Ángulo entre dos rectas del plano (1ºBach)

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==Ángulo entre dos rectas== ==Ángulo entre dos rectas==
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Línea 13: Línea 15:
==Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección== ==Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección==
{{Tabla75|celda2=[[Imagen:angrectas.png]]|celda1= {{Tabla75|celda2=[[Imagen:angrectas.png]]|celda1=
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Dadas dos rectas con vectores de dirección {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d}</math>}} y {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d'}</math>}}, y sea <math>\alpha \,</math> el ángulo que forman. Se verifica que+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Dadas dos rectas con vectores de dirección {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d}</math>}} y {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d'}</math>}}, y sea <math>\alpha \,</math> el ángulo que forman. Se verifica que
<center><math>cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{d'}|}</math></center> <center><math>cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{d'}|}</math></center>
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-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Ángulo entre dos rectas''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Halla el ángulo que forman dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas y utiliza la escena para comprobar los resultados.+
-{{p}}+
-|actividad=Vamos a hallar el ángulo que forman las rectas:+
<center><math> <center><math>
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\end{cases}</math> \end{cases}</math>
</center> </center>
- +|sol=
Sus vectores de dirección son: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d_1}(4,-1)</math>}} y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d_2}(5,1)</math>}}, de manera que: Sus vectores de dirección son: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d_1}(4,-1)</math>}} y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d_2}(5,1)</math>}}, de manera que:
<center><math>cos \, \alpha=\cfrac{| \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}|}{|\overrightarrow{d_1}| \, |\overrightarrow{d_2}|}=\cfrac{19}{\sqrt{17} \, \sqrt{26}}=0.9 \rightarrow \alpha=25.34^\circ</math></center> <center><math>cos \, \alpha=\cfrac{| \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}|}{|\overrightarrow{d_1}| \, |\overrightarrow{d_2}|}=\cfrac{19}{\sqrt{17} \, \sqrt{26}}=0.9 \rightarrow \alpha=25.34^\circ</math></center>
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 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Ángulo entre dos rectas|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
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 +|duracion=6´06"
 +|url1=https://youtu.be/040aVzsO5N0?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 +|sinopsis=Cálculo del ángulo entre dos rectas. Ejemplos.
-<center><iframe>+'''Nota:''' En este tutorial se usa la fórmula sin valor absoluto, con lo cual en unos casos sale el ángulo mayor y en otros el menor.
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_3_3.html+
-width=490+
-height=410+
-name=myframe<math>Escribe aquí una fórmula</math><math>Escribe aquí una fórmula</math>+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_3_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-'''Ejercicio:'''+
- +
-Halla el ángulo que forman las rectas siguientes y comprueba los resultados en la escena anterior:+
- +
-<center><math>+
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-\\+
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-\qquad +
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-x=-3+ 5t+
-\\+
-y=4+ t+
-\end{cases}</math></center>+
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 +{{Video_enlace_pildoras
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 +|sinopsis=Cálculo de los ángulos de un triángulo conocidas las coordenadas de los vértices.
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 + 
==Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita== ==Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita==
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Sean <math>r:\, Ax+By+C=0</math> y <math>r': \, A'x+B'y+C'=0</math> dos rectas, y sea <math>\alpha \,</math> el ángulo que forman. Se verifica que+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Sean <math>r:\, Ax+By+C=0</math> y <math>r': \, A'x+B'y+C'=0</math> dos rectas, y sea <math>\alpha \,</math> el ángulo que forman. Se verifica que
<center><math>cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{n'}|}</math></center> <center><math>cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{n'}|}</math></center>
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==Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes== ==Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes==
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Dadas dos rectas con pendientes <math>m\,</math> y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'\,</math>}}. Se verifica que+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Dadas dos rectas con pendientes <math>m\,</math> y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'\,</math>}}. Se verifica que
<center><math>tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math></center> <center><math>tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math></center>
 +
|demo={{Tabla75|celda2=[[Imagen:ang2rectas.png]]|celda1= |demo={{Tabla75|celda2=[[Imagen:ang2rectas.png]]|celda1=
Teniendo en cuenta que <math>m=tg \, \alpha</math> y <math>m'=tg \, \beta</math>, usando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, tenemos: Teniendo en cuenta que <math>m=tg \, \alpha</math> y <math>m'=tg \, \beta</math>, usando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, tenemos:
-:<math>tg \, \phi=tg \, (\alpha - \beta)= \Big| \cfrac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1+tg \, \alpha \, tg \, \beta} \Big|= \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math>+<center><math>tg \, \phi=tg \, (\alpha - \beta)= \cfrac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1+tg \, \alpha \, tg \, \beta} = \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} </math></center>
 +Para conseguir que el ángulo sea el menor, tomamos valores absolutos en la expresión anterior:
 +
 +<center><math>tg \, \phi=\Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math></center>
 +
 +{{p}}
 +----
 +También puedes ver la demostración en el siguiente video:
 +
 +{{Video_enlace_velazco
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 +|sinopsis=Demostración de la fórmula del ángulo entre dos rectas conocidas sus pendientes.
}} }}
}} }}
-==Videotutoriales==+}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_velazco
 +|titulo1=Ejemplo
 +|duracion=8´41"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PiVwCSU9VyE&list=PLPrT9FThiZ6QfKolkw-a6qholvFwVde1n&index=9
 +|sinopsis=Halla el ángulo entre las rectas <math>r_1: -x+y=2\;</math> {{b}} y {{b}} <math>r_2: -5x-4y=13\;</math>.
 +}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás calcular el ángulo entre dos rectas.
 +|enlace=[https://ggbm.at/aN4z3FsT Ángulo entre dos rectas]
 +}}
 +{{p}}
 + 
 +==Ejercicios y videotutoriales==
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-|titulo1=Ángulo entre dos rectas+{{Video_enlace_fonemato
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*Ángulo entre dos rectas. *Ángulo entre dos rectas.
*Paralelismo y perpendicularidad. *Paralelismo y perpendicularidad.
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-{{Video_enlace 
-|titulo1= Ejercicio (Circuncentro de un triángulo) 
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-|titulo1= Ejercicio (Triángulo equilátero) 
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-|titulo1= Ejercicio (Triángulo isósceles) 
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 +
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones trigonométricas''
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 +(Pág. 202)
 +
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 1a,b,c
 +
 +[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1d
}} }}
 +
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]

(Pág. 202)

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Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas del plano es el menor de los dos ángulos que forman éstas entre sí.

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Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección

ejercicio

Proposición

Dadas dos rectas con vectores de dirección \overrightarrow{d} y \overrightarrow{d'}, y sea \alpha \, el ángulo que forman. Se verifica que

cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{d'}|}
Imagen:angrectas.png

ejercicio

Ejemplo: Ángulo entre dos rectas

Halla el ángulo que forman las siguientes rectas:

r_1: \, \begin{cases} x=-3+ 4t \\ y=4- t \end{cases} \qquad r_2: \, \begin{cases} x=-3+ 5t \\ y=4+ t \end{cases}

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Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita

ejercicio

Proposición

Sean r:\, Ax+By+C=0 y r': \, A'x+B'y+C'=0 dos rectas, y sea \alpha \, el ángulo que forman. Se verifica que

cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{n'}|}
donde n(A,B)\, y n'(A',B')\, son los vectores normales de las rectas.
[editar]

Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes

ejercicio

Proposición

Dadas dos rectas con pendientes m\, y m'\,. Se verifica que

tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|

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Ejercicios y videotutoriales

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones trigonométricas

(Pág. 202)

1a,b,c

1d

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