Operaciones con números naturales (1º ESO)

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 +|sinopsis=Elena compró 7 pizzas para una fiesta a la que asistirán 16 personas. Cada pizza ha sido cortada en 12 porciones. Elena quiere que cada persona en la fiesta alcance a comer 4 porciones. ¿Cuántas rebanadas sobrarán después de que cada invitado coma sus 4 porciones?
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 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Problema 2
 +|duracion=3'00"
 +|sinopsis=Lourdes inició un negocio de producción de cosméticos elaborados con ingredientes naturales. Ella desea promover sus productos distribuyendo bolsas con muestras en su vecindario. Ella ha calculado que le lleva 2 minutos preparar cada bolsa. ¿Cuántas horas le llevará preparar 1200 bolsas de muestras si le pide a 7 amigos que la ayuden?
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 +{{Video_enlace_pildoras
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 +|duracion=1'50"
 +|sinopsis=Tres amigos se han ido un sábado a comer. La comida les ha costado 48€, y cada uno deja un billete de 20€. Cuando les traigan la vuelta, ¿cuánto dinero debe coger cada uno?
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 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Problema 4
 +|duracion=4'09"
 +|sinopsis=Un vendedor de ropa ha comprado en una fábrica de camisetas 20 cajas, con 30 camisetas en cada caja. Cada camiseta le ha costado 6€. ¿A qué precio debe venderlas en su tienda para obtener unos beneficios de 1200€?
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 +|descripcion=Problemas verbales de varios pasos con números naturales.
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 +|titulo1=Autoevaluación 3
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 +|sinopsis=Buscando días de la semana: "Si el día 1 es hoy, y es Lunes, ¿Qué día de la semana será el día 300?"
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 +|titulo1=Ejemplo 2
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 +|sinopsis=Número de palillos necesarios para construir casas contiguas.
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 +|titulo1=Ejemplo 3
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 +|sinopsis=Número de comensales que pueden sentarse en mesas contiguas.
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 +[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

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información
Si necesitas repasar de cursos anteriores:

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Introducción

(Pág. 12)

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Suma y resta de números naturales

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Suma

  • Sumar es unir, juntar, añadir.
  • La suma o adición de dos números naturales, a y b, da como resultado otro número natural, c. Se representa: a+b=c.
    • a y b reciben el nombre de sumandos.
    • El resultado, c, se denomina suma.

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Propiedades de la suma de números naturales

ejercicio

Propiedades de la suma

  • Operación interna: el resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
a, \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a + b \in \mathbb{N}
  • Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

a+b = b+a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

0 + a = a \,

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Resta

  • Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra, es decir, calcular la diferencia.
  • La resta o sustracción de dos números naturales, a y b, se representa: a-b=c
  • a es el minuendo, b el sustraendo y c la diferencia.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Sumas y restas

(Pág. 12)

4, 5

1, 2

(Pág. 13)

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Multiplicación o producto de números naturales

Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

  • Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
  • La multiplicación o producto de dos números naturales, a\; y b\;, se representa a \cdot b = c.
  • a\; y b\; se llaman factores y c se denomina producto.

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Propiedades de la multiplicación de números naturales

ejercicio

Propiedades de la multiplicación

  • Operación interna: El producto de dos números naturales es otro número natural:
a , \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{N}
  • Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

a \cdot b = b \cdot a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c

  • Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

1 \cdot a = a \,

ejercicio

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto

Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

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Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Multiplicación

(Pág. 13)

7, 10, 11

(Pág. 14-15)

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División o cociente números naturales

El siguiente video resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la división de números naturales y sus propiedades.

Sean D\; y d\; dos números naturales, con d \ne 0.

  • La división o cociente de D\; entre d\; consiste en ver cuantas veces está contenido d\; en D\;.
    • Se representa por D : d=c\;.
    • A D\; lo llamaremos dividendo, a d\; divisor y al resultado de la división, c\;, cociente.

  • Vamos a distinguir dos casos:
    • Si d\; está contenido en D\; un número "exacto" de veces (el cociente, c\;, es un número natural tal que D=d \cdot c\;), diremos que la división es exacta.
    • En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural r\;, menor que d\;, de manera que si dividimos D-r\; entre d\;, la división es exacta. A dicho número r\; lo llamaremos resto o residuo de la división.
20:4 = 5
Aumentar
20:4 = 5

ejercicio

Algoritmo de la división

Dados D\;\! y d\;\! , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, c\;\! y r\;\! , tales que:

D=d \cdot c + r

D\;\! es el dividendo, d\;\! el divisor, c\;\! el cociente y r\;\! el resto.

ejercicio

Ejercicio: División con naturales

Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?

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Cociente por defecto y por exceso

ejercicio

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso

Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?
b) ¿Cuántos taxis se necesitan?
c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

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Propiedades de la división de números naturales

ejercicio

Propiedades

  • No es una operación interna: La división de de números naturales no siempre es un número natural
  • La división no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.
  • Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.
  • Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: División

(Pág. 15)

14, 16, 19

12, 15, 17, 18

(Pág. 16-17)

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Operaciones combinadas

ejercicio

Jerarquía de las operaciones

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las multiplicaciones y las divisiones.
  2. Las sumas y las restas.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Operaciones combinadas

(Pág. 17)

1a,b,c; 3a,c,e; 4a,c,e; 5, 6

1d,e,f,g,h; 3b,d,f,g,h; 4b,d,f,g,h
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Calculadora

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Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división

Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas Suma, Resta, Multiplicación y División.

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Paréntesis

Calculadora

Calculadora: Paréntesis

Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas Abre paréntesis yCierra paréntesis.

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Actividades

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Problemas

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Patrones matemáticos

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