Operaciones con números naturales (1º ESO)

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{{Menú Matemáticas 1ºESO {{Menú Matemáticas 1ºESO
|ir= |ampliar= |ir= |ampliar=
-|repasar=+|repasar=[http://es.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-add-subtract Suma y resta]<br>[http://es.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-multiply-divide Multiplicación y división]
|enlaces= |enlaces=
}} }}
__TOC__ __TOC__
{{p}} {{p}}
-(Pág. 12)+{{Info|texto=Si necesitas repasar de cursos anteriores:
-==Suma y resta de números naturales==+
-===Suma===+
-{{Caja Amarilla|texto=*'''Sumar''' es unir, juntar, añadir.+
-*La suma de dos números naturales, ''a'' y ''b'', se representa: ''a+b=c''+
-*''a'' y ''b'' reciben el nombre de '''sumandos''' y el resultado, ''c'', se denomina '''suma'''.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Videotutoriales|titulo=Suma de números naturales|enunciado=+
-{{Video_enlace_matefacil+
-|titulo1=Ejercicio 1+
-|duracion=4'05"+
-|sinopsis=Calcula: +
- +
-a) <math>51+27\;</math>+
- +
-b) <math>435+67\;</math>+
- +
-c) <math>542+1287+79\;</math>+
-d) <math>51+27\;</math>+:*[http://es.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-add-subtract Suma y resta de números naturales]
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Hgm5QqTeQSw&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_&index=7+:*[http://es.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-multiply-divide Multiplicación y división de números naturales]
-}}+
-{{Video_enlace_matefacil+
-|titulo1=Ejercicio 2+
-|duracion=3'29"+
-|sinopsis=Calcula: <math>3081+56+310\;</math>+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=E2MsDCSkxZ4&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_+
-}}+
-{{Video_enlace_matefacil+
-|titulo1=Ejercicio 3+
-|duracion=4'03"+
-|sinopsis=Calcula: <math>12187+1722+301+45\;</math>+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=NxJg1DJnMlY&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_&index=2+
-}}+
-{{Video_enlace_matefacil+
-|titulo1=Ejercicio 4+
-|duracion=3'17"+
-|sinopsis=Calcula: <math>4310+216+1062+6+55\;</math>+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=qq9xy-Rn6QM&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_&index=3+
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI_anaya+==Introducción==
-|titulo1=Actividades: ''Cálculo mental con sumas''+{{AI_cidead
-|descripcion=Cálculo mental con sumas.+|titulo1=Para empezar
- +|descripcion=*Sabrías sumar de forma fácil y sin calculadora los 100 primeros números naturales?
-<center><iframe>+*El misterioso número 6174.
-url=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/03.htm+|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena1/1quincena1_presenta_1a.htm
-width=800+
-height=650+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/03.htm+
}} }}
{{p}} {{p}}
 +(Pág. 12)
-===Propiedades de la suma de números naturales===+==Suma y resta de números naturales==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la suma|enunciado=+{{Suma y resta de números naturales}}
-*'''Operación interna''': el resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.+
- +
-<center><math>a, \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a + b \in \mathbb{N}</math></center>+
- +
-*'''Propiedad conmutativa''': La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.+
{{p}} {{p}}
-<center><math>a+b = b+a\,</math> </center>+===Suma===
 +{{suma de naturales}}
{{p}} {{p}}
-*'''Propiedad asociativa''': El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos. 
-{{p}} 
-<center><math>(a + b ) + c = a + ( b + c )\,</math></center> 
-*'''Elemento neutro''': El elemento neutro para la suma es el 0.+===Propiedades de la suma de números naturales===
-{{p}}+{{Propiedades de la suma de números naturales}}
-<center><math>0 + a = a \,</math></center>+
- +
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=+
- +
-'''Conmutativa:'''+
-{{p}}+
-<center><math>8 + 6 = 6 + 8\,</math></center>+
-{{p}}+
-<center><math>14 = 14\,</math></center>+
-{{p}}+
-'''Asociativa:'''+
-{{p}}+
-<center><math>( 3 + 2 ) + 6 = 3 + ( 2 + 6 )\,</math></center>+
-{{p}}+
-<center><math>5 + 6 = 3 + 8\,</math></center>+
-{{p}}+
-<center><math>11 = 11\,</math></center>+
- +
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace_mywhyu+
-|titulo1=Propiedades asociativa y conmutativa de la suma+
-|duracion=8'21"+
