Regla de Ruffini (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Regla de Ruffini
2 Teorema del resto
- 2.1 Ejercicios propuestos

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Regla de Ruffini

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División de un polinomio por (x-a)

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma $(x-r)\;$ .

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

Demostración:

Procedimiento:

Vamos a dividir el polinomio

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

entre el binomio

$Q(x)=x-r\,\!$

para obtener el cociente

$C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0$

y el resto $s\;$ .

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de $P(x)\;$ y los escribimos ordenados. Entonces escribimos $r\;$ en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & & & & & \\ ~~ \, | & & & & & \end{matrix}$

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, $a_n\;$ , justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes $b_{n-1}\;$ :

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}$

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por $r\;$ y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & b_{n-1} \ r & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}$

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & & & \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & & \end{matrix}$

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & \cdots & rb_1 & rb_0 \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & \cdots & a_1+rb_1 & a_0 +rb_0 \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s \end{matrix}$

Los valores $b_i\;$ son los coeficientes del polinomio cociente $C(x)\;$ , cuyo grado será un grado menor que el del dividendo $P(x)\;$ . El resto será $s\;$ .

Ejemplo: Regla de Ruffini

Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:

$P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!$

$Q(x)=x-2\,\!$

Solución:

   | 7  -5  -4   6  -1
   |                   
  2|    14  18  28  68
 --|-------------------
   | 7   9  14  34 |67
                   |____

El resultado significa que:

Cociente de la división: $C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!$
Resto: $r=67\,\!$

Operaciones:

$2 \cdot 7=14\,\!$

$-5+14=9\,\!$

$2 \cdot 9 =18\,\!$

$-4+18=14\,\!$

$2\cdot 14=28\,\!$

$6+28=34\,\!$

$2 \cdot 34=68\,\!$

$-1+68=67\,\!$

Regla de Ruffini

Tutorial 1 (5´53") Sinopsis:

Regla de Ruffini. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'48") Sinopsis:

Regla de Ruffini: Método rápido para realizar divisiones de polinomios entre binomios del tipo (x - a). Ejemplos.

Tutorial 3 (13´16") Sinopsis:

La regla de Ruffini nos permite determinar supersónicamente el cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y el polinomio Q(x) = x - a.

Tutorial 4 (10´38") Sinopsis:

Cómo se aplica la Regla de Ruffini.

Tutorial 5 (5´26") Sinopsis:

División de polinomios por el método de Ruffini para divisores del tipo (x-a).

Ejercicio 1 (5'14") Sinopsis:

Ejemplo de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 2 (17'39") Sinopsis:

2 ejemplos de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 3 (7´07) Sinopsis:

2 ejemplos de división mediante la regla de Ruffini

Ejercicio 4 (6´57") Sinopsis:

Otros 2 ejemplos de aplicación de la regla de Ruffini

Ejercicio 5 (6'50") Sinopsis:

Divide $4x^4-5x^2-3x+11\;$ entre $x-2\;$ .

Ejercicio 6 (12´03) Sinopsis:

a) Divide $-ax^3+a^3x-1\;$ entre $x-a\;$

b) Divide $6x^{40}-42x^{30}+8x^{20}-56x^{10}+57\;$ entre $x^{10}-7\;$

Ejercicio 7 (14´17") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

1a) $(x^3-6x^2-5x+2):(x-1)\;$

1b) $(x^5+x^4+x^3+x+1):(x+1)\;$

1c) $(x^6+2x^5-3x^4+x-8):(x-3)\;$

1d) $(x^5-3x^4-2x^3+x^2-x+1):(x-8)\;$

1e) $(x^3+5x^2+x-1):(x-2)\;$

1f) $(x^3+x^2-x-2):(x-1)\;$

Ejercicio 8 (13´24") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

1g) $(4x^2-6x-4):(x-2)\;$

1h) $(x^3-6x^2-3x+1):(x-1)\;$

1i) $(x^3+5x-1):(x+3)\;$

1j) $(x^4-1):(x+1)\;$

1k) $(x^7-x^6-3x^4+16x^3+47x+3x^5-30x^2-24):(x-1)\;$

1l) $(x^4-2x^3+x^2+x-1):(x-1)\;$

Ejercicio 9 (10´40") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

2a) $(x^5-32):(x+2)\;$

2b) $(x^5-32):(x-2)\;$

2c) $(x^4-16):(x+2)\;$

2d) $(x^3-8):(x-2)\;$

2e) $(x^3-8):(x+2)\;$

Ejercicio 10 (9´14") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

2f) $(x^3+8):(x-2)\;$

2g) $(x^3+8):(x+2)\;$

2h) $(x^3-27):(x-3)\;$

2i) $(x^3-27):(x+3)\;$

2j) $(x^4+1):(x+1)\;$

Ejercicio 11 (4´13") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

a) $(-3x^4+6x^2-x+2):(x+3)\;$

b) $(x^3+4x^2+x-6):(x-1)\;$

c) $(-x^3+5):(x+2)\;$

Autoevaluación: Regla de Ruffini Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la regla de Ruffini.

