Funciones trigonométricas o circulares (1ºBach)

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==Funciones trigonométricas== ==Funciones trigonométricas==
-Vamos a estudiar las funciones que se obtienen a partir de las razones trigonométricas de un ángulo '''x''' al hacer variar éste. Dicho ángulo se suele expresar en radianes.+{{Funciones trigonométricas}}
 + 
 +===Función seno===
 +{{Función seno}}
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 +===Función coseno===
 +{{Función coseno}}
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 +===Función tangente===
 +{{Función tangente}}
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-{{Geogebra_enlace+ 
-|descripcion=En esta escena podrás ver como se representan las funciones trigonométricas.+==Línea media, amplitud y período de las funciones trigonométricas==
-|enlace=[https://ggbm.at/UHsRFWbu Funciones trigonométricas]+{{Videotutoriales|titulo=Línea media, amplitud y período de funciones trigonométricas|enunciado=
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-|sinopsis=Estudio gráfico de las funciones seno y coseno.+|sinopsis=Estudio de la periodicidad de las funciones trigonométricas directas e inversas.
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/20-graficas-de-las-funciones-seno-y-coseno-5#.VCrSixa7ZV8+
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 +----
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 +----
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 +}}
 +{{Actividades|titulo=Línea media y amplitud de funciones trigonométricas|enunciado=
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 +|titulo1=Actividad
 +|descripcion=Repaso sobre línea media, amplitud y periodo de funciones sinusoidales.
-==Función seno==+|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/period-of-sinusoids/a/midline-amplitude-and-period-review
-{{Tabla50|celda2=<center>'''Función seno''' (sinusoide).{{p}}[[Imagen:funcionseno.png|380px|]]<br>Los valores en el eje x están expresados en radianes</center>+}}
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-{{Caja_Amarilla|texto=Se define la función '''seno''' como+|titulo1=Autoevaluación 1
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-<center><math>f(x)=sen(x) \, , \ x \in \mathbb{R}</math></center> +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/intro-to-amplitude-and-midline-of-sinusoids/e/midline-of-trig-functions
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 +|titulo1=Autoevaluación 2
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 + 
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-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la función seno|enunciado=+{{Info|texto=Más información en: [http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_period/fn_trig_period.html Periodo de las funciones trigonométricas]
-*'''Dominio:''' <math>\mathbb{R}</math>+ 
-*'''Recorrido:''' <math>[-1, 1]\,</math>+
-*'''Periodicidad:''' Es periódica, con período <math>2 \pi \,</math>.+
-*'''Continuidad:''' Es continua en su dominio, <math>\mathbb{R}</math>.+
-*'''Simetrías:''' Es impar, pués <math>sen(-x)=-sen(x)\,</math>+
-*'''Cortes con eje X:''' <math>\left \{ x=0+ \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Máximos:''' <math>\left \{ x=\pi / 2+2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Mínimos:''' <math>\left \{ x=3 \pi /2 +2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Crecimiento:'''+
-**Crece en <math>\big( 3 \pi / 2+2 \pi (k-1) , \, \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}</math>.+
-**Decrece en <math>\big( \pi / 2+2 \pi k , \, 3 \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}</math>.+
}} }}
 +{{p}}
 +
 +==Transformaciones de funciones trigonométricas==
 +Para este apartado necesitarás ver primero: [[Transformaciones elementales de funciones (1ºBach)|Transformaciones elementales de funciones]].
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 +{{Videotutoriales|titulo=Transformaciones de funciones trigonométricas|enunciado=
 +'''Traslaciones:'''
 +
 +{{Traslaciones de funciones trigonometricas}}
 +
 +----
 +'''Dilataciones y contracciones:'''
 +
 +{{Dilataciones y contracciones funciones trigonometricas}}
 +
 +----
 +'''Ejercicios:'''
 +
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=12'54"
 +|sinopsis=Representa la función: <math>y=2\,sen(-x)\;</math> en el intervalo <math>\left[ -2\pi, 2\pi \right]</math>.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=0q95HWKekqY
}} }}
-{{Videotutoriales|titulo=La función seno|enunciado=+{{Video_enlace_khan
-{{Video_enlace_abel+|titulo1=Ejercicio 2
-|titulo1=Tutorial 1+|duracion=10'44"
-|duracion=23'02"+|sinopsis=Representa la función: <math>y=-2.5\,cos(\cfrac{1}{3}\,x)\;</math> en el intervalo <math>\left[ 0, 6\pi \right]</math>.
-|sinopsis=Definición, representación y análisis de la función seno.+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=h-XNPr9ZIPQ
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PpT9jA8AOUY+
}} }}
-{{Video_enlace_matemovil 
-|titulo1=Tutorial 2 
-|duracion=27'53" 