-|sinopsis=A look behind the fundamental properties of the most basic arithmetic operation, addition.+
- +
-(Disponibles los subtítulos en inglés)+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=O4__F4iX6rc&index=5&list=PL7F6C8576EBEDD88F+
-}}+
-{{AI_vitutor+
-|titulo1=Autoevaluación: ''Propiedades de la suma de números naturales''+
-|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de la suma de números naturales.+
-|url1=http://www.vitutor.com/di/n/a_2e.html+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Resta=== ===Resta===
-{{Caja Amarilla|texto=*'''Restar''' es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra, es decir, calcular la diferencia.+{{Resta de naturales}}
-*La resta de dos números naturales, ''a'' y ''b'', se representa: ''a-b=c''+
-*''a'' es el '''minuendo''', ''b'' el '''sustraendo''' y ''c'' la '''diferencia'''.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Caja_gris|texto=+
-La resta de números naturales no cumple las propiedades de la suma: +
-*No es operación interna: <math>1-3 \notin \mathbb{N}</math>. 
-*No cumple la propiedad conmutativa: <math>5-2 \ne 2-5</math> 
-*Ni la asociativa: <math>4-(3-2) \ne (4-3)-2 
-</math>}} 
-{{p}} 
-{{Videotutoriales|titulo=Resta de números naturales|enunciado= 
-{{Video_enlace_matefacil 
-|titulo1=Ejercicio 1 
-|duracion=5'38" 
-|sinopsis=Calcula:  
- 
-a) <math>486-144\;</math> 
- 
-b) <math>4542-768\;</math> 
- 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=BWK6NLFQYzA&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_&index=12 
-}} 
-{{Video_enlace_matefacil 
-|titulo1=Ejercicio 2 
-|duracion=3'10" 
-|sinopsis=Calcula: <math>9282-3521\;</math> 
- 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Ecrh7fPNEiM&index=9&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_ 
-}} 
-{{Video_enlace_matefacil 
-|titulo1=Ejercicio 3 
-|duracion=4'25" 
-|sinopsis=Calcula: <math>12504-9377\;</math> 
- 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=_0K0AF20ztg&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_&index=10 
-}} 
-{{Video_enlace_matefacil 
-|titulo1=Ejercicio 4 
-|duracion=4'39" 
-|sinopsis=Calcula: <math>10000-9112\;</math> 
- 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=0tSnwVlDIBo&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_&index=11 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
-{{AI_cidead 
-|titulo1=Suma y resta de números naturales. Propiedades 
-|descripcion=Practica con las operaciones de suma y resta de números naturales y con sus propiedades. 
- 
-|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena1/1quincena1_contenidos_2a.htm 
-}} 
-{{AI_anaya 
-|titulo1=Actividades: ''Cálculo mental con restas'' 
-|descripcion=Cálculo mental con restas. 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/04.htm 
-width=800 
-height=650 
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-</iframe></center> 
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/04.htm 
-}} 
-{{AI_vitutor 
-|titulo1=Autoevaluación: ''Resta de números naturales'' 
-|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre la resta de números naturales. 
-|url1=http://www.vitutor.com/di/n/a_3e.html 
-}} 
{{p}} {{p}}
Línea 205: Línea 53:
==Multiplicación o producto de números naturales== ==Multiplicación o producto de números naturales==
-Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.+{{Multiplicacion de naturales}}
-{{p}}+
-{{Caja Amarilla|texto= *'''Multiplicar''' dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.+
-*Dados dos números naturales ''a'' y ''b'', su producto se representa <math>a \cdot b = c</math>.+
-*''a'' y ''b'' se llaman '''factores''' y ''c'' se denomina '''producto'''.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple+
-|titulo=Ejemplo+
-|contenido=Si un comerciante vende 5 equipos de sonido a 250 € cada uno, el dinero que ingresa es:<br>+
-:<math>250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 250 \cdot 5 = 1250</math> € +
-}}+
-{{p}}+
-{{Videotutoriales|titulo=Multiplicación de números naturales|enunciado=+
-{{Video_enlace_matefacil+
-|titulo1=Ejercicio 1+
-|duracion=5'00"+
-|sinopsis=Calcula: +
- +
-a) <math>457 \cdot 6\;</math>+
- +
-b) <math>5236 \cdot 25\;</math>+
- +
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=tcYNBefSXRM&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_&index=24+
-}}+
-{{Video_enlace_matefacil+
-|titulo1=Ejercicio 2+
-|duracion=2'16"+
-|sinopsis=Calcula: <math>5216 \cdot 4\;</math>+
