Ángulo entre dos rectas del plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Ángulo entre dos rectas
2 Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección
3 Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita
4 Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes
5 Ejercicios y videotutoriales
- 5.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 202)

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Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas del plano es el menor de los dos ángulos que forman éstas entre sí.

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Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección

Proposición

Dadas dos rectas con vectores de dirección $\overrightarrow{d}$ y $\overrightarrow{d'}$ , y sea $\alpha \,$ el ángulo que forman. Se verifica que

$cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{d'}|}$

Demostración:

Sabemos que el coseno del ángulo entre dos vectores se obtiene de la siguiente manera:

$cos \, (\widehat{\overrightarrow{d}, \, \overrightarrow{d'}})=\cfrac{\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}}{|\overrightarrow{d}| \, |\overrightarrow{d'}|}$

De los dos ángulos que forman las dos rectas, uno es agudo (el menor) y otro es obtuso (el mayor), salvo que sean perpendicualares (*). Nosotros cogeremos el menor de ellos, es decir, el agudo. Cómo el coseno de un ángulo agudo es positivo, tomaremos valor absoluto en el miembro de la derecha, para conseguir que así el ángulo sea el menor:

$cos \, (\widehat{\overrightarrow{d}, \, \overrightarrow{d'}})=\cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}| \, |\overrightarrow{d'}|}$

(*) Nota: En el caso en que sean perpendiculares, el producto escalar del numerador es cero y la igualdad queda $cos \, \alpha=0$ , de donde $\alpha=90^\circ$ .

Ejemplo: Ángulo entre dos rectas

Halla el ángulo que forman las siguientes rectas:

$r_1: \, \begin{cases} x=-3+ 4t \\ y=4- t \end{cases} \qquad r_2: \, \begin{cases} x=-3+ 5t \\ y=4+ t \end{cases}$

Solución:

Sus vectores de dirección son: $\overrightarrow{d_1}(4,-1)$ y $\overrightarrow{d_2}(5,1)$ , de manera que:

$cos \, \alpha=\cfrac{| \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}|}{|\overrightarrow{d_1}| \, |\overrightarrow{d_2}|}=\cfrac{19}{\sqrt{17} \, \sqrt{26}}=0.9 \rightarrow \alpha=25.34^\circ$

Ángulo entre dos rectas

Tutorial (6´06") Sinopsis:

Cálculo del ángulo entre dos rectas. Ejemplos.

Nota: En este tutorial se usa la fórmula sin valor absoluto, con lo cual en unos casos sale el ángulo mayor y en otros el menor.

Ejercicio (6´46") Sinopsis:

Cálculo de los ángulos de un triángulo conocidas las coordenadas de los vértices.

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Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita

Proposición

Sean $r:\, Ax+By+C=0$ y $r': \, A'x+B'y+C'=0$ dos rectas, y sea $\alpha \,$ el ángulo que forman. Se verifica que

$cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{n'}|}$

donde $n(A,B)\,$ y $n'(A',B')\,$ son los vectores normales de las rectas.

Demostración:

Cómo el vector normal a una recta es perpendicular al vector de dirección de la misma, hallar el ángulo entre las dos rectas equivale a hallar el ángulo entre los vectores normales o entre los vectores de dirección. Por tanto aplicaremos la misma fórmula que para hallar el ángulo a partir de los vectores de dirección, sustituyendo éstos por los vectores normales.

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Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes

Proposición

Dadas dos rectas con pendientes $m\,$ y $m'\,$ . Se verifica que

$tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|$

Demostración:

Teniendo en cuenta que $m=tg \, \alpha$ y $m'=tg \, \beta$ , usando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, tenemos:

$tg \, \phi=tg \, (\alpha - \beta)= \cfrac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1+tg \, \alpha \, tg \, \beta} = \cfrac{m'-m}{1+m \,m'}$

Para conseguir que el ángulo sea el menor, tomamos valores absolutos en la expresión anterior:

$tg \, \phi=\Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|$

También puedes ver la demostración en el siguiente video:

Demostración (5´40") Sinopsis:

Demostración de la fórmula del ángulo entre dos rectas conocidas sus pendientes.

Ejemplo (8´41") Sinopsis:

Halla el ángulo entre las rectas $r_1: -x+y=2\;$ y $r_2: -5x-4y=13\;$ .

Ángulo entre dos rectas Descripción:

En esta escena podrás calcular el ángulo entre dos rectas.

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Ejercicios y videotutoriales

Ángulo entre dos rectas

Tutorial (19´39") Sinopsis:

Ángulo entre dos rectas.
Paralelismo y perpendicularidad.

Ejercicio 1 (8´20") Sinopsis:

Ángulo entre dos rectas

Ejercicio 2 (7´07") Sinopsis:

Ángulo entre dos rectas

Ejercicio 3 (6´18") Sinopsis:

Ángulo entre dos rectas

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ecuaciones trigonométricas

(Pág. 202)

1a,b,c

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Categorías: Matemáticas | Geometría

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-'''Ejercicio:'''
-Halla el ángulo que forman las rectas siguientes y comprueba los resultados en la escena anterior:
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-r_1: \, \begin{cases}
-x=-3+ t
-\\
-y=4- 5t
-\end{cases}
-\qquad
-r_2: \ ,\begin{cases}
-x=-3+ 5t
-\\
-y=4+ t
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 ==Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita==
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 ==Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes==
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