Cálculo de primitivas inmediatas (2ºBach)

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}} }}
{{p}} {{p}}
 +__TOC__
 +==Integrales inmediatas básicas==
 +Empezaremos viendo aquellas funciones cuyas primitivas son las funciones elementales. Basta con recordar las reglas de derivación que vimos en un tema anterior y que puedes ver en el siguiente enlace: [[Reglas de derivación (2ºBach)|'''Ver reglas de derivación''']].
 +
 +{{Videotutoriales|titulo=Integrales básicas|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1a
 +|duracion=7'25"
 +|sinopsis=Reglas básicas de integración:
 +
 +*Integral de un número.
 +*Integral de una potencia.
 +|url1=https://youtu.be/Mw8CiYjSYkw?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1b
 +|duracion=8'50"
 +|sinopsis=Reglas básicas de integración:
 +
 +*Integral de una potencia (ampliación).
 +*Integral del logaritmo neperiano.
 +|url1=https://youtu.be/P4jLkgSUAzo?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1c
 +|duracion=6'48"
 +|sinopsis=Reglas básicas de integración:
 +
 +*Integral de funciones exponenciales.
 +|url1=https://youtu.be/qDKB2qks1gY?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1d
 +|duracion=5'27"
 +|sinopsis=Reglas básicas de integración:
 +
 +*Integral de funciones trigonométricas.
 +|url1=https://youtu.be/fij8SF5AMW8?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1e
 +|duracion=7'24"
 +|sinopsis=Reglas básicas de integración:
 +
 +*Integral de funciones trigonométricas (ampliación).
 +|url1=https://youtu.be/a8h0EUAUf9o?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
 +}}
 +
 +==Integrales inmediatas==
 +En este apartado estudiaremos las integrales de funciones cuyas primitivas son funciones compuestas. Más concretamente:
 +{{p}}
 +{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=
 +:<math>\int g'[f(x)] \cdot f'(x) \, dx = g[f(x)] + k </math>
 +|demo=
 +'''Demostración:'''
 +
 +Es inmediato si a partir de la derivada de la función compuesta
 +
 +:<math>(g[f(x)])'= g[f(x)] \cdot f'(x)</math>
 +
 +integramos ambos miembros.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Integrales inmediatas|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1a
 +|duracion=7'57"
 +|sinopsis=Integrales inmediatas.
 +|url1=https://youtu.be/ihgb7gtyQhY?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1b
 +|duracion=9'31"
 +|sinopsis=Integrales inmediatas (continuación).
 +|url1=https://youtu.be/VyfkQt4z_NE?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1c
 +|duracion=9'49"
 +|sinopsis=Integrales inmediatas (continuación).
 +|url1=https://youtu.be/srMqFO99fYQ?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Primitivas inmediatas+|titulo1=Tutorial 2
|duracion=5'31" |duracion=5'31"
-|sinopsis=+|sinopsis=Integrales inmediatas
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Tq1_RI4He6g&index=4&list=PLECA0C7A8B59E5534 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=Tq1_RI4He6g&index=4&list=PLECA0C7A8B59E5534
}} }}
 +----
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Ejemplos 1
 +|duracion=10'22"
 +|sinopsis=
 +#<math>\int x^2-5x+9 \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{1}{x^3}+\cfrac{7}{x^2} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \sqrt[4]{x} \cdot dx</math>
 +#<math>\int 2(2x-8)^6 \cdot dx</math>
 +#<math>\int x(x^2-8)^3 \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{x^2}{(x^3+5)^4} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{3}{\sqrt{5x}} \cdot dx</math>
 +|url1=https://youtu.be/H2ghV-JaUgk?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Ejemplos 2
 +|duracion=10'14"
 +|sinopsis=
 +#<math>\int e^{-6x} \cdot dx</math>
 +#<math>\int e^{\cfrac{3x}{2}} \cdot dx</math>
 +#<math>\int 3x \cdot e^{x^2} \cdot dx</math>