- +
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=u7y8Mnn4Sic&index=17&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_+
-}}+
-{{Video_enlace_matefacil+
-|titulo1=Ejercicio 3+
-|duracion=2'51"+
-|sinopsis=Calcula: <math>16349 \cdot 8\;</math>+
- +
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=RTiAlKVT5Wo&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_&index=18+
-}}+
-{{Video_enlace_matefacil+
-|titulo1=Ejercicio 4+
-|duracion=5'29"+
-|sinopsis=Calcula: <math>3477 \cdot 27\;</math>+
- +
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=bjWBeLKuNMc&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_&index=19+
-}}+
-{{Video_enlace_matefacil+
-|titulo1=Ejercicio 5+
-|duracion=5'58"+
-|sinopsis=Calcula: <math>73914 \cdot 83\;</math>+
- +
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=BppOoUTpoe4&index=20&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_+
-}}+
-{{Video_enlace_matefacil+
-|titulo1=Ejercicio 6+
-|duracion=6'33"+
-|sinopsis=Calcula: <math>26715 \cdot 317\;</math>+
- +
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=ADtiPHucOKg&index=21&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_+
-}}+
-{{Video_enlace_matefacil+
-|titulo1=Ejercicio 7+
-|duracion=5'52"+
-|sinopsis=Calcula: <math>723190 \cdot 529\;</math>+
- +
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=DxhdUmAfoo4&index=22&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI_anaya+
-|titulo1=Actividades: ''Cálculo mental con multiplicaciones''+
-|descripcion=Cálculo mental con multiplicaciones.+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/05.htm+
-width=800+
-height=650+
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-</iframe></center>+
- +
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/05.htm+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Propiedades de la multiplicación de números naturales=== ===Propiedades de la multiplicación de números naturales===
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la multiplicación|enunciado=+{{Propiedades de la multiplicación de números naturales}}
-*'''Operación interna''': El producto de dos números naturales es otro número natural:+
- +
-<center><math>a , \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{N}</math> </center>+
- +
-*'''Propiedad conmutativa''': El producto no varía al cambiar el orden de los factores.+
-{{p}}+
-<center><math>a \cdot b = b \cdot a\,</math> </center>{{p}}+
-*'''Propiedad asociativa''': El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.+
-{{p}}+
-<center><math>(a + b ) + c = a + ( b + c )\,</math></center>+
-*'''Propiedad distributiva''': El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o rsta) de los productos del número por cada sumando.{{p}}+
-<center><math>a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c</math> </center>+
-{{p}}+
-*'''Elemento neutro''': El elemento neutro para la multiplicación es el 1.{{p}}+
-<center><math>1 \cdot a = a \,</math></center> +
- +
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=+
- +
-'''Conmutativa:'''+
-{{p}}+
-<center><math>8 \cdot 6 = 6 \cdot 8\,</math></center>+
-{{p}}+
-<center><math>48 = 48\,</math></center>+
-{{p}}+
-'''Asociativa:'''+
-{{p}}+
-<center><math>( 3 \cdot 2 ) \cdot 6 = 3 \cdot ( 2 \cdot 6 )\,</math></center>+
-{{p}}+
-<center><math>6 \cdot 6 = 3 \cdot 12\,</math></center>+
-{{p}}+
-<center><math>36 = 36\,</math></center>+
-{{p}}+
-'''Distributiva:'''+
-{{p}}+
-<center><math> 3 \cdot (2 + 6) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 6 \,</math></center>+
-{{p}}+
-<center><math>3 \cdot 8 = 6 + 18 \,</math></center>+
-{{p}}+
-<center><math>24 = 24\,</math></center>+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace_mywhyu+
-|titulo1=Propiedad conmutativa de la multiplicación+
-|duracion=6'23"+
-|sinopsis=The commutative property is common to the operations of both addition and multiplication and is an important property of many mathematical systems.+
- +
-(Disponibles los subtítulos en inglés)+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=rXXrzaDaETI&t=11s&index=6&list=PL7F6C8576EBEDD88F+
-}}+
-{{Video_enlace_mywhyu+
-|titulo1=Propiedades asociativa y distributiva de la multiplicación+
-|duracion=5'23"+
-|sinopsis=A look at the logic behind the associative and distributive properties of multiplication.+
- +
-(Disponibles los subtítulos en inglés)+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=CkVJ8xa63ow&t=1s&index=7&list=PL7F6C8576EBEDD88F+