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División de un polinomio por (mx+n)

Proposición

Para dividir un polinomio $P(x)\;$ por un binomio del tipo $mx+n\;$ efectuaremos la división por $x+\cfrac{n}{m}\;$ (usando Ruffini pondríamos $\cfrac{n}{m}\;$ en el lado izquierdo de la línea vertical), con lo que obtendríamos un cociente $C'(x)\;$ y un resto $R'\;$ .

Entonces el cociente $C(x)\;$ y el resto $R\;$ de la división del polinomio entre $mx+n\;$ serán:

$C(x)=\cfrac{C'(x)}{m}\;$ ; $R=R'\;$

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Regla de Ruffini

(Pág. 38)

1a,e; 2a,b

1b,c,d,f; 2c,d,e

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Teorema del resto

Teorema del Resto

El valor que toma un polinomio, $P(x)\;$ , cuando hacemos $x=a\;$ , coincide con el resto de la división de $P(x)\;$ entre $(x-a)\;$ . Es decir, $P(a)\,= r\,$ , donde $r\,$ es el resto de dicha división.

Demostración:

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:

$P(x)=Q(x)C(x) + R(x)\,,$

donde $P(x)\,$ es el dividendo, $Q(x)\,$ el divisor, $C(x)\,$ el cociente y $R(x)\,$ el resto y verificándose además, que el grado de $R(x)\,$ es menor que el grado de $Q(x)\,$ .

En efecto, si tomamos el divisor $Qx) = x-a\,$ , entonces $R(x)\,$ tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar $r\;$ , y la fórmula anterior se convierte en:

$P(x)=(x-a)c(x) + r\,.$

Tomando el valor $x=a \!\,$ se obtiene que:

$\frac{}{}P(a)=r$

Ejemplo: Teorema del Resto

Calcula el resto de dividir el polinomio $x^3 - 3x^2 - 7\;$ entre $(x-2)\;$

Solución:

Primer método:

Bastará calcular $P(2)=2^3-3 \cdot 2^2-7=-11$

Así el resto será $r=P(2)=-11\;$

Segundo método:

Usando la regla de Ruffini:

   | 1  -3   0   -7
   |                   
  2|     2  -2   -4
 --|----------------
   | 1  -1  -2  |-11
                |____

Así, el resto de la división es -11, y por el teorema del resto, P(2) = -11.

Teorema del resto

Tutorial 1 (4´11") Sinopsis:

Teorema del resto. Ejemplos.

Tutorial 2 (7´51") Sinopsis:

Si P(x) es un polinomio de grado no inferior a 1, el resto de la división P(x)/(x-a) es el número P(a) que se obtiene al sustituir "x" por "a" en P(x). La división P(x)/(x-a) es "exacta" si P(a) = 0; y en tal caso se dice que "a" es un "cero" o "raíz" del polinomio P(x), o una solución de la ecuación P(x) = 0.

Tutorial 3 (más general) (12´46") Sinopsis:

Teorema del resto para la división de un polinomio entre un binomio del tipo (ax+b).
Como ejemplo, también resolveremos los siguientes ejercicios:

1) Halla el resto de dividir el polinomio $2x^4-5x^3+3x-6\;$ entre el binomio $(x-2)\;$ .

2) Halla el resto de dividir el polinomio $9x^3+3x^2+3x+1\;$ entre el binomio $(3x+1)\;$ .

Ejercicio 1 (3'33") Sinopsis:

Halla el resto de la división del polinomio $x^3-2x^2+9\;$ entre $(x+2)\;$ .

Ejercicio 2 (7'08") Sinopsis:

Halla el valor de $k\;$ para que la división del polinomio $5x^4-x^2+kx-4\;$ entre $(x+2)\;$ sea exacta.