-|sinopsis=Definición, representación y análisis de la función seno. Ejercicios. 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JwGW8YyNp4M&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=57 
}} }}
 +{{Actividades|titulo=Transformaciones de funciones trigonométricas|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=Grafica funciones sinusoidales en la cuadrícula interactiva.
 +
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/graphing-sinusoids/e/graphs_of_sine_and_cosine
}} }}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +|descripcion=Grafica funciones sinusoidales en la cuadrícula interactiva (desplazamiento de fase).
-==Función coseno==+|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/graphing-sinusoids/e/graphs-of-trigonometric-functions
-{{Tabla50|celda2=<center>'''Función coseno''' (cosinusoide).{{p}}[[Imagen:funcioncoseno.png|380px|]]<br>Los valores en el eje x están expresados en radianes</center>+}}
-|celda1=+}}
-{{Caja_Amarilla|texto=Se define la función '''coseno''' como+{{p}}
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-<center><math>f(x)=cos(x) \, , \ x \in \mathbb{R}</math></center>  
}} }}
 +
 +==Modelando con funciones trigonométricas==
 +En este apartado vamos a ver cómo se obtiene la expresión analítica de una función trigonométrica que nos permita representar una determinada situación, partiendo de cierta información verbal o gráfica.
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-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la función coseno|enunciado=+{{Videotutoriales|titulo=Modelando con funciones trigonométricas|enunciado=
-*'''Dominio:''' <math>\mathbb{R}</math>+{{Video_enlace_khan
-*'''Recorrido:''' <math>[-1, 1]\,</math>+|titulo1=Ejercicio 1
-*'''Periodicidad:''' Es periódica, con período <math>2 \pi \,</math>.+|duracion=5'50"
-*'''Continuidad:''' Es continua en su dominio, <math>\mathbb{R}</math>.+|sinopsis=Escribe la ecuación de la función trigonométrica dada en el video.
-*'''Simetrías:''' Es par, pués <math>cos(-x)=cos(x)\,</math>+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=a5aAIbTs_Gw
-*'''Cortes con eje X:''' <math>\left \{ x=\pi /2 + \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Máximos:''' <math>\left \{ x=2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Mínimos:''' <math>\left \{ x=\pi (2k+1) \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Crecimiento:'''+
-**Crece en <math>\big( \pi (2k-1) , \, 2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}</math>.+
-**Decrece en <math>\big( 2 \pi k , \, \pi (2k+1) \big), \ k \in \mathbb{Z}</math>.+
}} }}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=10'56"
 +|sinopsis=En Johannesburgo, en junio, la temperatura mínima diaria usual es aproximadamente de 3ºC, y la temperatura máxima diaria alrededor de 18ºC. La temperatura se ubica justo a la mitad entre la máxima y la mínima diaria, tanto a las 10 a.m. como a las 10 p.m., alcanzándose la temperatura máxima por la tarde. Encuentra una función trigonométrica que modele la temperatura ''T'' en Johannesburgo a las ''t'' horas después de media noche.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=dDo4YNCzMjo
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_khan
-{{Videotutoriales|titulo=La función coseno|enunciado=+|titulo1=Ejercicio 3a
-{{Video_enlace_abel+|duracion=7'10"
-|titulo1=Tutorial 1+|sinopsis=El día más caluroso del año, en promedio, en Santiago de Chile, es el 7 de enero cuando la media de la temperatura máxima es de 29ºC. El día más frio del año tiene una temperatura máxima media de 14ºC.
-|duracion=26'21"+ 
-|sinopsis=Definición, representación y análisis de la función coseno.+Usa una función trigonométrica para modelar la temperatura en Santiago de Chile, usando 365 días como la duración de un año y partiendo del 7 de enero. Recuerda que el 7 de enero es verano en Santiago.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8z0M2hnCJIY+ 
-}}{{Video_enlace_matemovil+¿Cuántos días después del 7 de enero es el primer día de primavera cuando la temperatura máxima alcanza 20ºC?
-|titulo1=Tutorial 2+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=2mL7FZUOoDU
-|duracion=30'13"+
-|sinopsis=Definición, representación y análisis de la función coseno. Ejercicios.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Dgpsd_CwZfs&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=58+
}} }}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 3b
 +|duracion=8'23"
 +|sinopsis=Continuación del ejercicio anterior:
 +
 +El día más caluroso del año, en promedio, en Santiago de Chile, es el 7 de enero cuando la media de la temperatura máxima es de 29ºC. El día más frio del año tiene una temperatura máxima media de 14ºC.
 +
 +Usa una función trigonométrica para modelar la temperatura en Santiago de Chile, usando 365 días como la duración de un año y partiendo del 7 de enero. Recuerda que el 7 de enero es verano en Santiago.
 +
 +¿Cuántos días después del 7 de enero la temperatura máxima alcanza 20ºC (primer día de primavera)?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JFzvoWVc9ew
}} }}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=7'44"
 +|sinopsis=Modelar funciones sinusoidales con desplazamiento de fase:
-==Función tangente==+El día más largo del año en Juneau, Alaska, es el 21 de junio, el cual dura 1096.5 minutos. Medio año después, cuando los días son más cortos, éstos duran alrededor de 382.5 minutos.
-{{Tabla50|celda2=<center>'''Función tangente'''.{{p}}[[Imagen:funciontg.png|380px|]]<br>Los valores en el eje x están expresados en radianes</center>+
-|celda1=+
-{{Caja_Amarilla|texto=Se define la función '''coseno''' como+
-<center><math>f(x)=tg(x) \, , \quad x \in \mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math></center> +Sabiendo que no es un año bisiesto y el día 21 de junio es el día 172 del año, encuentra la función trigonométrica que modele la duración ''L'' del día ''t'' del año.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=cmZ_mSTIKpY
}} }}
-{{p}} 
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la función tangente|enunciado= 
-*'''Dominio:''' <math>\mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math> 
-*'''Recorrido:''' <math>\mathbb{R}</math> 
-*'''Periodicidad:''' Es periódica, con período <math>\pi \,</math>. 
-*'''Continuidad:''' Es continua en su dominio. Tiene discontinuidades en <math>\left \{ x=\pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math> 
-*'''Simetrías:''' Es impar, pués <math>tg(-x)=-tg(x)\,</math> 
-*'''Cortes con eje X:''' <math>\left \{ x=k \pi , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math> 
-*'''Máximos:''' No tiene 
-*'''Mínimos:''' No tiene 
-*'''Crecimiento:''' Creciente en cada intervalo que compone sus dominio. 
}} }}
 +{{Actividades|titulo=Modelando con funciones trigonométricas|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=Escribe la ecuación de la función trigonométrica correspondiente a unos datos dados.
 +
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/constructing-sinusoids/e/construct-sinusoidal-functions
}} }}
-{{p}}+{{AI_Khan
-{{Video_enlace_matemovil+|titulo1=Autoevaluación 2
-|titulo1=La función tangente+|descripcion=Modelar con funciones sinusoidales.
-|duracion=26'00"+ 
-|sinopsis=Definición, representación y análisis de la función tangente. Ejercicios.+|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/constructing-sinusoids/e/modeling-with-periodic-functions
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-hISqPei4G4&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=59+
}} }}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 3
 +|descripcion=Modelar con funciones sinusoidales con desplazamiento de fase.
-{{Info|texto=Más información en:{{p}}+|url1=https://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/constructing-sinusoids/e/modeling-with-periodic-functions-2
-*[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/unit_circle/unit_circle.html Funciones trigonométricas 1]+
-*[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig/fn_trig.html Funciones trigonométricas 2]+
-*[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_period/fn_trig_period.html Periodo de las funciones trigonométricas]+
-*[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_trans/fn_trig_trans.html Transformaciones de funciones trigonométricas]+
-*[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_mod/fn_trig_mod.html Modelando con Funciones Trigonométricas]+
}} }}
 +}}
 +{{p}}
 +{{Info|texto=Más información en: [http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_mod/fn_trig_mod.html Modelando con funciones trigonométricas]
 +}}
 +{{p}}
 +
 +==Funciones trigonométricas recíprocas o funciones arco==
 +*Véase: [[Funciones arco (1ºBach)|Funciones arco]].
 +{{p}}
==Actividades y videotutoriales== ==Actividades y videotutoriales==
-{{Video_enlace2+{{Video_enlace_khan
-|titulo1=Estudio de la periodicidad de las funciones trigonométricas+|titulo1=Ejercicio
-|duracion=14'00"+|duracion=11'09"
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=5nEUzbQZtBs+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=uDUrb5Wy17Y
-|sinopsis=Estudio de la periodicidad de las funciones trigonométricas directas e inversas.+|sinopsis=Averigua los puntos de intersección de las funciones seno y coseno en el primer giro.
}} }}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver como se obtiene el ángulo conocida una razón, de forma gráfica, utilizando la representación gráfica de las funciones trigonométricas.
 +|enlace=[http://ggbm.at/UqFJY4dz Cálculo del ángulo conocidas sus razones (con gráficas)]
 +}}
 +{{p}}
{{wolfram desplegable|titulo=Funciones trigonométricas|contenido= {{wolfram desplegable|titulo=Funciones trigonométricas|contenido=
{{wolfram {{wolfram
Línea 158: Línea 268:
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Geogebra_enlace+{{Info|texto=Más información en:{{p}}
-|descripcion=En esta escena podrás ver como se obtiene el ángulo conocida una razón, de forma gráfica, utilizando la representación gráfica de las funciones trigonométricas.+*[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/unit_circle/unit_circle.html Funciones trigonométricas 1]
-|enlace=[http://ggbm.at/UqFJY4dz Cálculo del ángulo conocidas sus razones (con gráficas)]+*[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig/fn_trig.html Funciones trigonométricas 2]
}} }}
{{p}} {{p}}