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Propiedad distributiva del producto''+
-|enunciado=+
-Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?+
-|sol=+
-Podemos resolver el problema de dos formas:+
- +
-*'''Primera forma:'''+
- +
-::Alfredo-----> <math>15 \cdot 4 = 60</math>+
-::Teresa------> <math>15 \cdot 2 = 30</math>+
-::Total---------> <math>15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 = 60 + 30= 90\,</math> € +
- +
-*'''Segunda forma:'''+
- +
-::Alfredo y Teresa compran 4 + 2 entradas +
-::Luego en total gastan entre los dos: <math>15 \cdot (4 + 2 )= 15 \cdot 6 = 90</math> € +
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace_tutomate+
-|titulo1=Propiedad distributiva y extracción de factor común+
-|duracion=7'08"+
-|sinopsis=Ejemplos de uso de la propiedad distributiva y de cómo se saca factor común.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=ybM9xVjyK6Q&list=PLWRbPOo5oaTcIY1gMt5ILwioM6DTfpMk3&index=3+
-}}+
-{{AI_vitutor+
-|titulo1=Autoevaluación: ''Propiedades del producto de números naturales''+
-|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades del producto de números naturales.+
-|url1=http://www.vitutor.com/di/n/a_4e.html+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Producto por 10, 100, 1000, ....=== ===Producto por 10, 100, 1000, ....===
-{{Caja Amarilla|texto=Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).+{{Producto por 10, 100, 1000}}
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple+
-|titulo=Ejemplos+
-|contenido=+
-*<math>12 \cdot 10 = 120</math>+
-*<math>12 \cdot 100 = 1200</math>+
-*<math>12 \cdot 1000 = 12000</math>+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===
Línea 405: Línea 74:
(Pág. 14-15) (Pág. 14-15)
-==División de números naturales==+==División o cociente números naturales==
-{{Def division}}+{{División de naturales}}
-{{p}}+
-{{Algoritmo division}}+
-{{p}}+
-{{AI_anaya+
-|titulo1=Actividades: ''Cálculo mental con divisiones''+
-|descripcion=+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/06.htm+
-width=800+
-height=650+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/06.htm+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI_anaya+
-|titulo1=Actividades: ''La división entera''+
-|descripcion=Cálculo con divisiones.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/07.htm+
-width=800+
-height=650+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/07.htm+
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=División|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''Cociente y resto''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=Calcula:+
-:a) El cociente de dividir 123 entre 20.+
-:b) El resto de dividir 123 entre 20.+
-:c) Comprueba que se cumple el algoritmo de la división con los apartados anteriores.+
- +
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=Quotient[123,20]}}+
-:b) {{consulta|texto=Remainder[123,20]}}+
-:c) {{consulta|texto=123=20*Quotient[123,20]+Remainder[123,20]}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Videotutoriales|titulo=División de números naturales|enunciado=+
-{{Video_enlace_tutomate+
-|titulo1=División de números naturales+
-|duracion=7'08"+
-|sinopsis=División de números naturales. Algoritmo de la división. Ejemplos.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=CgHSfqj5XuU&list=PLWRbPOo5oaTcIY1gMt5ILwioM6DTfpMk3&index=4+
-}}+
-{{Video_enlace_paps+
-|titulo1=Dividir por una cifra+
-|duracion=10'45"+
-|sinopsis=Aprende a dividir por una cifra+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=_we1Ws8anZY+
-}}+
-{{Video_enlace_paps+
-|titulo1=Dividir por dos cifra+
-|duracion=8'09"+
-|sinopsis=Aprende a dividir por dos cifras+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=zCoALpWACsY+
-}}+
-{{Web_enlace+
-|descripcion=Videotutoriales para aprender a dividir por 1, 2 o 3 cifras.+
-|enlace=[http://julioprofe.net/courses/division-de-numeros-naturales/ División de números naturales]+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Cociente por defecto y por exceso=== ===Cociente por defecto y por exceso===
-{{Ejemplo+{{Cociente por defecto y por exceso}}
-|titulo=Ejemplo: ''Cociente por defecto y por exceso''+
-|enunciado=+
-Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas. +
-:a) ¿Cuántos taxis completarán?+
-:b) ¿Cuántos taxis se necesitan?+
-:c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?+
-{{p}}+