Ejercicio 3 (10´49") Sinopsis:

1) Halla el resto de la división del polinomio $x^3+x^2+x-1\;$ entre $(x-2)\;$ , $(x+2)\;$ , $(x-0)\;$ y $(3-x)\;$ .

2) Determina el valor de k para que el polinomio $Q(x)=kx^3+(2k-1)x^2+x-k\;$ sea divisible por $(x-2)\;$ .

3) Sea $T(x)=4x^3-2kx^2+k^2 x-k\;$ . Halla el valor de k para que el resto de la división de $T(x)\;$ entre $(x-1)\;$ sea igual a 2.

Ejercicio 4 (18´08) Sinopsis:

a) Halla el resto de la división de $5x^4-7x+6\;$ entre $x+1\;$ .

b) y c) Otros dos ejercicios de nivel superior.

Autoevaluación: Teorema del resto Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el teorema del resto.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Teorema del resto

(Pág. 39)

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Categorías: Matemáticas | Álgebra

Regla de Ruffini (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

Regla de Ruffini

División de un polinomio por (x-a)

División de un polinomio por (mx+n)

Ejercicios propuestos

Teorema del resto

Ejercicios propuestos

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Herramientas

 {{p}}
 __TOC__
-==Cociente de monomios==
+==Regla de Ruffini==
-{{Caja_Amarilla|texto=Entenderemos la '''división de monomios''' como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.
+===División de un polinomio por (x-a)===
-<center>
+{{Regla de Ruffini}}
-{{Caja|contenido=
-<math> \frac{ax^m} {bx^n}= \frac{a} {b} x^{m-n} </math>}}
-</center>
-}}
 {{p}}
-{{Ejemplo
+===División de un polinomio por (mx+n)===
-|titulo=Ejemplos: ''Cociente de monomios''
+{{Division de un polinomio por mx mas n}}
-|enunciado=
-:Calcula:
-:a) <math>4ax^4y^3 : 2x^2y \;\!</math>
-:b) <math>6x^4y : 2ax^3  \;\!</math>
-|sol=
-:a) <math>4ax^4y^3 : 2x^2y = \cfrac {4ax^4y^3}{2x^2y}=2ax^2y^2</math>
-:b) <math>6x^4y : 2ax^3  =\cfrac {6x^4y}{2ax^3}=\cfrac {3xy}{a}</math>
-}}
 {{p}}
+===Ejercicios propuestos===
+{{ejercicio
+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Regla de Ruffini''
+|cuerpo=
-==División de polinomios==
+(Pág. 38)
-La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la [[Números naturales: Operaciones#División con naturales|división numérica]].
-{{p}}
-{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos polinomios <math>P(x)\;</math>  (dividendo) y <math>Q(x)\;</math> (divisor) de modo que el grado de <math>P(x)\;</math>  sea mayor o igual que el grado de <math>Q(x)\;</math>  y el grado de <math>Q(x)\;</math>  sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios <math>C(x)\;</math>  (cociente) y <math>R(x)\;</math>  (resto) tales que:
-<center><math> P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,</math></center>
+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1a,e; 2a,b
-<center>dividendo = divisor × cociente + resto</center>
-que también podemos representar como:
+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1b,c,d,f; 2c,d,e
-<center><math>\begin{matrix}
-P(x) \ | \ Q(x)
-\\
- \qquad \quad |--- \,
-\\
-R(x) \quad C(x)
-\end{matrix}</math></center>
-*El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
-*Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es '''divisible''' por el divisor, es decir, que la división es exacta.
 }}
-{{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''División de polinomios''
-|enunciado=
-Divide los siguientes polinomios:
-:: <math> P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, \, x - 3\;</math>
+==Teorema del resto==
-:: <math> Q(x)  = x^{2} - 2 \, x - 1 \;</math>
+{{Teorema del resto}}
-|sol=
-<center><math>\begin{matrix}
-x^{4} - 2x^3 + 4x^2 + 2x - 3  \quad | \quad x-2 \qquad \quad
-\\
-\qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \quad \quad \; \, \, \, |-------- \quad
-\\
--3x^4 + 6x^3 + 3x^2 \qquad \qquad  \quad \quad 3x^{2} + 4x +15 \; \,
-\\
--------- \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
-\\
-x^3 + 7x^2 + 2x -3 \qquad \qquad \quad
-\\
--4x^3 + 8x^2 + 4x \qquad  \qquad \qquad \quad \; \,
-\\
----------- \qquad \qquad \qquad
-\\
-~15x^2 + ~6x -~3 \quad \quad \; \,
-\\
--15x^2 + 30x + 15 \quad \quad \; \, \,
-\\
