Operaciones con números naturales (1º ESO)

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{{Menú Matemáticas 1ºESO {{Menú Matemáticas 1ºESO
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-|repasar=+|repasar=[http://es.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-add-subtract Suma y resta]<br>[http://es.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-multiply-divide Multiplicación y división]
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 +__TOC__
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-{{p}}+{{Info|texto=Si necesitas repasar de cursos anteriores:
-==Suma de números naturales==+ 
-{{Caja Amarilla|texto='''Sumar''' es unir, juntar, añadir.+:*[http://es.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-add-subtract Suma y resta de números naturales]
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-==Propiedades de la suma==+==Introducción==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la suma|enunciado=+{{AI_cidead
-*'''Propiedad conmutativa''': La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.{{p}}+|titulo1=Para empezar
-<center><math>a+b = b+a\,</math> </center>{{p}}+|descripcion=*Sabrías sumar de forma fácil y sin calculadora los 100 primeros números naturales?
-*'''Propiedad asociativa''': El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.{{p}}+*El misterioso número 6174.
-<center><math>(a + b ) + c = a + ( b + c )\,</math></center>+|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena1/1quincena1_presenta_1a.htm
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-'''Conmutativa:'''+==Suma y resta de números naturales==
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-}}+(Pág. 13)
- +==Multiplicación o producto de números naturales==
-==Multiplicación o producto==+{{Multiplicacion de naturales}}
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-{{Ejemplo_simple+===Propiedades de la multiplicación de números naturales===
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-|contenido=Si un comerciante vende 5 equipos de sonido a 250 € cada uno, el dinero que ingresa es:<br>+
-:<math>250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 250 \cdot 5 = 1250</math> € +
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-{{AI_enlace 
-|titulo1=Multiplicación 1 
-|descripcion=Cálculo mental con multiplicaciones. 
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-{{AI_enlace 
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-==Propiedades de la multiplicación== 
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la multiplicación|enunciado= 
-*'''Propiedad conmutativa''': El producto no varía al cambiar el orden de los factores. 
-{{p}} 
-<center><math>a \cdot b = b \cdot a\,</math> </center>{{p}} 
-*'''Propiedad asociativa''': El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.{{p}} 
-<center><math>(a + b ) + c = a + ( b + c )\,</math></center> 
-*'''Propiedad distributiva''': El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o rsta) de los productos del número por cada sumando.{{p}} 
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-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido= 
-'''Conmutativa:''' 
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-'''Asociativa:''' 
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-'''Distributiva:''' 
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-<center><math> 3 \cdot (2 + 6) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 6 \,</math></center> 
-{{p}} 
-<center><math>3 \cdot 8 = 6 + 18 \,</math></center> 
-{{p}} 
-<center><math>24 = 24\,</math></center> 
-  
-}} 
-{{p}} 
-{{Ejemplo 
-|titulo=Ejemplo: ''Propiedad distributiva del producto'' 
-|enunciado= 
-:Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €? 
-|sol= 
-Podemos resolver el problema de dos formas: 
- 
-*'''Primera forma:''' 
- 
-::Alfredo-----> <math>15 \cdot 4 = 60</math> 
-::Teresa------> <math>15 \cdot 2 = 30</math> 
-::Total---------> <math>15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 = 60 + 30= 90\,</math> €  
- 
-*'''Segunda forma:''' 
- 
-::Alfredo y Teresa compran 4 + 2 entradas  
-::Luego en total gastan entre los dos: <math>15 \cdot (4 + 2 )= 15 \cdot 6 = 90</math> €  
-}} 
-{{p}} 
-{{AI_enlace 
-|titulo1=Propiedad distributiva 
-|descripcion=Asocia las expresiones numéricas equivalentes. 
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/ciclo1/distributiva.htm 
-}} 
-{{p}} 
===Producto por 10, 100, 1000, ....=== ===Producto por 10, 100, 1000, ....===
-{{Caja Amarilla|texto=Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10. 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).+{{Producto por 10, 100, 1000}}
