Plantilla:Racionalizacion
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- | {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''racionalización''' al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador}} | + | {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''racionalización''' al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador.}} |
- | ===Caso 1: Denominador con raíces cuadradas=== | + | {{p}} |
- | Para racionalizar uno radical de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma. | + | Los dos videotutoriales siguientes resumen lo que vamos a ver en este apartado: |
+ | {{Videotutoriales|titulo=Racionalización|enunciado= | ||
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+ | |sinopsis=Tutorial en el que se explica y trabaja la racionalización de quebrados con radicales, en el caso en que el denominador es un monomio, es decir, un único término. | ||
+ | |||
+ | *00:00 a 02:50: Explicación del proceso de racionalización. | ||
+ | *02:50 a 09:50: Ejemplos donde se analizan los errores más típicos cometidos en la racionalización con un monomio en el denominador. | ||
+ | *09:50 a 17:18: Ejercicios de racionalización con monomios en el denominador. | ||
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+ | |sinopsis=Tutorial en el que se explica y trabaja la racionalización de quebrados con radicales, en el caso en que el denominador es un binomio, es decir, suma de dos términos. | ||
+ | |||
+ | *00:00 a 01:30: Explicación del proceso de racionalización. | ||
+ | *01:30 a 09:40: Ejemplo donde se analizan los errores más típicos cometidos en la racionalización con un binomio en el denominador. | ||
+ | *09:40 a 13:35: Ejercicios de racionalización con binomios en el denominador. | ||
+ | *13:35 a 17:14: Ejercicio de racionalización con un trinomio en el denominador. | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=PJhAw1ks8Qk&index=7&list=PLZNmE9BEzVImIKACrwlnJVOz_w7oxAoRy | ||
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+ | ===Caso 1: Denominador con raíces cuadradas=== | ||
+ | {{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado= | ||
+ | Para racionalizar una fracción con una raíz cuadrada en el denominador se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma. | ||
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+ | {{p}} | ||
{{Ejemplo | {{Ejemplo | ||
|titulo=Ejemplo: ''Caso 1: Denominador con raíces cuadradas'' | |titulo=Ejemplo: ''Caso 1: Denominador con raíces cuadradas'' | ||
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+ | {{p}} | ||
===Caso 2: Denominador con otras raíces=== | ===Caso 2: Denominador con otras raíces=== | ||
- | En este caso, los exponentes del radicando del radical por el que se deben multiplicar el numerador y denominador de la fracción será la diferencia entre los exponentes actuales y el índice (o múltiplo del indice más cercano) del radical. | + | {{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado= |
+ | Para racionalizar una fracción con una raíz de índice distinto de dos en el denominador, se deben multiplicar el numerador y denominador de la fracción por una raíz con el mismo índice en la que cada exponente de los factores del radicando se calculará como: | ||
+ | #La diferencia entre el índice del radical y el exponente actual, caso de que el índice sea mayor o igual que el exponente actual. | ||
+ | #La diferencia entre el exponente actual y el múltiplo del indice más cercano a dicho exponente, caso de que el exponente actual supere al índice.}} | ||
+ | {{p}} | ||
{{Ejemplo | {{Ejemplo | ||
|titulo=Ejemplo: ''Caso 2: Denominador con otras raíces'' | |titulo=Ejemplo: ''Caso 2: Denominador con otras raíces'' | ||
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:<math>\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}} \cdot \frac{\sqrt[5] {a^2b} }{\sqrt[5]{a^2b}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{{ab}}</math> | :<math>\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}} \cdot \frac{\sqrt[5] {a^2b} }{\sqrt[5]{a^2b}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{{ab}}</math> | ||
}} | }} | ||
+ | {{p}} | ||
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+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
- | ===Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces=== | + | ===Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces cuadradas=== |
- | Para este último caso, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador (solo se le cambia el segundo signo de la expresión) | + | {{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=Para racionalizar fracciones en cuyo denominador aparezcan binomios con alguna raíz cuadrada, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador, esto es, por la misma expresión en la que solo se le cambia el signo del segundo término del binomio.}} |
- | + | {{p}} | |
{{Ejemplo | {{Ejemplo | ||
|titulo=Ejemplo: ''Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces'' | |titulo=Ejemplo: ''Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces'' | ||
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{{p}} | {{p}} | ||
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+ | {{Video_enlace_abel | ||
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+ | {{Video_enlace_virtual | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 10 | ||
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+ | {{Video_enlace_virtual | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 11 | ||
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+ | |titulo1=Ejercicio 12 | ||
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+ | {{p}} | ||
+ | |||
+ | ===Caso 4: Denominador con sumas y restas de raíces cúbicas (Avanzado)=== | ||
+ | Para este caso deberás conocer primero las siguientes identidades de la suma y diferencia de cubos: | ||
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+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1=Suma y diferencia de cubos | ||
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+ | |sinopsis=Demostración y ejemplos de las identidades: | ||
+ | |||
+ | *'''Suma de cubos:''' <math>(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)\;</math> | ||
+ | *'''Diferencia de cubos:''' <math>(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)\;</math> | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=EpC27l10lig | ||
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+ | {{Videotutoriales|titulo=Racionalización (caso 4)|enunciado= | ||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
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+ | |sinopsis=Racionaliza: <math>\cfrac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{2}}</math>. | ||
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+ | |titulo1=Ejercicio 2 | ||
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+ | |sinopsis=Racionaliza: <math>\cfrac{2}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}}</math>. | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=ynOn3uiC7c4 | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
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+ | |sinopsis=Racionaliza: <math>\cfrac{2}{\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}}</math>. | ||
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+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 4 | ||
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+ | |||
===Actividades=== | ===Actividades=== | ||
+ | {{Videotutoriales|titulo=Racionalización|enunciado= | ||
{{Video_enlace_unicoos | {{Video_enlace_unicoos | ||
- | |titulo1=Ejemplos 1: Racionalización | + | |titulo1=Ejercicio 1 |
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- | |sinopsis=4 ejemplos. | + | |sinopsis=Racionaliza: |
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+ | |||
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=KTdBezXCjk0 | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=KTdBezXCjk0 | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | ||
{{Video_enlace_julioprofe | {{Video_enlace_julioprofe | ||
- | |titulo1=Ejemplos 2: Racionalización | + | |titulo1=Ejercicio 2 |
|duracion=8'53" | |duracion=8'53" | ||
- | |sinopsis=3 ejemplos. | + | |sinopsis=Racionaliza: |
+ | |||
+ | a)<math>\cfrac{20}{\sqrt{5}}\;</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>\cfrac{16}{\sqrt[3]{2}}\;</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>\cfrac{22}{3\,\sqrt[5]{4}}\;</math> | ||
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=xcvpmfa5xWA&list=PL9B9AC3136D2D4C45&index=89 | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=xcvpmfa5xWA&list=PL9B9AC3136D2D4C45&index=89 | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | ||
{{Video_enlace_julioprofe | {{Video_enlace_julioprofe | ||
- | |titulo1=Ejemplos 3: Racionalización | + | |titulo1=Ejercicio 3 |
|duracion=3'35" | |duracion=3'35" | ||
- | |sinopsis=1 ejemplo. | + | |sinopsis=Racionaliza: <math>\cfrac{3ab}{\sqrt[4]{a^2b^3c}}\;</math> |
- | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=LVNth46dPfU&list=PL9B9AC3136D2D4C45&index=90}} | + | |
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=LVNth46dPfU&list=PL9B9AC3136D2D4C45&index=90 | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_julioprofe | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 4 | ||
+ | |duracion=2'49" | ||
+ | |sinopsis=Racionaliza: <math>\cfrac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\;</math> | ||
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+ | {{Video_enlace_julioprofe | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 5 | ||
+ | |duracion=5'53" | ||
+ | |sinopsis=Simplifica: <math>\cfrac{\sqrt[4]{a^3} \cdot a^{-1}}{a\,\sqrt{a}}\;</math> | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=c0LaljV-uTw&list=PL9B9AC3136D2D4C45&index=91}} | ||
+ | {{Video_enlace_julioprofe | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 6 | ||
+ | |duracion=6'27" | ||
+ | |sinopsis=Racionaliza: <math>\cfrac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}\;</math>|url1=https://www.youtube.com/watch?v=FZOeitcYS6I&list=PL9B9AC3136D2D4C45&index=93 | ||
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+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 7 | ||
+ | |duracion=10'14" | ||
+ | |sinopsis=Racionaliza: | ||
+ | |||
+ | a) <math>\cfrac{2}{\sqrt{6}}</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>\cfrac{4}{\sqrt[3]{5}}</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>\cfrac{3}{\sqrt[4]{729}}</math>{{b4}}{{b4}}d) <math>\cfrac{5}{\sqrt[5]{125}}</math> | ||
+ | |||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=BrGBdNn6H7Q | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 8 | ||
+ | |duracion=9'34" | ||
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+ | |||
+ | a) <math>\cfrac{1}{\sqrt{2}}</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>\cfrac{1}{\sqrt{x}}</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>\cfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}</math>{{b4}}{{b4}} | ||
+ | d) <math>\cfrac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}</math>{{b4}}{{b4}}e) <math>\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}}</math>{{b4}}{{b4}}f) <math>\cfrac{1}{\sqrt[4]{8}}</math> | ||
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+ | {{Video_enlace_escuela | ||
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+ | :72) <math>\cfrac{2}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}</math>{{b4}}{{b4}}73) <math>\cfrac{7}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}</math>{{b4}}{{b4}}74) <math>\cfrac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}</math> | ||
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+ | :75) <math>\cfrac{8}{6-2\sqrt{3}}</math>{{b4}}{{b4}}76) <math>\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}</math>{{b4}}{{b4}}77) <math>\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}</math> | ||
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+ | :78) <math>\cfrac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}</math>{{b4}}{{b4}}79) <math>\cfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}</math>{{b4}}{{b4}}80) <math>\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}</math> | ||
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Revisión actual
Se llama racionalización al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador.
Los dos videotutoriales siguientes resumen lo que vamos a ver en este apartado:

Tutorial en el que se explica y trabaja la racionalización de quebrados con radicales, en el caso en que el denominador es un monomio, es decir, un único término.
- 00:00 a 02:50: Explicación del proceso de racionalización.
- 02:50 a 09:50: Ejemplos donde se analizan los errores más típicos cometidos en la racionalización con un monomio en el denominador.
- 09:50 a 17:18: Ejercicios de racionalización con monomios en el denominador.

Tutorial en el que se explica y trabaja la racionalización de quebrados con radicales, en el caso en que el denominador es un binomio, es decir, suma de dos términos.
- 00:00 a 01:30: Explicación del proceso de racionalización.
- 01:30 a 09:40: Ejemplo donde se analizan los errores más típicos cometidos en la racionalización con un binomio en el denominador.
- 09:40 a 13:35: Ejercicios de racionalización con binomios en el denominador.
- 13:35 a 17:14: Ejercicio de racionalización con un trinomio en el denominador.

Qué es racionalizar y cómo resolver los diferentes casos.

Cómo se racionalizan los denominadores de las fracciones. Ejemplos.
Tabla de contenidos |
Caso 1: Denominador con raíces cuadradas
Procedimiento
Para racionalizar una fracción con una raíz cuadrada en el denominador se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.
Ejemplo: Caso 1: Denominador con raíces cuadradas
Racionalizar
En este caso hay que multiplicar numerador y denominador por

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .
Caso 2: Denominador con otras raíces
Procedimiento
Para racionalizar una fracción con una raíz de índice distinto de dos en el denominador, se deben multiplicar el numerador y denominador de la fracción por una raíz con el mismo índice en la que cada exponente de los factores del radicando se calculará como:
- La diferencia entre el índice del radical y el exponente actual, caso de que el índice sea mayor o igual que el exponente actual.
- La diferencia entre el exponente actual y el múltiplo del indice más cercano a dicho exponente, caso de que el exponente actual supere al índice.
Ejemplo: Caso 2: Denominador con otras raíces
Racionalizar
En este ejemplo, hay que multiplicar numerador y denominador por , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz:

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .
Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces cuadradas
Procedimiento
Para racionalizar fracciones en cuyo denominador aparezcan binomios con alguna raíz cuadrada, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador, esto es, por la misma expresión en la que solo se le cambia el signo del segundo término del binomio.
Ejemplo: Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces
Racionalizar
En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por (este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados):

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .
Caso 4: Denominador con sumas y restas de raíces cúbicas (Avanzado)
Para este caso deberás conocer primero las siguientes identidades de la suma y diferencia de cubos:

Demostración y ejemplos de las identidades:
- Suma de cubos:
- Diferencia de cubos:

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .

Racionaliza: .
Actividades

Racionaliza:
a) b)
c)
d)

Racionaliza:
a) b)
c)

Racionaliza:

Racionaliza:

Simplifica:

Racionaliza:

Racionaliza:
a) b)
c)
d)

Racionaliza:
a) b)
c)
d)
e)
f)

Racionaliza:
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Racionaliza:
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Actividades en las que podrás aprender a racionalizar denominadores

Ejercicios de autoevaluación sobre racionalización.