---------- \qquad \quad
-\\
-\quad \ 36x+12
-\end{matrix}</math></center>
-}}
 {{p}}
-===División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini===
+===Ejercicios propuestos===
-{{Teorema|titulo=
+{{ejercicio
-''Regla de Ruffini''
+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Teorema del resto''
-|enunciado=
+|cuerpo=
-La '''Regla de Ruffini''' nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma <math>(x-r)\;</math>, siendo <math>r\;</math> un número entero.
-Debemos esta regla al matemático italiano [[Ruffini|Paolo Ruffini]],
+(Pág. 39)
-|demo=
+[[Imagen:Red_star.png|12px]] 3a
-Vamos a dividir el polinomio
-:<math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>
+[[Imagen:Yellow_star.png|12px]] 3b
-entre el binomio
-:<math>Q(x)=x-r\,\!</math>
-para obtener el cociente
-:<math>C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0</math>
-y el resto <math>s\;</math>.
-. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de <math>P(x)\;</math> y los escribimos ordenados. Entonces escribimos <math>r\;</math> en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:
-<center><math>\begin{matrix}
-~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0
-\\
-r~ | &  &  &  &   &
-\\
----&-----&-----&-----&-----&-----
-\\
-~~ \, | &  &  &  &   &
-\\
-~~ \, | &  &  &  &   &
-\end{matrix}</math></center>
-. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, <math>a_n\;</math>, justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes <math>b_{n-1}\;</math>:
-<center><math>\begin{matrix}
-~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0
-\\
-r~ | &  &  &  &   &
-\\
----&-----&-----&-----&-----&-----
-\\
-~~ \, | & a_n &  &  &  &
-\\
-~~ \, | & =b_{n-1} &  &  &   &
-\end{matrix}</math></center>
-. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r\; y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:
-<center><math>\begin{matrix}
-~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0
-\\
-r~ | &  & b_{n-1} \ r &  &   &
-\\
----&-----&-----&-----&-----&-----
-\\
-~~ \, | & a_n &  &  &  &
-\\
-~~ \, | & =b_{n-1} &  &  &   &
-\end{matrix}</math></center>
-. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:
-<center><math>\begin{matrix}
-~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0
-\\
-r~ | &  & rb_{n-1} &  &   &
-\\
----&-----&------&-----&-----&-----
-\\
-~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} &  &  &
-\\
-~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2}  &  &   &
-\end{matrix}</math></center>
-. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:
-<center><math>\begin{matrix}
-~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0
-\\
-r~ | &  & rb_{n-1} & \cdots & rb_1  & rb_0
-\\
----&-----&------&-----&-----&-----
-\\
-~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} &  \cdots & a_1+rb_1 & a_0 +rb_0
-\\
-~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2}  & \cdots & =b_0  & =s
-\end{matrix}</math></center>
-Los valores <math>b_i\;</math> son los coeficientes del polinomio cociente <math>C(x)\;</math>, cuyo grado será un grado menor que el del dividendo <math>P(x)\;</math>. El resto será <math>s\;</math>.
 }}
-{{p}}
-{{Ejemplo
-|titulo=Ejemplo: ''Regla de Ruffini''
-|enunciado=
-:Divide los polinomios usando la regla de [[Ruffini]]:
-::<math> P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\! </math>
-::<math> Q(x)=x-2\,\! </math>
-|sol=
-{{Tabla50
-|celda1=
-<center><pre>
-  | 7  -5  -4   6  -1
-   |
-|    14  18  28  68
- --|-------------------
-  | 7   9  14  34 |67
-                    |____
-</pre></center>
-El resultado significa que:
-*'''Cociente de la división:''' <math>C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!</math>
-*'''Resto:''' <math>r=67\,\!</math>
-|celda2=
-{{p}}
-:'''Operaciones:'''
-:* <math>2 \cdot 7=14\,\!</math>
-:* <math>-5+14=9\,\!</math>
-:* <math>2 \cdot 9 =18\,\!</math>
-:* <math>-4+18=14\,\!</math>
-:* <math>2\cdot 14=28\,\!</math>
-:* <math>6+28=34\,\!</math>
-:* <math>2 \cdot 34=68\,\!</math>
-:* <math>-1+68=67\,\!</math>
-}}
-}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]]