleta, si $b=0\;$ ó $c=0\;$ :

Si $b=0:~ ax^2+c=0$

Si $c=0:~ ax^2+bx=0$

Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas

En el caso $b=0~ (ax^2+c=0 \;)$ , las soluciones se obtienen despejando $x\;$ :

$ax^2+c=0 \ \rightarrow \ ax^2=-c \ \rightarrow \ x^2=-\cfrac{c}{a} \ \rightarrow \ x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}$

En el caso $c=0~ (ax^2+bx=0)$ , las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:

$ax^2+bx =0 \ \rightarrow \ x \, (ax+b)=0 \ \rightarrow \ \left \{ \begin{matrix} x_1= ~0~~ \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .$

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado incompletas (Caso b=0) [Mostrar]

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado incompletas (Caso c=0) [Mostrar]

Ecuaciones de segundo grado incompletas [Mostrar]

Ejercicios Descripción: [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ecuaciones de segundo grado

(Pág. 58)

1 al 3

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Categorías: Matemáticas | Álgebra

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+{{Ecuación de segundo grado: definición y resolución}}
-==Ecuación de segundo grado==
-{{Caja_Amarilla|texto=Una '''ecuación de segundo grado con una incógnita''', <math>x\;\!</math>, es aquella que se puede expresar de la forma:
-<center><math>ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0</math></center>
-que llamaremos '''forma general'''.
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+{{Ecuaciones de segundo grado incompletas}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuación de segundo grado''
-|enunciado=Pasa a forma general la ecuación:
-<center><math>3x-2x^2+5=-4x^2+3-x\;\!</math></center>
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-Para ponerla en forma general, pasaremos todos los términos al miembro de la izquierda:
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-Agrupando términos semejantes:
-<center><math>2x^2+4x+2=0\;\!</math></center>
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-==Resolución de la ecuación de segundo grado==
+==Ejercicios propuestos==
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-|enunciado=Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:
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-<center><math>x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math></center>
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-donde el signo <math>(\pm)</math> significa que una solución se obtiene con el signo <math>(+)\;\!</math> y otra con el signo <math>(-)\;\!</math>.
-|demo=
-. Se divide la ecuación por <math>a\;\!</math>:
-<center><math>x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0</math></center>
-. Se multiplica y divide por <math>2\;\!</math> el coeficiente de la <math>x\;\!</math>:
+(Pág. 58)
-<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0</math></center>
-. Se suma alos dos miembros de la igualdad <math>\cfrac{b^2}{4a^2}</math>:
+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1 al 3
-<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}</math></center>
-. Se pasa restando a la derecha <math>\cfrac{c}{a}</math>:
-<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}</math></center>
-. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de <math>\left (  x+\cfrac{b}{2a} \right )^2</math>:
-<center><math>\left (  x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}</math></center>
-. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:
-<center><math>x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}</math></center>
-. Se despeja x:
-<center><math>x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}</math></center>
-. Se simplifica la expresión:
-<center><math>x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center>
-}}{{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Resolución de la ecuación de segundo grado''
-|enunciado=
-:Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas.
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-Pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos:
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-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Resolución de una ecuación de segundo grado''|cuerpo=
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-|enunciado='''Actividad 1:''' Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.
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-#Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
-#Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones.
-#Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución".
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/4b_eso/Ecuaciones2grado/eg22_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
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-}}
-==Discriminante de una ecuación de segundo grado==
-{{Caja_Amarilla|texto=
-Llamamos '''discriminante''' de una ecuación de segundo grado a:
-<center><math>\triangle = b^2-4ac</math></center>
-por tanto:
-*Si <math>\triangle <0</math> la ecuación no tiene solución.
-*Si <math>\triangle >0</math> la ecuación tiene dos soluciones.
-*Si <math>\triangle =0</math> la ecuación tiene una solución (doble).
-}}
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-==Ecuaciones de segundo grado incompletas==
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-Una ecuación de segundo grado <math>ax^2+bx+c=0\;\!</math> es incompleta, si ocurre uno de los siguientes casos:
-*<math>b=0\;\!</math>: <math>(ax^2+c=0\;\!)</math>
-:En este caso las soluciones se obtienen despejando x:
-<center><math>ax^2+c=0; \quad ax^2=-c; \quad x=-\cfrac{c}{a};\quad x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}</math></center>
-*<math>c=0\;\!</math>: <math>(ax^2+bx=0\;\!)</math>
-:En este caso, sacando factor común e igualando a cero cada factor:
-<center><math>ax^2+bx =0; \quad x \cdot (ax+b)=0 \quad \left \{ \begin{matrix} x_1=0 \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right . </math></center>
-}}
-{{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones de segundo grado incompletas''
-|enunciado=
-:Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas resueltas.
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-Pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos:
-*'''Caso 1:''' <math>b=0\;\!</math>: <math>(ax^2+c=0\;\!)</math>
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-*'''Caso 2:''' <math>c=0\;\!</math>: <math>(ax^2+bx=0\;\!)</math>
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