-|sol=+
-a) Completan 10 taxis y sobran 3 turistas. (<math>43= 10 \cdot 4 + 3</math>)<br>+
-b) Se necesitan 11 taxis, aunque en el último taxi quede un asiento libre.+
-c) El cociente por defecto sería 10 y el cociente por exceso sería 11.+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Propiedades de la división de números naturales=== ===Propiedades de la división de números naturales===
-{{Teorema||titulo=Propiedades|enunciado=+{{Propiedades de la división de números naturales}}
-*No es una operación interna: La división de de números naturales no siempre es un número natural+
-*La división no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.+
-*Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.+
-*Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.+
-|demo='''Veamos ejemplos que ilustren estas propiedades:+
-'''+
-*La división de números naturales no es una operación interna: <math>3:5 \notin \mathbb{N}+
-</math>+
-----+
-*La división de números naturales no cumple la propiedad conmutativa: <math>6:3 \ne 3:6</math>+
-*La división de números naturales no cumple la propiedad asociativa: <math>90:(6:3) \ne (90:6):3</math>+
-*La división de números naturales no cumple la propiedad distributiva: <math>12:(2+4) \ne (12:2)+(12:4)</math>+
-----+
-*Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.: <math>0:5=0\;</math>+
-----+
-Para la última propiedad veremos un ejemplo:+
- +
-Hagamos la división <math>360 : 50 \;</math>+
-{{p}}+
-<center><math>360 =50 \cdot 7 + 10 \;</math>{{b4}}{{b4}}(Cociente=7; Resto=10)</center>+
- +
-Ahora dividimos el dividendo y el divisor por 10:+
- +
-<center><math>360:10=36 \, ; \qquad 50:10=5 \;</math></center>+
- +
-y volvemos a hacer la división:+
- +
-<center><math>36 = 5 \cdot 7 + 1 \;</math>{{b4}}{{b4}}(Cociente=7; Resto=1)</center>+
-{{p}}+
-Es decir, el cociente no varía y el resto queda dividido por 10.+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI_cidead+
-|titulo1=Multiplicación y división de números naturales. Propiedades+
-|descripcion=Practica con las operaciones de multiplicación y división de números naturales y con sus propiedades.+
- +
-|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena1/1quincena1_contenidos_2b.htm+
-}}+
-{{AI_vitutor+
-|titulo1=Autoevaluación: ''La división de números naturales y sus propiedades''+
-|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre la división de números naturales y sus propiedades.+
-|url1=http://www.vitutor.com/di/n/a_5e.html+
-}}+
{{p}} {{p}}
Línea 562: Línea 99:
==Operaciones combinadas== ==Operaciones combinadas==
-{{Jerarquia operaciones naturales}}+{{Operaciones combinadas con naturales}}
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=+
-Efectúa las siguientes operaciones combinadas: <math>8+4 \cdot (5-2)</math>+
- +
-'''Solución:'''+
-# Los paréntesis <math>\rightarrow 8+4 \cdot (5-2)= 8 + 4 \cdot 3</math>+
-# Las multiplicaciones y divisiones <math>\rightarrow 8 + 4 \cdot 3 = 8 + 12</math>+
-# Las sumas y restas <math>\rightarrow 8 + 12 = 20</math>+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI_cidead+
-|titulo1=Jerarquía de las operaciones con números naturales+
-|descripcion=Practica las operaciones combinadas con números naturales y con su jerarquía.+
-|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena1/1quincena1_contenidos_2c.htm+
-}}+
-{{Video_enlace_tutomate+
-|titulo1=Operaciones combinadas con números naturales+
-|duracion=6'41"+
-|sinopsis=Uso de la prioridad en las operaciones combinadas de números naturales. Ejemplos.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=FxoldsjWzHs&list=PLWRbPOo5oaTcIY1gMt5ILwioM6DTfpMk3&index=2+
-}}+
- +
-{{wolfram desplegable|titulo=Operaciones combinadas|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''Operaciones combinadas''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=Calcula:+
-:a) <math>12+3 \cdot 2-(5-3)</math>+
- +
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=12+3·2-(5-3)}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
- +
-{{p}}+
-===Autoevaluación===+
-{{AI_cidead+
-|titulo1=Autoevaluación: ''Operaciones combinadas con números naturales''+
-|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones combinadas.+
- +
-|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena1/1quincena1_ejercicios_1c.htm+
-}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás practicar la suma y resta con 4 números naturales, con o sin paréntesis.+
-|enlace=[https://ggbm.at/vfRuSwS8 Autoevaluación: Suma y resta de números naturales (4 números)]+
-}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás practicar operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis, con 3 números naturales.+
-|enlace=[https://ggbm.at/nCP9ZBT7 Autoevaluación: Operaciones combinadas con números naturales (3 números)]+
-}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás practicar operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis, con 4 números naturales.+
-|enlace=[https://ggbm.at/Fch5YJXk Autoevaluación: Operaciones combinadas con números naturales (4 números)]+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===
{{ejercicio {{ejercicio
-|titulo=Ejercicios propuestos: ''División''+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Operaciones combinadas''
|cuerpo= |cuerpo=
{{ejercicio_cuerpo {{ejercicio_cuerpo
Línea 651: Línea 126:
{{Casio FX-100MS: Paréntesis}} {{Casio FX-100MS: Paréntesis}}
 +==Actividades==
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 +|titulo1=Multiplicación y división de números naturales. Propiedades
 +|descripcion=Practica con las operaciones de multiplicación y división de números naturales y con sus propiedades.
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 +|titulo1=Problema 1
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 +|sinopsis=Elena compró 7 pizzas para una fiesta a la que asistirán 16 personas. Cada pizza ha sido cortada en 12 porciones. Elena quiere que cada persona en la fiesta alcance a comer 4 porciones. ¿Cuántas rebanadas sobrarán después de que cada invitado coma sus 4 porciones?
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 +|duracion=3'00"
 +|sinopsis=Lourdes inició un negocio de producción de cosméticos elaborados con ingredientes naturales. Ella desea promover sus productos distribuyendo bolsas con muestras en su vecindario. Ella ha calculado que le lleva 2 minutos preparar cada bolsa. ¿Cuántas horas le llevará preparar 1200 bolsas de muestras si le pide a 7 amigos que la ayuden?
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 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Problema 3
 +|duracion=1'50"
 +|sinopsis=Tres amigos se han ido un sábado a comer. La comida les ha costado 48€, y cada uno deja un billete de 20€. Cuando les traigan la vuelta, ¿cuánto dinero debe coger cada uno?
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 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Problema 4
 +|duracion=4'09"
 +|sinopsis=Un vendedor de ropa ha comprado en una fábrica de camisetas 20 cajas, con 30 camisetas en cada caja. Cada camiseta le ha costado 6€. ¿A qué precio debe venderlas en su tienda para obtener unos beneficios de 1200€?
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 +{{Actividades|titulo=Problemas|enunciado=
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 +{{AI_Khan
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 +|descripcion=Problemas verbales de varios pasos con números naturales.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-multiply-divide/arith-review-multistep-word-problems/e/multi-step-word-problems-with-whole-numbers
 +}}
 +{{AI_enlace
 +|titulo1=Autoevaluación 3
 +|descripcion=Problemas de autoevaluación sobre números naturales.
 +|url1=http://es.educaplay.com/es/recursoseducativos/1145104/numeros_naturales___6__.htm
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +===Patrones matemáticos===
 +{{Videotutoriales|titulo=Patrones matemáticos|enunciado=
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejemplo 1
 +|duracion=7'11"
 +|sinopsis=Buscando días de la semana: "Si el día 1 es hoy, y es Lunes, ¿Qué día de la semana será el día 300?"
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 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejemplo 2
 +|duracion=7'10"
 +|sinopsis=Número de palillos necesarios para construir casas contiguas.
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 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejemplo 3
 +|duracion=4'17"
 +|sinopsis=Número de comensales que pueden sentarse en mesas contiguas.
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 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Patrones matemáticos
 +|descripcion=Problemas de patrones matemáticos.
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 +}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

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Tabla de contenidos

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Introducción

(Pág. 12)

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Suma y resta de números naturales

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Suma

  • Sumar es unir, juntar, añadir.
  • La suma o adición de dos números naturales, a y b, da como resultado otro número natural, c. Se representa: a+b=c.
    • a y b reciben el nombre de sumandos.
    • El resultado, c, se denomina suma.

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Propiedades de la suma de números naturales

ejercicio

Propiedades de la suma

  • Operación interna: el resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
a, \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a + b \in \mathbb{N}
  • Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

a+b = b+a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

0 + a = a \,

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Resta

  • Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra, es decir, calcular la diferencia.
  • La resta o sustracción de dos números naturales, a y b, se representa: a-b=c
  • a es el minuendo, b el sustraendo y c la diferencia.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Sumas y restas

(Pág. 12)

4, 5

1, 2

(Pág. 13)

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Multiplicación o producto de números naturales

Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

  • Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
  • La multiplicación o producto de dos números naturales, a\; y b\;, se representa a \cdot b = c.
  • a\; y b\; se llaman factores y c se denomina producto.

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Propiedades de la multiplicación de números naturales

ejercicio

Propiedades de la multiplicación

  • Operación interna: El producto de dos números naturales es otro número natural:
a , \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{N}
  • Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

a \cdot b = b \cdot a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c

  • Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

1 \cdot a = a \,

ejercicio

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto

Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

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Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Multiplicación

(Pág. 13)

7, 10, 11

(Pág. 14-15)

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División o cociente números naturales

El siguiente video resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la división de números naturales y sus propiedades.

Sean D\; y d\; dos números naturales, con d \ne 0.

  • La división o cociente de D\; entre d\; consiste en ver cuantas veces está contenido d\; en D\;.
    • Se representa por D : d=c\;.
    • A D\; lo llamaremos dividendo, a d\; divisor y al resultado de la división, c\;, cociente.

  • Vamos a distinguir dos casos:
    • Si d\; está contenido en D\; un número "exacto" de veces (el cociente, c\;, es un número natural tal que D=d \cdot c\;), diremos que la división es exacta.
    • En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural r\;, menor que d\;, de manera que si dividimos D-r\; entre d\;, la división es exacta. A dicho número r\; lo llamaremos resto o residuo de la división.
20:4 = 5
Aumentar
20:4 = 5

ejercicio

Algoritmo de la división

Dados D\;\! y d\;\! , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, c\;\! y r\;\! , tales que:

D=d \cdot c + r

D\;\! es el dividendo, d\;\! el divisor, c\;\! el cociente y r\;\! el resto.

ejercicio

Ejercicio: División con naturales

Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?

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Cociente por defecto y por exceso

ejercicio

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso

Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?
b) ¿Cuántos taxis se necesitan?
c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

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Propiedades de la división de números naturales

ejercicio

Propiedades

  • No es una operación interna: La división de de números naturales no siempre es un número natural
  • La división no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.
  • Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.
  • Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: División

(Pág. 15)

14, 16, 19

12, 15, 17, 18

(Pág. 16-17)

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Operaciones combinadas

ejercicio

Jerarquía de las operaciones

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las multiplicaciones y las divisiones.
  2. Las sumas y las restas.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Operaciones combinadas

(Pág. 17)

1a,b,c; 3a,c,e; 4a,c,e; 5, 6

1d,e,f,g,h; 3b,d,f,g,h; 4b,d,f,g,h
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Calculadora

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Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división

Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas Suma, Resta, Multiplicación y División.

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Paréntesis

Calculadora

Calculadora: Paréntesis

Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas Abre paréntesis yCierra paréntesis.

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Actividades

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Problemas

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Patrones matemáticos

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Operaciones_con_n%C3%BAmeros_naturales_%281%C2%BA_ESO%29"
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