Revisión actual

Tabla de contenidos

Funciones trigonométricas

Vamos a estudiar las funciones que se obtienen a partir de las razones trigonométricas de un ángulo x al hacer variar éste. Dicho ángulo se suele expresar en radianes.

Función seno

Se define la función seno como

f(x)=sen(x) \, , \ x \in \mathbb{R}

ejercicio

Propiedades de la función seno


  • Dominio: \mathbb{R}
  • Recorrido: [-1, 1]\,
  • Periodicidad: Es periódica, con período 2 \pi \,.
  • Continuidad: Es continua en su dominio, \mathbb{R}.
  • Simetrías: Es impar, pués sen(-x)=-sen(x)\,
  • Cortes con eje X: \left \{ x=0+ \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Máximos: \left \{ x=\pi / 2+2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Mínimos: \left \{ x=3 \pi /2 +2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Crecimiento:
    • Crece en los intervalos \big( 3 \pi / 2+2 \pi (k-1) , \, \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}.
    • Decrece en los intervalos \big( \pi / 2+2 \pi k , \, 3 \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}.
Función seno (sinusoide).


Los valores en el eje x están expresados en radianes

Función coseno

Se define la función coseno como

f(x)=cos(x) \, , \ x \in \mathbb{R}

ejercicio

Propiedades de la función coseno


  • Dominio: \mathbb{R}
  • Recorrido: [-1, 1]\,
  • Periodicidad: Es periódica, con período 2 \pi \,.
  • Continuidad: Es continua en su dominio, \mathbb{R}.
  • Simetrías: Es par, pués cos(-x)=cos(x)\,
  • Cortes con eje X: \left \{ x=\pi /2 + \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Máximos: \left \{ x=2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Mínimos: \left \{ x=\pi (2k+1) \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Crecimiento:
    • Crece en los intervalos \big( \pi (2k-1) , \, 2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}.
    • Decrece en los intervalos \big( 2 \pi k , \, \pi (2k+1) \big), \ k \in \mathbb{Z}.
Función coseno (cosinusoide).


Los valores en el eje x están expresados en radianes

Función tangente

Se define la función coseno como

f(x)=tg(x) \, , \quad x \in \mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k  \in \mathbb{Z} \right \}

ejercicio

Propiedades de la función tangente


  • Dominio: \mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k  \in \mathbb{Z} \right \}
  • Recorrido: \mathbb{R}
  • Periodicidad: Es periódica, con período \pi \,.
  • Continuidad: Es continua en su dominio. Tiene discontinuidades en \left \{ x=\pi /2 + k \pi \, , \ k  \in \mathbb{Z} \right \}
  • Simetrías: Es impar, pués tg(-x)=-tg(x)\,
  • Cortes con eje X: \left \{ x=k \pi , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Máximos: No tiene
  • Mínimos: No tiene
  • Crecimiento: Creciente en cada intervalo que compone sus dominio.
Función tangente.


Los valores en el eje x están expresados en radianes

Línea media, amplitud y período de las funciones trigonométricas



Transformaciones de funciones trigonométricas

Para este apartado necesitarás ver primero: Transformaciones elementales de funciones.



Modelando con funciones trigonométricas

En este apartado vamos a ver cómo se obtiene la expresión analítica de una función trigonométrica que nos permita representar una determinada situación, partiendo de cierta información verbal o gráfica.



Funciones trigonométricas recíprocas o funciones arco

Actividades y videotutoriales



Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda