Plantilla:Logaritmos (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Introducción
2 Logaritmos
3 Propiedades de los logaritmos
4 Logaritmos decimales
- 4.1 Calculadora
5 Logaritmos neperianos
- 5.1 Calculadora
6 Ejercicios

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Introducción

La siguiente lista de reproducción condensa todo lo tratado en este tema:

Logaritmos (Lista de reproducción) Sinopsis:[Mostrar]

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Logaritmos

Sea $a \in \mathbb{R}^+~,~(a \ne 1)$ . Se define el logaritmo en base a de un número real $P\;$ , y se designa por $log_a \ P$ , al exponente $x\;$ al que hay que elevar la base $a\;$ para obtener $P\;$ , es decir:

$log_a \ P=x \iff a^x=P$

Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.

Relación entre logaritmo y exponencial [Mostrar]

Ejercicios resueltos: Logaritmos

Hallar los siguientes logaritmos reconociendo la potencia correspondiente:

$log_3 \ 81,\ log_{10} \ 0.01,\ log_5 \ 0.2, \ log_2 \ 0.125$

Solución:[Mostrar]

Cálculo de logaritmos [Mostrar]

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Propiedades de los logaritmos

Propiedades de los logaritmos:

1: Igualdad y orden:

a) $P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q$ o equivalentemente,

$log_a \ P = log_a \ Q \Rightarrow P=Q$

b) $P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad si~ a>1$

c) $P < Q \Rightarrow log_a \ P > log_a \ Q, \quad si~ 0<a<1$

2: Logaritmo de la base:

a) $log_a \ a=1$

b) $log_a \ a^n=n$

c) $log_a \ 1=0$

3: Logaritmo de números negativos o nulos:

Si $P \le 0$ , entonces $log_a \ P$ no existe.

4: Logaritmo de un producto:

$log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q$

5: Logaritmo de un cociente:

$log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q$

6: Logaritmo de una potencia:

$log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P$

7: Logaritmo de una raíz:

$log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P$

8: Cambio de base:

$log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}$

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos

Sabiendo que $log_2 \ A=3.5 \ y \ log_2 \ B=-1.4$ , calcula:

a) $log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4}$

b) $log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3}$

Solución:[Mostrar]

Propiedades de los logaritmos [Mostrar]

Tutorial 1 (25'59") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2 (13´22") Sinopsis: [Mostrar]

Tutorial 3 (12´43") Sinopsis: [Mostrar]

Identidad fundamental del logaritmo (7´58") Sinopsis:[Mostrar]

Logaritmo de un producto (15'28") Sinopsis:[Mostrar]

Logaritmo de un cociente (12'34") Sinopsis:[Mostrar]

Logaritmo de una potencia (10'57") Sinopsis:[Mostrar]

Logaritmo de una raíz (15'24") Sinopsis:[Mostrar]

Desarrollo de logaritmos usando las propiedades:

Ejercicio 1 (2´34") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (4´24") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3 (4´38") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 4 (4´47") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 5 (3´43") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 6 (5´28") Sinopsis: [Mostrar]

Expresar como un solo logaritmo:

Ejercicio 1 (2´07") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (2´15") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3 (2´54") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 4 (3´59") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 5 (2´30") Sinopsis: [Mostrar]

Varios:

Ejercicio 1 (3´19") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (5´13") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3 (3´23") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 4 (10´38") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 5 (15´11") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 6 (13´34") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 7 (9´34") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicios 8 (8´45") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 9 (7´13") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 10 (6´18") Sinopsis: [Mostrar]

El antilogaritmo (9´31") Sinopsis:[Mostrar]

El cologaritmo (10´50") Sinopsis:[Mostrar]

Regla de la cadena (16´55") Sinopsis:[Mostrar]

Regla del intercambio (11´25") Sinopsis:[Mostrar]

Ejercicio 1 (15´24") Sinopsis: [Mostrar]

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Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por $log_{10}\;$ , los representaremos, simplemente, por $log\;$ . Esto es:

$log_{10} \ P=log \ P$

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Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:[Mostrar]

Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.

Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:

Logaritmos [Mostrar]

Ejemplo: Cambio de base

Usa la calculadora para hallar $log_2 \ 11$ .

Solución:[Mostrar]

Cambio de base de logaritmos [Mostrar]

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Logaritmos neperianos

Los logaritmos neperianos o logaritmos naturales son aquellos cuya base es el número e (2.71828...). En vez de representarlos por $log_{e}\;$ , los representaremos, simplemente, por $ln\;$ . Esto es:

$log_{e} \ P=ln \ P$

Deben su nombre a Neper, matemático escocés, que los inventó en 1614.

Historia de los logaritmos [Mostrar]

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Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:[Mostrar]

John Napier (Neper)

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos

Averiguar la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: $ln \ y=x+ ln \ 7$

Solución:[Mostrar]

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Ejercicios

Ejercicios: Logaritmos Descripción: [Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Logaritmos_%281%C2%BABach%29"

+==Introducción==
+La siguiente lista de reproducción condensa todo lo tratado en este tema:
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Logaritmos
+|duracion=Lista de reproducción
+|sinopsis=Lista de reproducción que consta de 8 videos sobre logaritmos:
+# Definición de logaritmo
+# Logaritmo decimal y neperiano
+# Propiedades de los logaritmos
+# Cambio de base
+# Ejercicios I
+# Ejercicios 2
+# Problemas
+# Ecuaciones logarítmicas
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=pw7pVbUj5X8&list=PLwCiNw1sXMSBS-xkrGZm69M_Jc4bqmBKl&index=1
+}}
 ==Logaritmos==
-{{Caja_Amarilla|texto=Sea <math> a \in \mathbb{R}^+~,~(a \ne 1)</math>. Se define el '''logaritmo en base a''' de un número real <math>P\;</math>, y se designa <math>log_a \ P</math>, al exponente <math>x\;</math> al que hay que elevar la base <math>a\;</math> para obtener <math>P\;</math>, es decir:
+{{Logaritmos: definicion}}
-{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>log_a \ P=x \iff a^x=P</math>}}
-}}
-{{p}}
-Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.
-{{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplos: ''Logaritmos''
-|enunciado= Calcula los siguientes logaritmos: <math>log_2 \ 16,\ log_{10} \ 1000,\ log_2 \ \cfrac{1}{8}, \ log_{10} \ 0.01</math>
-|sol=
-*<math>log_2 \ 16=4</math> porque <math>2^4=16\;</math>
-*<math>log_{10} \ 1000=3</math> porque <math>10^3=1000\;</math>
-*<math>log_2 \ \cfrac{1}{8}=-3</math> porque <math>2^{-3}=\cfrac{1}{8}\;</math>
-*<math>log_2 \ 0.01=log_2 \ 10^{-2}=-2</math> porque <math>10^{-2}=0.01\;</math>
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=Logaritmo de un número positivo
-|duracion=7´38"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/14-logaritmos/01-logaritmo-de-un-numero-positivo#.VCMOmBZ8HA8
-|sinopsis=Concepto de logaritmo de un número.
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=12 ejercicios sobre logaritmos
-|duracion=10´15"
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-|sinopsis=Ejercicios sobre ejercicios básicos de cálculo de logaritmos  aprtir de la definición.
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=6 ejercicios sobre logaritmos
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-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/14-logaritmos/0102-seis-ejercicios#.VCMRfBZ8HA8
-|sinopsis=Ejercicios sobre ecuaciones logarítmicas
-}}
 {{p}}
 ==Propiedades de los logaritmos==
+{{Propiedades de los logaritmos}}
-{{Teorema_sin_demo|titulo=
-Propiedades de los logaritmos:
-|enunciado=
-:'''1: Logaritmo de la base:'''
-::a) <math>log_a \ a=1</math>
-::b)  <math>log_a \ a^n=n</math>
-:'''2: Logaritmo de 1:'''
-:: <math>log_a \ 1=0</math>
-:'''3: Logaritmo de números negativos o nulos:'''
-:: Si <math>P \le 0</math>, entonces <math>log_a \ P</math>  no existe.
-:'''4: Igualdad y orden:'''
-::a) <math>P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q</math>
-::b) <math>P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad \forall a>1</math>
-:'''5: Logaritmo de un producto:'''
-:: <math>log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q</math>
-:'''6: Logaritmo de un cociente:'''
-:: <math>log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q</math>
-:'''7: Logaritmo de una potencia:'''
-:: <math>log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P</math>
-:'''8: Logaritmo de una raíz:'''
-:: <math>log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P</math>
-:'''9: Cambio de base:'''
-:: <math>log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}</math>
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=Propiedades de los logaritmos
-|duracion=13´22"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/14-logaritmos/02-propiedades-de-los-logaritmos#.VCMRORZ8HA8
-|sinopsis=Demostración de las propiedades de los logaritmos.
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-{{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=5 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos
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-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=5 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos
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-|sinopsis=Ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=2 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos
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-|sinopsis=Ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=4 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos
-|duracion=6´18"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/14-logaritmos/0204-cuatro-ejercicios#.VCMSSxZ8HA8
-|sinopsis=Ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos
-}}
 {{p}}
 ==Logaritmos decimales==
-{{Caja_Amarilla|texto=
+{{Logaritmos decimales}}
-Los '''logaritmos decimales''' son aquellos de '''base 10'''. En vez de representarlos por <math>log_{10}\;</math>, los representaremos, simplemente, por <math>log\;</math>. Esto es:
-<center><math>log_{10} \ P=log \ P</math></center>
-}}
-{{p}}
-===Calculadora===
-{{Calculadora
-|titulo=Calculadora: ''Logaritmo decimal''
-|cuerpo=Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla [[Imagen:log10.jpg|35px|Logaritmo decimal]].
-|operacion=
-<math>\log \ 100</math>
-|procedimiento=
-[[Imagen:log10.jpg|35px|Logaritmo decimal]] <math>100\;\!</math> [[Imagen:igual.jpg|35px|Obtener resultado]]
-|solucion=
-<math>2\;\!</math>
-}}
 {{p}}
-Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas '''tablas logarítmicas'''.
-Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Cambio de base''
-|enunciado=Usa la calculadora para hallar <math>log_2 \ 15</math>.
-|sol=Como la calculadora científica no tiene logaritmos en base 2, mediante la fórmula del cambio de base haremos un cambio de base 2 a base 10:
-<center><math>log_2 \ 15=\cfrac{log \ 2}{log \ 15}=0,43067...</math></center>
-ya que <math>log \ 2</math> y <math>log \ 15</math> se pueden obtener directamente con la calculadora.
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=Cambio de base de logaritmos
-|duracion=7´16"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/14-logaritmos/03-cambio-de-base-en-los-logaritmos#.VCMSiBZ8HA8
-|sinopsis=Cambio de base usando la calculadora.
-}}
-{{p}}
 ==Logaritmos neperianos==
-{{Tabla75|celda2=
+{{Logaritmos neperianos}}
-[[Imagen:John_Napier.jpg|thumb|[[Neper|John Napier (Neper)]]]]
-|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=
-Los '''logaritmos neperianos''' o '''logaritmos naturales''' son aquellos de '''base e''' ([[número e]]: 2.71828...). En vez de representarlos por <math>log_{e}\;</math>, los representaremos, simplemente, por <math>ln\;</math>. Esto es:
-<center><math>log_{e} \ P=ln \ P</math></center>
-Deben su nombre a [[Neper]], matemático escocés, que los inventó en 1614.
-}}
 {{p}}
-====Calculadora====
+==Ejercicios==
-{{Calculadora
+{{Ejercicios_vitutor
-|titulo=Calculadora: ''Logaritmo neperiano''
+|titulo1=Ejercicios: ''Logaritmos''
-|cuerpo=Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla [[Imagen:logn.jpg|35px|Logaritmo neperiano]].
+|descripcion=Ejercicios resueltos sobre logaritmos.
-|operacion=
+|url1=http://www.vitutor.com/al/log/g_e.html
-<math>\ln \ 50</math>
-|procedimiento=
-[[Imagen:logn.jpg|35px|Logaritmo neperioano]] <math>50\;\!</math> [[Imagen:igual.jpg|35px|Obtener resultado]]
-|solucion=
-<math>3.912023005\;\!</math>
 }}
-}}
-{{p}}

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