Ángulo entre dos rectas del plano (1ºBach)

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1 Ángulo entre dos rectas
2 Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección
3 Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita
4 Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes
5 Ejercicios y videotutoriales
- 5.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 202)

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Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas del plano es el menor de los dos ángulos que forman éstas entre sí.

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Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección

Proposición

Dadas dos rectas con vectores de dirección $\overrightarrow{d}$ y $\overrightarrow{d'}$ , y sea $\alpha \,$ el ángulo que forman. Se verifica que

$cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{d'}|}$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: Ángulo entre dos rectas

Halla el ángulo que forman las siguientes rectas:

$r_1: \, \begin{cases} x=-3+ 4t \\ y=4- t \end{cases} \qquad r_2: \, \begin{cases} x=-3+ 5t \\ y=4+ t \end{cases}$

Solución:[Mostrar]

Ángulo entre dos rectas [Mostrar]

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Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita

Proposición

Sean $r:\, Ax+By+C=0$ y $r': \, A'x+B'y+C'=0$ dos rectas, y sea $\alpha \,$ el ángulo que forman. Se verifica que

$cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{n'}|}$

donde $n(A,B)\,$ y $n'(A',B')\,$ son los vectores normales de las rectas.

Demostración:[Mostrar]

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Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes

Proposición

Dadas dos rectas con pendientes $m\,$ y $m'\,$ . Se verifica que

$tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo (8´41") Sinopsis: [Mostrar]

Ángulo entre dos rectas Descripción: [Mostrar]

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Ejercicios y videotutoriales

Ángulo entre dos rectas [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ecuaciones trigonométricas

(Pág. 202)

1a,b,c

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/%C3%81ngulo_entre_dos_rectas_del_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 |enlaces=
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+__TOC__
 {{p}}
+(Pág. 202)
 ==Ángulo entre dos rectas==
 {{Caja_Amarilla|texto=
 {{p}}
 ==Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección==
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Dadas dos rectas con vectores de dirección {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d}</math>}} y {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d'}</math>}}, y sea <math>\alpha \,</math> el ángulo que forman. Se verifica que
+{{Tabla75|celda2=[[Imagen:angrectas.png]]|celda1=
+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Dadas dos rectas con vectores de dirección {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d}</math>}} y {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d'}</math>}}, y sea <math>\alpha \,</math> el ángulo que forman. Se verifica que
 <center><math>cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{d'}|}</math></center>
 (*) '''Nota:''' En el caso en que sean perpendiculares, el producto escalar del numerador es cero y la igualdad queda <math>cos \, \alpha=0</math>, de donde <math>\alpha=90^\circ</math>.
+}}
 }}
 {{p}}
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ángulo entre dos rectas''|enunciado=Halla el ángulo que forman las siguientes rectas:
+<center><math>
+r_1: \, \begin{cases}
+x=-3+ 4t
+\\
+y=4- t
+\end{cases}
+\qquad
+r_2: \, \begin{cases}
+x=-3+ 5t
+\\
+y=4+ t
+\end{cases}</math>
+</center>
+|sol=
+Sus vectores de dirección son: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d_1}(4,-1)</math>}} y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d_2}(5,1)</math>}}, de manera que:
+<center><math>cos \, \alpha=\cfrac{| \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}|}{|\overrightarrow{d_1}| \, |\overrightarrow{d_2}|}=\cfrac{19}{\sqrt{17} \, \sqrt{26}}=0.9 \rightarrow \alpha=25.34^\circ</math></center>
+}}
+{{p}}
+{{Videotutoriales|titulo=Ángulo entre dos rectas|enunciado=
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Tutorial
+|duracion=6´06"
+|url1=https://youtu.be/040aVzsO5N0?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+|sinopsis=Cálculo del ángulo entre dos rectas. Ejemplos.
+'''Nota:''' En este tutorial se usa la fórmula sin valor absoluto, con lo cual en unos casos sale el ángulo mayor y en otros el menor.
+}}
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Ejercicio
+|duracion=6´46"
+|url1=https://youtu.be/8VDYIxWr_mA?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+|sinopsis=Cálculo de los ángulos de un triángulo conocidas las coordenadas de los vértices.
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+==Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita==
+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Sean <math>r:\, Ax+By+C=0</math> y <math>r': \, A'x+B'y+C'=0</math> dos rectas, y sea <math>\alpha \,</math> el ángulo que forman. Se verifica que
+<center><math>cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{n'}|}</math></center>
+:donde <math>n(A,B)\,</math> y <math>n'(A',B')\,</math> son los vectores normales de las rectas.
+|demo=Cómo el vector normal a una recta es perpendicular al vector de dirección de la misma, hallar el ángulo entre las dos rectas equivale a hallar el ángulo entre los vectores normales o entre los vectores de dirección. Por tanto aplicaremos la misma fórmula que para hallar el ángulo a partir de los vectores de dirección, sustituyendo éstos por los vectores normales.
+}}
 ==Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes==
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Dadas dos rectas con pendientes <math>m\,</math> y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'\,</math>}}. Se verifica que
+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Dadas dos rectas con pendientes <math>m\,</math> y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'\,</math>}}. Se verifica que
 <center><math>tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math></center>
 |demo={{Tabla75|celda2=[[Imagen:ang2rectas.png]]|celda1=
 Teniendo en cuenta que <math>m=tg \, \alpha</math> y <math>m'=tg \, \beta</math>, usando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, tenemos:
-:<math>tg \, \phi=tg \, (\alpha - \beta)=  \Big| \cfrac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1+tg \, \alpha \, tg \, \beta} \Big|= \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math>
+<center><math>tg \, \phi=tg \, (\alpha - \beta)=  \cfrac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1+tg \, \alpha \, tg \, \beta} =  \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} </math></center>
+Para conseguir que el ángulo sea el menor, tomamos valores absolutos en la expresión anterior:
+<center><math>tg \, \phi=\Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math></center>
+{{p}}
+----
+También puedes ver la demostración en el siguiente video:
+{{Video_enlace_velazco
+|titulo1=Demostración
+|duracion=5´40"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=5eKwXVpQgmU&index=10&list=PLPrT9FThiZ6QfKolkw-a6qholvFwVde1n
+|sinopsis=Demostración de la fórmula del ángulo entre dos rectas conocidas sus pendientes.
+}}
 }}
+}}
+{{p}}
+{{Video_enlace_velazco
+|titulo1=Ejemplo
+|duracion=8´41"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PiVwCSU9VyE&list=PLPrT9FThiZ6QfKolkw-a6qholvFwVde1n&index=9
+|sinopsis=Halla el ángulo entre las rectas <math>r_1: -x+y=2\;</math> {{b}} y {{b}} <math>r_2: -5x-4y=13\;</math>.
+}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En esta escena podrás calcular el ángulo entre dos rectas.
+|enlace=[https://ggbm.at/aN4z3FsT Ángulo entre dos rectas]
 }}
 {{p}}
+==Ejercicios y videotutoriales==
+{{p}}
+{{Videotutoriales|titulo=Ángulo entre dos rectas|enunciado=
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Tutorial
+|duracion=19´39"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=MFb6D-EZyGo&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=10
+|sinopsis=
+*Ángulo entre dos rectas.
+*Paralelismo y perpendicularidad.
+}}
+----
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 1
+|duracion=8´20"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=OVWQ_6Lt4NA&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=11
+|sinopsis=Ángulo entre dos rectas
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 2
+|duracion=7´07"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=asksI6mMNKY&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=12
+|sinopsis=Ángulo entre dos rectas
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 3
+|duracion=6´18"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=jI_UhPEnXMI&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=13
+|sinopsis=Ángulo entre dos rectas
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+}}
+===Ejercicios propuestos===
+{{ejercicio
+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones trigonométricas''
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+(Pág. 202)
+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1a,b,c
+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1d
+}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

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