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple+
-|titulo=Ejemplos+
-|contenido=+
-*<math>12 \cdot 10 = 120</math>+
-*<math>12 \cdot 100 = 1200</math>+
-*<math>12 \cdot 1000 = 12000</math>+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +===Ejercicios propuestos===
{{ejercicio {{ejercicio
|titulo=Ejercicios propuestos: ''Multiplicación'' |titulo=Ejercicios propuestos: ''Multiplicación''
|cuerpo= |cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-{{b4}}(Pág. 13) 
-{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]] 7, 10, 11+(Pág. 13)
-|sol=+[[Imagen:red_star.png|12px]] 7, 10, 11
-}}+
-}}+
-==División== 
-{{Caja Amarilla|texto='''Dividir ''' consiste en repartir en partes iguales o partir en partes de un determinado tamaño. 
- 
-Una división puede ser exacta o entera dependiendo de su resto: 
-*Si el resto es 0 la división es '''exacta''' y el dividendo es igual al divisor por el cociente: 
-{{p}} 
-<center><math>D = d \cdot c\,</math></center> 
-{{p}} 
-*Si el resto es distinto de cero la división es '''entera''' y el dividendo es igual al divisor por cociente mas el resto: 
-{{p}} 
-<center><math>D= d \cdot c + r\,</math></center> 
}} }}
 +(Pág. 14-15)
-{{p}}+==División o cociente números naturales==
-{{AI_enlace+{{División de naturales}}
-|titulo1=División+
-|descripcion=Cálculo mental con divisiones.+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/06.htm+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI_enlace+
-|titulo1=División entera+
-|descripcion=Cálculo con divisiones.+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/07.htm+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Cociente por defecto y por exceso=== ===Cociente por defecto y por exceso===
-{{Ejemplo+{{Cociente por defecto y por exceso}}
-|titulo=Ejemplo: ''Cociente por defecto y por exceso''+
-|enunciado=+
-:Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas. +
-::a) ¿Cuántos taxis completarán?+
-::b) ¿Cuántos taxis se necesitan?+
-::c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?+
{{p}} {{p}}
-|sol= 
-a) Completan 10 taxis y sobran 3 turistas. (<math>43= 10 \cdot 4 + 3</math>)<br> 
-b) Se necesitan 11 taxis, aunque en el último taxi quede un asiento libre. 
-c) El cociente por defecto sería 10 y el cociente por exceso sería 11. 
-}} 
-<br> 
-===Propiedades de la división===+===Propiedades de la división de números naturales===
-{{Teorema_sin_demo||titulo=Propiedad+{{Propiedades de la división de números naturales}}
-|enunciado=:Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.+
-}}+
-<br>+
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Propiedades de la división''+
-|enunciado=+
-:Observa la siguiente división: <math>360 : 120 = 3\,</math> y escribe los cocientes de las siguientes divisiones, sin hacerlas:+
-::a) <math>(3 \cdot 360) : (3 \cdot 120)</math> +
-::b) <math>36 : 12\,</math> +
-::c) <math>18 : 6\,</math>+
-{{p}}+
-|sol=+
-a) 3; b) 3; c) 3.+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +
 +===Ejercicios propuestos===
{{ejercicio {{ejercicio
|titulo=Ejercicios propuestos: ''División'' |titulo=Ejercicios propuestos: ''División''
|cuerpo= |cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-{{b4}}(Pág. 15) 
-{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]] 16, 19+(Pág. 15)
-{{b4}}[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 12, 14, 17, 18+[[Imagen:red_star.png|12px]] 14, 16, 19
-|sol=+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 12, 15, 17, 18
-}}+
}} }}
 +(Pág. 16-17)
==Operaciones combinadas== ==Operaciones combinadas==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Jerarquía de las operaciones|enunciado=:*Primero se efectúan las operaciones del interior de los '''paréntesis'''. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.+{{Operaciones combinadas con naturales}}
-:*Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:+
-:#Las '''multiplicaciones''' y las '''divisiones'''.+
-:#Las '''sumas''' y las '''restas'''.+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido= 
-:'''Efectúa las siguientes operaciones:''' 
-:<math>8+4 \cdot (5-2)</math> 
-# Los paréntesis <math>\rightarrow 8+4 \cdot (5-2)= 8 + 4 \cdot 3</math>+===Ejercicios propuestos===
-# Las multiplicaciones y divisiones <math>\rightarrow 8 + 4 \cdot 3 = 8 + 12</math>+
-# Las sumas y restas <math>\rightarrow 8 + 12 = 20</math>+
-}}+
-{{p}}+
-{{p}}+
{{ejercicio {{ejercicio
-|titulo=Ejercicios propuestos: ''División''+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Operaciones combinadas''
|cuerpo= |cuerpo=
{{ejercicio_cuerpo {{ejercicio_cuerpo
|enunciado= |enunciado=
-{{b4}}(Pág. 17)+(Pág. 17)
-{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]] 5, 6+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1a,b,c; 3a,c,e; 4a,c,e; 5, 6
-{{b4}}[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1, 3, 4+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1d,e,f,g,h; 3b,d,f,g,h; 4b,d,f,g,h
-|sol=+|sol=Usa la calculadora o Wolfram-Alpha para comprobar las soluciones:
 +{{widget generico}}
}} }}
}} }}
 +==Calculadora==
 +===Suma, resta, multiplicación y división===
 +{{Casio FX-100MS: Suma, resta, multiplicación y división}}
 +===Paréntesis===
 +{{Casio FX-100MS: Paréntesis}}
 +
 +==Actividades==
 +{{AI_cidead
 +|titulo1=Multiplicación y división de números naturales. Propiedades
 +|descripcion=Practica con las operaciones de multiplicación y división de números naturales y con sus propiedades.
 +
 +|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena1/1quincena1_contenidos_2b.htm
 +}}
 +{{p}}
 +==Problemas==
 +{{Videotutoriales|titulo=Problemas|enunciado=
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Problema 1
 +|duracion=2'39"
 +|sinopsis=Elena compró 7 pizzas para una fiesta a la que asistirán 16 personas. Cada pizza ha sido cortada en 12 porciones. Elena quiere que cada persona en la fiesta alcance a comer 4 porciones. ¿Cuántas rebanadas sobrarán después de que cada invitado coma sus 4 porciones?
 +|url1=http://www.youtube.com/watch?v=yvOfKBkCH3c
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Problema 2
 +|duracion=3'00"
 +|sinopsis=Lourdes inició un negocio de producción de cosméticos elaborados con ingredientes naturales. Ella desea promover sus productos distribuyendo bolsas con muestras en su vecindario. Ella ha calculado que le lleva 2 minutos preparar cada bolsa. ¿Cuántas horas le llevará preparar 1200 bolsas de muestras si le pide a 7 amigos que la ayuden?
 +|url1=http://www.youtube.com/watch?v=bH_J0yHkYHY
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Problema 3
 +|duracion=1'50"
 +|sinopsis=Tres amigos se han ido un sábado a comer. La comida les ha costado 48€, y cada uno deja un billete de 20€. Cuando les traigan la vuelta, ¿cuánto dinero debe coger cada uno?
 +|url1=http://youtu.be/N8HJS422ytM?list=PLwCiNw1sXMSDgU27vtnIUpQMGJPkVpJOm
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Problema 4
 +|duracion=4'09"
 +|sinopsis=Un vendedor de ropa ha comprado en una fábrica de camisetas 20 cajas, con 30 camisetas en cada caja. Cada camiseta le ha costado 6€. ¿A qué precio debe venderlas en su tienda para obtener unos beneficios de 1200€?
 +|url1=http://youtu.be/iCuYqLCM1V4?list=PLwCiNw1sXMSDgU27vtnIUpQMGJPkVpJOm
 +}}
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Problemas|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=Problemas verbales de multiplicación y división.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-multiply-divide/arith-review-multistep-word-problems/e/arithmetic_word_problems
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +|descripcion=Problemas verbales de varios pasos con números naturales.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-multiply-divide/arith-review-multistep-word-problems/e/multi-step-word-problems-with-whole-numbers
 +}}
 +{{AI_enlace
 +|titulo1=Autoevaluación 3
 +|descripcion=Problemas de autoevaluación sobre números naturales.
 +|url1=http://es.educaplay.com/es/recursoseducativos/1145104/numeros_naturales___6__.htm
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +===Patrones matemáticos===
 +{{Videotutoriales|titulo=Patrones matemáticos|enunciado=
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejemplo 1
 +|duracion=7'11"
 +|sinopsis=Buscando días de la semana: "Si el día 1 es hoy, y es Lunes, ¿Qué día de la semana será el día 300?"
 +|url1=http://www.youtube.com/watch?v=dGCFmBlMc38
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 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejemplo 2
 +|duracion=7'10"
 +|sinopsis=Número de palillos necesarios para construir casas contiguas.
 +|url1=http://www.youtube.com/watch?v=R-AAq98X2TE
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 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejemplo 3
 +|duracion=4'17"
 +|sinopsis=Número de comensales que pueden sentarse en mesas contiguas.
 +|url1=http://www.youtube.com/watch?v=ERFEfb6Nnvk
 +}}
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Patrones matemáticos
 +|descripcion=Problemas de patrones matemáticos.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-math-reasoning/pre-algebra-number-patterns/e/math-patterns
 +}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]

información
Si necesitas repasar de cursos anteriores:

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Introducción

(Pág. 12)

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Suma y resta de números naturales

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Suma

  • Sumar es unir, juntar, añadir.
  • La suma o adición de dos números naturales, a y b, da como resultado otro número natural, c. Se representa: a+b=c.
    • a y b reciben el nombre de sumandos.
    • El resultado, c, se denomina suma.

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Propiedades de la suma de números naturales

ejercicio

Propiedades de la suma

  • Operación interna: el resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
a, \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a + b \in \mathbb{N}
  • Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

a+b = b+a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

0 + a = a \,

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Resta

  • Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra, es decir, calcular la diferencia.
  • La resta o sustracción de dos números naturales, a y b, se representa: a-b=c
  • a es el minuendo, b el sustraendo y c la diferencia.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Sumas y restas

(Pág. 12)

4, 5

1, 2

(Pág. 13)

[editar]

Multiplicación o producto de números naturales

Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

  • Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
  • La multiplicación o producto de dos números naturales, a\; y b\;, se representa a \cdot b = c.
  • a\; y b\; se llaman factores y c se denomina producto.

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Propiedades de la multiplicación de números naturales

ejercicio

Propiedades de la multiplicación

  • Operación interna: El producto de dos números naturales es otro número natural:
a , \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{N}
  • Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

a \cdot b = b \cdot a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c

  • Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

1 \cdot a = a \,

ejercicio

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto

Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

[editar]

Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).

[editar]

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Multiplicación

(Pág. 13)

7, 10, 11

(Pág. 14-15)

[editar]

División o cociente números naturales

El siguiente video resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la división de números naturales y sus propiedades.

Sean D\; y d\; dos números naturales, con d \ne 0.

  • La división o cociente de D\; entre d\; consiste en ver cuantas veces está contenido d\; en D\;.
    • Se representa por D : d=c\;.
    • A D\; lo llamaremos dividendo, a d\; divisor y al resultado de la división, c\;, cociente.

  • Vamos a distinguir dos casos:
    • Si d\; está contenido en D\; un número "exacto" de veces (el cociente, c\;, es un número natural tal que D=d \cdot c\;), diremos que la división es exacta.
    • En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural r\;, menor que d\;, de manera que si dividimos D-r\; entre d\;, la división es exacta. A dicho número r\; lo llamaremos resto o residuo de la división.
20:4 = 5
Aumentar
20:4 = 5

ejercicio

Algoritmo de la división

Dados D\;\! y d\;\! , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, c\;\! y r\;\! , tales que:

D=d \cdot c + r

D\;\! es el dividendo, d\;\! el divisor, c\;\! el cociente y r\;\! el resto.

ejercicio

Ejercicio: División con naturales

Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?

[editar]

Cociente por defecto y por exceso

ejercicio

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso

Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?
b) ¿Cuántos taxis se necesitan?
c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

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Propiedades de la división de números naturales

ejercicio

Propiedades

  • No es una operación interna: La división de de números naturales no siempre es un número natural
  • La división no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.
  • Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.
  • Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

[editar]

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: División

(Pág. 15)

14, 16, 19

12, 15, 17, 18

(Pág. 16-17)

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Operaciones combinadas

ejercicio

Jerarquía de las operaciones

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las multiplicaciones y las divisiones.
  2. Las sumas y las restas.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Operaciones combinadas

(Pág. 17)

1a,b,c; 3a,c,e; 4a,c,e; 5, 6

1d,e,f,g,h; 3b,d,f,g,h; 4b,d,f,g,h
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Calculadora

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Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división

Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas Suma, Resta, Multiplicación y División.

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Paréntesis

Calculadora

Calculadora: Paréntesis

Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas Abre paréntesis yCierra paréntesis.

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Actividades

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Problemas

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Patrones matemáticos

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Operaciones_con_n%C3%BAmeros_naturales_%281%C2%BA_ESO%29"
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