Plantilla:Radicales (nivel básico)
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| |duracion=3´14" | |duracion=3´14" | ||
| |sinopsis=Radicales: homogéneos y semejantes. Ejemplos. | |sinopsis=Radicales: homogéneos y semejantes. Ejemplos. | ||
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| + | |||
| ==Radicales equivalentes== | ==Radicales equivalentes== | ||
| - | {{Caja_Amarilla|texto=Dos o más radicales son '''equivalentes''' si los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes.}} | + | {{Caja_Amarilla|texto=Dos o más radicales son '''equivalentes''' si se pueden poner como potencias de exponente fraccionario con la misma base y cuyos exponentes sean fracciones equivalentes.}} |
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| - | {{AI_descartes|titulo1=Radicales equivalentes. Amplificación y simplificación | + | {{Actividades|titulo=Radicales equivalentes|enunciado= |
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| |descripcion=Actividades en las que podrás aprender lo que son radicales equivalentes y cómo obtener radicales equivalentes con un índice superior (amplificación) o inferior (simplificación) | |descripcion=Actividades en las que podrás aprender lo que son radicales equivalentes y cómo obtener radicales equivalentes con un índice superior (amplificación) o inferior (simplificación) | ||
| |url1=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales5.htm | |url1=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales5.htm | ||
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| + | {{AI_vitutor | ||
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| Línea 34: | Línea 42: | ||
| |sinopsis=Reducción de radicales a índice común. Ejemplos. | |sinopsis=Reducción de radicales a índice común. Ejemplos. | ||
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| + | |titulo1=Autoevaluación: ''Reducción de radicales a índice común'' | ||
| + | |descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre reducción de radicales a índice común. | ||
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| Línea 43: | Línea 56: | ||
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| |sinopsis=Ordenación de radicales. Ejemplos. | |sinopsis=Ordenación de radicales. Ejemplos. | ||
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| Línea 89: | Línea 102: | ||
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| |sinopsis=Tutorial que explica las propiedades básicas de los radicales, con ejemplos resueltos. | |sinopsis=Tutorial que explica las propiedades básicas de los radicales, con ejemplos resueltos. | ||
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| Línea 101: | Línea 120: | ||
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| Línea 107: | Línea 126: | ||
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| + | ---- | ||
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| + | |duracion=6'28" | ||
| + | |sinopsis=Ejemplos sencillos de aplicación de las propiedades de las operaciones con radicales. | ||
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| ---- | ---- | ||
| Línea 114: | Línea 140: | ||
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| |sinopsis=Simplifica: <math>(3\sqrt {xy}) \cdot (-2\sqrt {x^2y}) \cdot (-3\sqrt {xy^4})</math> | |sinopsis=Simplifica: <math>(3\sqrt {xy}) \cdot (-2\sqrt {x^2y}) \cdot (-3\sqrt {xy^4})</math> | ||
| - | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=0Ri6V4wGWEE&list=PL9B9AC3136D2D4C45&index=85 | + | |url1=http://www.youtube.com/watch?v=0Ri6V4wGWEE&list=PL9B9AC3136D2D4C45&index=85 |
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| {{Video_enlace_julioprofe | {{Video_enlace_julioprofe | ||
| Línea 120: | Línea 146: | ||
| |duracion=2'43" | |duracion=2'43" | ||
| |sinopsis=Simplifica: <math>(-8\sqrt[3] {x^{10}y^2}) : (-4\sqrt[3] {xy^{11}})</math> | |sinopsis=Simplifica: <math>(-8\sqrt[3] {x^{10}y^2}) : (-4\sqrt[3] {xy^{11}})</math> | ||
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| {{Video_enlace_julioprofe | {{Video_enlace_julioprofe | ||
| Línea 127: | Línea 153: | ||
| |sinopsis=Calcula: <math>\sqrt[4]{\cfrac{81}{16}}</math> | |sinopsis=Calcula: <math>\sqrt[4]{\cfrac{81}{16}}</math> | ||
| - | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=PaT2DdRhkMo | + | |url1=http://www.youtube.com/watch?v=PaT2DdRhkMo |
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| Línea 137: | Línea 163: | ||
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| }} | }} | ||
| Línea 147: | Línea 173: | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| {{Ejemplo | {{Ejemplo | ||
| - | |titulo=Ejemplo: ''Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando'' | + | |titulo=Ejemplo: ''Suma y resta de radicales semejantes'' |
| |enunciado= | |enunciado= | ||
| Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales: | Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales: | ||
| Línea 164: | Línea 190: | ||
| }} | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| + | ===Actividades=== | ||
| + | En los siguientes videotutoriales vamos a repasar las operaciones con radicales vistas hasta ahora, antes de pasar a ver otros casos de mayor dificultad. | ||
| + | {{p}} | ||
| + | {{Videotutoriales|titulo=Operaciones básicas con radicales|enunciado= | ||
| + | {{Video_enlace_escuela | ||
| + | |titulo1=Tutorial | ||
| + | |duracion=17'15" | ||
| + | |sinopsis=*Definición de radical y de radicales semejantes. | ||
| + | *Suma de radicales semejantes. | ||
| + | *Radicales opuestos. | ||
| + | *Resta de radicales semejantes. | ||
| + | *Producto de radicales del mismo índice. | ||
| + | *División de radicales del mismo índice. | ||
| + | *Potencia de un radical. | ||
| + | *Raíz de un radical. | ||
| + | |||
| + | |url1=http://www.youtube.com/watch?v=Z9xLQJq4iaU&list=PLw7Z_p6_h3ozxW7jq_j3xSPsocWGGn25o | ||
| + | }} | ||
| + | ---- | ||
| + | {{Video_enlace_escuela | ||
| + | |titulo1=Ejercicio 1a | ||
| + | |duracion=31'06" | ||
| + | |sinopsis= | ||
| + | 1) Radicales semejantes: | ||
| + | |||
| + | :1a) Escribe tres radicales semejantes y tres que no lo sean. | ||
| + | :1b) Escribe dos radicales semejantes opuestos. | ||
| + | |||
| + | 2) Calcula: | ||
| + | |||
| + | :2a) <math>30 \sqrt{10}+7 \sqrt{10}-3 \sqrt{10}\;</math> | ||
| + | :2b) <math>-2 \sqrt{5}-3 \sqrt{5}+ \sqrt{2}\;</math> | ||
| + | :2c) <math>\sqrt{20}+3 \sqrt{2}-\sqrt{2}\;</math> | ||
| + | :2d) <math>-3 \sqrt[3]{11}+\sqrt[3]{11}-8 \sqrt[3]{11}\;</math> | ||
| + | :2e) <math>-8 \sqrt[3]{11}+4 \sqrt[3]{11}-2 \sqrt[3]{11}\;</math> | ||
| + | :2f) <math>\sqrt[3]{-5}-5 \sqrt[3]{-5}+2 \sqrt[3]{-5}\;</math> | ||
| + | :2g) <math>6 \sqrt[8]{3}+12 \sqrt[8]{3}-4 \sqrt[8]{3}\;</math> | ||
| + | :2h) <math>5 \sqrt[11]{-8}+9 \sqrt[11]{-8}- \sqrt[11]{-8}\;</math> | ||
| + | :2i) <math>-\sqrt[5]{3}- \sqrt[5]{3}-4 \sqrt[5]{3}\;</math> | ||
| + | |||
| + | 3) Halla el opuesto de los siguiente radicales y después suma cada radical con su opuesto: | ||
| + | |||
| + | :3a) <math>\sqrt{6}\;</math> | ||
| + | :3b) <math>7 \sqrt{4}\;</math> | ||
| + | :3c) <math>-5\sqrt[3]{2}\;</math> | ||
| + | :3d) <math>-8\sqrt[3]{-3}\;</math> | ||
| + | :3e) <math>14\sqrt[3]{5}\;</math> | ||
| + | :3f) <math>-5\sqrt[4]{7}\;</math> | ||
| + | |||
| + | 4) Calcula: | ||
| + | |||
| + | :4a) <math>\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \;</math> | ||
| + | :4b) <math>\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \;</math> | ||
| + | :4c) <math>\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \;</math> | ||
| + | :4d) <math>\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \;</math> | ||
| + | :4e) <math>\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \;</math> | ||
| + | :4f) <math>\sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \;</math> | ||
| + | :4g) <math>\sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2}\;</math> | ||
| + | :4h) <math>\sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \;</math> | ||
| + | :4i) <math>\sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \;</math> | ||
| + | :4j) <math>\sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2}\;</math> | ||
| + | |||
| + | 5) Calcula: | ||
| + | |||
| + | :5a) <math>2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \;</math> | ||
| + | :5b) <math>3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{6} \;</math> | ||
| + | :5c) <math>3\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{2} \;</math> | ||
| + | :5d) <math>-2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} \;</math> | ||
| + | :5e) <math>8\sqrt{7} \cdot (-2)\sqrt{7} \;</math> | ||
| + | :5f) <math>3\sqrt{3} \cdot (-7\sqrt{6}) \cdot 4\sqrt{6} \;</math> | ||
| + | :5g) <math>-5\sqrt{12} \cdot (-\sqrt{12}) \cdot 4\sqrt{12} \;</math> | ||
| + | :5h) <math>3\sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3}) \cdot (-4)\sqrt{3} \;</math> | ||
| + | :5h) <math>-3\sqrt{5} \cdot (-7\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} \;</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |url1=http://www.youtube.com/watch?v=m5gfQaggOug&list=PLw7Z_p6_h3ozxW7jq_j3xSPsocWGGn25o&index=2 | ||
| + | }} | ||
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| + | |titulo1=Ejercicio 1b | ||
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| + | 5) Calcula: | ||
| + | |||
| + | :5i) <math>2\sqrt[3]{3} \cdot 3\sqrt[3]{3} \;</math> ; {{b4}} 5j) <math>3\sqrt[3]{5} \cdot 2\sqrt[3]{5} \;</math> ; {{b4}} 5k) <math>3\sqrt[3]{6} \cdot 5\sqrt[3]{6} \;</math> | ||
| + | :5l) <math>-2\sqrt[3]{3} \cdot 5\sqrt[3]{3} \;</math> ; {{b4}} 5m) <math>8\sqrt[3]{-7} \cdot \sqrt[3]{-2} \cdot \sqrt[3]{-7} \;</math> ; {{b4}} 5n) <math>3\sqrt[3]{3} \cdot (-7\sqrt[3]{3}) \cdot 4\sqrt[3]{3} \;</math> | ||
| + | :5o) <math>-5\sqrt[3]{12} \cdot (-\sqrt[3]{12}) \cdot 4\sqrt[3]{12} \;</math> ; {{b4}} 5p) <math>3\sqrt[3]{3} \cdot (-3\sqrt[3]{3}) \cdot (-4\sqrt[3]{3}) \;</math> ; {{b4}} 5q) <math>-3\sqrt[3]{5} \cdot (-7\sqrt[3]{5}) \cdot \sqrt[3]{5} \;</math> | ||
| + | |||
| + | 6) Calcula: | ||
| + | |||
| + | :6a) <math>\sqrt{14} : \sqrt{7} \;</math> ; {{b4}} 6b) <math>8\sqrt{30} : (-2\sqrt{3}) \;</math> ; {{b4}} 6c) <math>-10\sqrt{15} : 5\sqrt{5} \;</math> | ||
| + | |||
| + | :6d) <math>6\sqrt{12} : (-\sqrt{2}) \;</math> ; {{b4}} 6e) <math>20\sqrt{7} : 10\sqrt{7} \;</math> ; {{b4}} 6f) <math>\sqrt[3]{14} : \sqrt[3]{7} \;</math> | ||
| + | |||
| + | :6g) <math>9\sqrt[3]{14} : (-\sqrt[3]{-7}) \;</math> ; {{b4}} 6h) <math>-10\sqrt[3]{15} : 5\sqrt[3]{5} \;</math> ; {{b4}} 6i) <math>12\sqrt[3]{18} : (-6\sqrt[3]{-9}) \;</math> | ||
| + | |||
| + | :6j) <math>-30\sqrt[3]{14} : 6\sqrt[3]{7} \;</math> ; {{b4}} 6k) <math>\sqrt[4]{14} : \sqrt[4]{7} \;</math> ; {{b4}} 6l) <math>9\sqrt[4]{14} : (-\sqrt[4]{7}) \;</math> | ||
| + | |||
| + | :6m) <math>-10\sqrt[4]{15} : 5\sqrt[4]{5} \;</math> ; {{b4}} 6n) <math>12\sqrt[4]{18} : (-6\sqrt[4]{9}) \;</math> ; {{b4}} 6o) <math>-30\sqrt[4]{14} : 6\sqrt[4]{7}) \;</math> | ||
| + | |||
| + | :6p) <math>\sqrt[5]{14} : \sqrt[5]{7} \;</math> ; {{b4}} 6q) <math>9\sqrt[5]{14} : (-\sqrt[5]{7}) \;</math> ; {{b4}} 6r) <math>-10\sqrt[5]{15} : 5\sqrt[5]{5}) \;</math> | ||
| + | |||
| + | 7) Calcula: | ||
| + | |||
| + | :a) <math>(\sqrt{7})^2\;</math> ; {{b4}} b) <math>(\sqrt[3]{7})^3\;</math> ; {{b4}} c) <math>(\sqrt[4]{7})^4\;</math> ; {{b4}} d) <math>(\sqrt{5})^2\;</math> ; {{b4}} e) <math>(\sqrt[3]{5})^3\;</math> | ||
| + | |||
| + | :f) <math>(\sqrt[4]{21})^4\;</math> ; {{b4}} g) <math>(\sqrt{25})^2\;</math> ; {{b4}} h) <math>(\sqrt[3]{-25})^3\;</math> ; {{b4}} i) <math>(\sqrt[4]{100})^4\;</math> ; {{b4}} j) <math>(\sqrt{18})^2\;</math> | ||
| + | |||
| + | :k) <math>(\sqrt[3]{-100})^3\;</math> ; {{b4}} l) <math>(\sqrt[5]{16})^5\;</math> ; {{b4}} m) <math>(\sqrt{100})^2\;</math> ; {{b4}} n) <math>(\sqrt[3]{18})^3\;</math> ; {{b4}} o) <math>(\sqrt[6]{12})^6\;</math> | ||
| + | |||
| + | 8) Calcula: | ||
| + | |||
| + | :a) <math>\sqrt{\sqrt{2}}\;</math> ; {{b4}} b) <math>\sqrt{\sqrt{3}}\;</math> ; {{b4}} c) <math>\sqrt{\sqrt{7}}\;</math> ; {{b4}} d) <math>\sqrt[3]{\sqrt{2}}\;</math> | ||
| + | |||
| + | :e) <math>\sqrt[3]{\sqrt[3]{25}}\;</math> ; {{b4}} f) <math>\sqrt{\sqrt[3]{64}}\;</math> ; {{b4}} g) <math>\sqrt[4]{\sqrt[3]{2}}\;</math> ; {{b4}} h) <math>\sqrt[3]{\sqrt{128}}\;</math> | ||
| + | |||
| + | |||
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| + | |||
| + | |url1=http://www.youtube.com/watch?v=x69WNJj8HWg&list=PLw7Z_p6_h3ozxW7jq_j3xSPsocWGGn25o&index=3 | ||
| + | }} | ||
| + | }} | ||
Revisión actual
Tabla de contenidos[esconder] |
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Radical
- Un radical es cualquier expresión del tipo:
![k \cdot \sqrt[n]{a}~,~k \in \mathbb{R}](/wikipedia/images/math/c/2/6/c26445b313b501056047ed7787606a37.png)
- Si dos radicales tienen el mismo índice diremos que son homogéneos.
- Si dos radicales tienen el mismo índice y el mismo radicando diremos que son semejantes.
![3\sqrt[3]{2} \ , \ -\sqrt[3]{2} \ , \ \cfrac{2}{3}\sqrt[3]{2}](/wikipedia/images/math/1/1/c/11ca38664b260e771d7b6b60dd01d52b.png)
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Radicales equivalentes
Dos o más radicales son equivalentes si se pueden poner como potencias de exponente fraccionario con la misma base y cuyos exponentes sean fracciones equivalentes.
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Reducción de radicales a índice común
La amplificación y simplificación de radicales nos va a permitir reducir radicales a índice común realizando el mínimo común múltiplo de los índice al igual que para reducir fracciones a común denominador se hacía el m.c.m. de los denominadores. No olvidemos que índice y denominador del exponente es lo mismo.
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Ordenación de radicales
La reducción de radicales a índice común nos va a permitir ordenar cómodamente varios radicales:
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Operaciones con radicales
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Propiedades de las operaciones con radicales
Propiedades de las operaciones con radicales
1. ![\sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}](/wikipedia/images/math/1/9/0/19055926ec943d41884a4e4efb9e3958.png)
2. ![\left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}](/wikipedia/images/math/0/8/f/08f48fff6b28e5860652ad48624e9b54.png)
3. ![\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}](/wikipedia/images/math/8/8/2/882098878748f7e317a403bacf091e37.png)
4. ![\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}](/wikipedia/images/math/7/3/d/73d577cd0a118df1dda404e72e4a922d.png)
5. ![\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}](/wikipedia/images/math/4/8/d/48d4191b86a6079638a33f860884bd8e.png)
![\sqrt[12]{x^9}](/wikipedia/images/math/9/4/2/942b2336ccb4cf42b2cbd07ed9c75ede.png)
, b) ![\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6](/wikipedia/images/math/9/a/1/9a1db4aea08869857d67618e54707551.png)
, c) ![\sqrt{\sqrt[3]{a}}](/wikipedia/images/math/4/7/3/473cf1ea29276b3cfe84680bf3548a10.png)
, d) ![\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}](/wikipedia/images/math/6/d/2/6d24beca08bdb942089cf6ad8b4c7d1c.png)
, e) 
![\sqrt[12]{x^9}=\sqrt[4 \cdot 3]{x^{3 \cdot 3}}=\sqrt[4]{x^{3}}](/wikipedia/images/math/d/1/9/d190b659acadff5f242846e5d6014e10.png)
, usando la propiedad nº 1.
![\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6=\sqrt[3]{a^{12}}=a^{\frac{12}{3}}=a^4](/wikipedia/images/math/9/4/b/94b477fe13f98eac4d76261cf2c34d2c.png)
, usando la propiedad nº 2 y transformando el radical en potencia de exponente fraccionario.
![\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[2 \cdot 3]{a}=\sqrt[6]{a}](/wikipedia/images/math/9/4/a/94ad123ac81d4cf1d017be5a726de942.png)
, usando la propiedad nº 3.
![\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}= \sqrt[3]{3 \cdot 9} =\sqrt[3]{27}=3](/wikipedia/images/math/b/7/b/b7b21e3525e1caa80c30fe91bbb85c77.png)
, usando la propiedad nº 4.
, usando la propiedad nº 5.
![(-8\sqrt[3] {x^{10}y^2}) : (-4\sqrt[3] {xy^{11}})](/wikipedia/images/math/2/1/b/21b675f2e891ca1cd137acdf888cbcde.png)
![\sqrt[4]{\cfrac{81}{16}}](/wikipedia/images/math/9/e/d/9ed2bdc3b33dce510e788cce2d6938b7.png)
2) ![\sqrt[4]{\cfrac{1}{81}}](/wikipedia/images/math/a/5/4/a54618bf9ee77a830fab9a825f43fad0.png)
3) ![\sqrt[3]{\cfrac{-27~~}{125}}](/wikipedia/images/math/5/c/3/5c3b48c07709122b11aadf157c159924.png)
4) ![\sqrt[5]{\cfrac{-32~~}{243}}](/wikipedia/images/math/7/5/8/758e101bb00fde536dd8dc589f2eab1d.png)
[editar]
Suma y resta de radicales semejantes
Para sumar y restar radicales, éstos deben ser semejantes, es decir, tener el mismo radicando y el mismo índice. En tal caso el radical el radical resultante tiene como coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada uno de los radicales.
Ejemplo: Suma y resta de radicales semejantes
Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales:
1. 
2. 
3. ![3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}](/wikipedia/images/math/f/5/5/f554a76b3698de9bd3d86d6600364c25.png)
Solución:[Mostrar]
(No se puede simplificar)
![3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}=](/wikipedia/images/math/a/6/e/a6edb4be927bfe44dff1ae00ac0eb772.png)
(No se puede simplificar)[editar]
Actividades
En los siguientes videotutoriales vamos a repasar las operaciones con radicales vistas hasta ahora, antes de pasar a ver otros casos de mayor dificultad.
![-3 \sqrt[3]{11}+\sqrt[3]{11}-8 \sqrt[3]{11}\;](/wikipedia/images/math/3/8/6/386dda78a1c0a8e06a7d92ad446cca8a.png)
![-8 \sqrt[3]{11}+4 \sqrt[3]{11}-2 \sqrt[3]{11}\;](/wikipedia/images/math/9/b/c/9bc9cc4fe2abf85a102fd7edd8a91a3e.png)
![\sqrt[3]{-5}-5 \sqrt[3]{-5}+2 \sqrt[3]{-5}\;](/wikipedia/images/math/7/9/7/797db9d9f2a327215cf66dc0fd1a0989.png)
![6 \sqrt[8]{3}+12 \sqrt[8]{3}-4 \sqrt[8]{3}\;](/wikipedia/images/math/e/a/3/ea3c1128b9341e9ee92e9adf7dbf36e8.png)
![5 \sqrt[11]{-8}+9 \sqrt[11]{-8}- \sqrt[11]{-8}\;](/wikipedia/images/math/c/f/c/cfc360decb13c219ecfed5246e616bbc.png)
![-\sqrt[5]{3}- \sqrt[5]{3}-4 \sqrt[5]{3}\;](/wikipedia/images/math/c/d/0/cd013a1ff11c225a935a2891232efb7a.png)
![-5\sqrt[3]{2}\;](/wikipedia/images/math/2/9/b/29ba151ca92717a7ec2fce60d9a43887.png)
![-8\sqrt[3]{-3}\;](/wikipedia/images/math/4/4/a/44af796a04099974506078fbdaa97c8e.png)
![14\sqrt[3]{5}\;](/wikipedia/images/math/a/8/b/a8b18bd1e94168e14bdfa178486c55de.png)
![-5\sqrt[4]{7}\;](/wikipedia/images/math/9/c/3/9c3b71fe66e4cd559e4c1c3e2d8f0d50.png)
![\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \;](/wikipedia/images/math/8/b/7/8b72eb2e695638b1b598aa91906d2afd.png)
![\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \;](/wikipedia/images/math/4/7/0/4706a180f7cecca86f552cb03bc61723.png)
![\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \;](/wikipedia/images/math/8/7/1/871aec8b9c551d588f6bb0f7652776b0.png)
![\sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \;](/wikipedia/images/math/c/6/1/c61ef44eacb7a1efa0af29b13e778c84.png)
![\sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2}\;](/wikipedia/images/math/b/a/a/baaf1e13d7ae13183caee280ed997078.png)
![\sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \;](/wikipedia/images/math/3/0/4/3044aa9fbabf7c1d05d005d3d067c642.png)
![\sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \;](/wikipedia/images/math/f/2/4/f24f9a63eafe40b3e6d366a5e52f6be1.png)
![\sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2}\;](/wikipedia/images/math/5/6/9/5699ece51e33ce84d469d13405c1a662.png)
![2\sqrt[3]{3} \cdot 3\sqrt[3]{3} \;](/wikipedia/images/math/e/b/8/eb885ee9f22a7b60f1fba48b165a9bba.png)
; 5j) ![3\sqrt[3]{5} \cdot 2\sqrt[3]{5} \;](/wikipedia/images/math/7/4/8/74817e09bd26600d541bc7f27acc2721.png)
; 5k) ![3\sqrt[3]{6} \cdot 5\sqrt[3]{6} \;](/wikipedia/images/math/4/d/7/4d731dfeb72737e5ea4b3fae68d986bc.png)
![-2\sqrt[3]{3} \cdot 5\sqrt[3]{3} \;](/wikipedia/images/math/b/d/0/bd0bdd2316e3647e561f42eea5e49432.png)
; 5m) ![8\sqrt[3]{-7} \cdot \sqrt[3]{-2} \cdot \sqrt[3]{-7} \;](/wikipedia/images/math/d/e/6/de6d9da92635aa3ed672a1d37bbb9d1e.png)
; 5n) ![3\sqrt[3]{3} \cdot (-7\sqrt[3]{3}) \cdot 4\sqrt[3]{3} \;](/wikipedia/images/math/8/d/7/8d7ab02625222fb400fbef68aae4f1a9.png)
![-5\sqrt[3]{12} \cdot (-\sqrt[3]{12}) \cdot 4\sqrt[3]{12} \;](/wikipedia/images/math/2/4/d/24db05991b4866bee0cf063c06a2a5a4.png)
; 5p) ![3\sqrt[3]{3} \cdot (-3\sqrt[3]{3}) \cdot (-4\sqrt[3]{3}) \;](/wikipedia/images/math/0/b/1/0b12fb80b6b5d9ab9cff8bdda29e3670.png)
; 5q) ![-3\sqrt[3]{5} \cdot (-7\sqrt[3]{5}) \cdot \sqrt[3]{5} \;](/wikipedia/images/math/4/9/3/493e61292a0c10080a211793ad3d938a.png)
; 6b) 
; 6c) 
; 6e) 
; 6f) ![\sqrt[3]{14} : \sqrt[3]{7} \;](/wikipedia/images/math/e/5/5/e55782cffbcf990bcc3401f1a26c47b6.png)
![9\sqrt[3]{14} : (-\sqrt[3]{-7}) \;](/wikipedia/images/math/e/a/6/ea6ac7a2061e05e92f94b80d4af19663.png)
; 6h) ![-10\sqrt[3]{15} : 5\sqrt[3]{5} \;](/wikipedia/images/math/c/3/0/c308580a14622890c46723f7fdf783fb.png)
; 6i) ![12\sqrt[3]{18} : (-6\sqrt[3]{-9}) \;](/wikipedia/images/math/0/5/9/05982cd16e41d3ae4cdc9d011905ad4b.png)
![-30\sqrt[3]{14} : 6\sqrt[3]{7} \;](/wikipedia/images/math/0/0/9/00930632b62d29b0446beb2eb4585c39.png)
; 6k) ![\sqrt[4]{14} : \sqrt[4]{7} \;](/wikipedia/images/math/3/7/d/37d6db29364ddf586bf938556c44bf69.png)
; 6l) ![9\sqrt[4]{14} : (-\sqrt[4]{7}) \;](/wikipedia/images/math/c/1/2/c12d93323a255c0807c702a7d1c4fd3a.png)
![-10\sqrt[4]{15} : 5\sqrt[4]{5} \;](/wikipedia/images/math/f/b/4/fb47b8279375acea84ad3b6776fe52d9.png)
; 6n) ![12\sqrt[4]{18} : (-6\sqrt[4]{9}) \;](/wikipedia/images/math/0/e/e/0ee9a8d792aa42be622074880b8c1737.png)
; 6o) ![-30\sqrt[4]{14} : 6\sqrt[4]{7}) \;](/wikipedia/images/math/f/8/6/f86747fe7edf79f2f565ae3b47c5f5cc.png)
![\sqrt[5]{14} : \sqrt[5]{7} \;](/wikipedia/images/math/c/e/d/cedeedebf22023c7095857fdb5f89cd9.png)
; 6q) ![9\sqrt[5]{14} : (-\sqrt[5]{7}) \;](/wikipedia/images/math/a/0/8/a0809badb27cd335d6d595e07efabe29.png)
; 6r) ![-10\sqrt[5]{15} : 5\sqrt[5]{5}) \;](/wikipedia/images/math/b/9/9/b99dbf9eb1bd9e64b5651116476d3105.png)
; b) ![(\sqrt[3]{7})^3\;](/wikipedia/images/math/e/3/6/e3645d99093cd9065fb2082d8c6c6c01.png)
; c) ![(\sqrt[4]{7})^4\;](/wikipedia/images/math/8/4/f/84f808c115fe3de548ae9bfe5824709f.png)
; d) 
; e) ![(\sqrt[3]{5})^3\;](/wikipedia/images/math/f/2/b/f2bf6748d06d16bcaae81f483dfd71c9.png)
![(\sqrt[4]{21})^4\;](/wikipedia/images/math/d/e/7/de71424f30904a433e21926aea5c19ea.png)
; g) 
; h) ![(\sqrt[3]{-25})^3\;](/wikipedia/images/math/4/7/8/478cc6706fac0d47cfc87e4c40c1a9fa.png)
; i) ![(\sqrt[4]{100})^4\;](/wikipedia/images/math/6/1/d/61d8bd6207295d4b3de801045656acdb.png)
; j) 
![(\sqrt[3]{-100})^3\;](/wikipedia/images/math/e/1/6/e16420641a6f36c33546ff527203864c.png)
; l) ![(\sqrt[5]{16})^5\;](/wikipedia/images/math/8/0/2/802fdd52c9cc6b2275f4ecb0a8ca4ae1.png)
; m) 
; n) ![(\sqrt[3]{18})^3\;](/wikipedia/images/math/b/c/c/bcc549d18d80fd5c5888a59db21937bf.png)
; o) ![(\sqrt[6]{12})^6\;](/wikipedia/images/math/5/9/7/597c0afad70f17b1f3788787dfd0974a.png)
; b) 
; c) 
; d) ![\sqrt[3]{\sqrt{2}}\;](/wikipedia/images/math/5/7/5/5750c75c078868e9954cfd490001321d.png)
![\sqrt[3]{\sqrt[3]{25}}\;](/wikipedia/images/math/a/6/1/a61140b4f250a3cb23f5d4156fc505bd.png)
; f) ![\sqrt{\sqrt[3]{64}}\;](/wikipedia/images/math/e/2/3/e23312ed4b7fe23d8f48d5afad9e73be.png)
; g) ![\sqrt[4]{\sqrt[3]{2}}\;](/wikipedia/images/math/1/7/7/17747fd8e1ef3646625fd5f03e380c01.png)
; h) ![\sqrt[3]{\sqrt{128}}\;](/wikipedia/images/math/1/7/e/17e0360d6aab8d041cd7f8c090dbc6c1.png)