 +#<math>\int 4^x \cdot ln\,4 \cdot dx</math>
 +#<math>\int 4^x \cdot dx</math>
 +#<math>\int 5^{7x} \cdot dx</math>
 +
 +|url1=https://youtu.be/axA6MMKsK-c?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Ejemplos 3
 +|duracion=8'36"
 +|sinopsis=
 +#<math>\int \cfrac{2x}{x^2+3} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{x}{x^2-1} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{1}{2-x} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{x^2-2}{x^3-6x+1} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{7x}{x^2+3} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{1}{x \cdot ln\,x} \cdot dx</math>
 +
 +|url1=https://youtu.be/duuygXo-gIs?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Ejemplos 4
 +|duracion=7'18"
 +|sinopsis=
 +#<math>\int sen(4x+3) \cdot dx</math>
 +#<math>\int cos\left(\cfrac{2x}{5}\right) \cdot dx</math>
 +#<math>\int tan\left({x}{6}\right) \cdot dx</math>
 +#<math>\int x^2 \cdot sen(x^3) \cdot dx</math>
 +#<math>\int 3e^x \cdot tan(e^x) \cdot dx</math>
 +|url1=https://youtu.be/YDgbUTE5EYo?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Ejemplos 5
 +|duracion=14'57"
 +|sinopsis=
 +#<math>\int \cfrac{1}{1+(3x)^2} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{1}{1+9x^2} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{1}{1+7x^2} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{1}{4+x^2} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{1}{5+x^2} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{1}{3+2x^2} \cdot dx</math>
 +|url1=https://youtu.be/-ZdFG_DT4lM?list=PLwCiNw1sXMSBA1KORgh0feSngW7ZUWF3b
 +}}
 +}}
 +
 +De esta manera tenemos las siguientes integrales inmediatas:
 +
 +[[Imagen:int_inmediatas.png|500px|center]]
{{p}} {{p}}
{{ejemplo2 {{ejemplo2
Línea 20: Línea 171:
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
|duracion=7'01" |duracion=7'01"
-|sinopsis=Primitivas del tipo <math>\int [u(x)]^m \cdot u'(x) \cdot dx \quad (m \ne -1)</math>:+|sinopsis=
- +
#<math>\int 4x^3(1+x^4)^{20} \cdot dx</math> #<math>\int 4x^3(1+x^4)^{20} \cdot dx</math>
#<math>\int 3(3x+5)^7 \cdot dx</math> #<math>\int 3(3x+5)^7 \cdot dx</math>
Línea 45: Línea 195:
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 3 |titulo1=Ejercicio 3
-|duracion=7'27"+|duracion=10'12"
|sinopsis=*Primitivas del tipo <math>\int x^m \cdot dx</math> <math>(m \ne 1)</math> en las que hay que aplicar el binomio de Newton. |sinopsis=*Primitivas del tipo <math>\int x^m \cdot dx</math> <math>(m \ne 1)</math> en las que hay que aplicar el binomio de Newton.
*Ejercicios: *Ejercicios:
#<math>\int \left( 1+\sqrt{x} \right)^2 \cdot dx</math> #<math>\int \left( 1+\sqrt{x} \right)^2 \cdot dx</math>
#<math>\int \left( 3x^2-x \right)^2 \cdot dx</math> #<math>\int \left( 3x^2-x \right)^2 \cdot dx</math>
 +#<math>\int \left( 2+ \sqrt[3]{x} \right)^3 \cdot dx</math>
 +#<math>\int \left( 2- \sqrt[3]{x} \right)^3 \cdot dx</math>
#<math>\int \left( 2+\sqrt{x} \right)^4 \cdot dx</math> #<math>\int \left( 2+\sqrt{x} \right)^4 \cdot dx</math>
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=cLSr1c5v_yU&list=PLECA0C7A8B59E5534&index=7+|url1=https://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-integral/01-calculo-de-primitivas-2/050103-cinco-ejercicios-con-la-formula-del-binomio-de-newton-2
}} }}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 4 |titulo1=Ejercicio 4
|duracion=6'27" |duracion=6'27"
-|sinopsis=Primitivas del tipo <math>\int [u(x)]^m \cdot u'(x) \cdot dx \quad (m \ne -1)</math>:+|sinopsis=
- +
#<math>\int e^x(1+e^x)^3 \cdot dx</math> #<math>\int e^x(1+e^x)^3 \cdot dx</math>
#<math>\int 6x^5(1+x^6)^{10} \cdot dx</math> #<math>\int 6x^5(1+x^6)^{10} \cdot dx</math>
Línea 70: Línea 221:
|titulo1=Ejercicio 5 |titulo1=Ejercicio 5
|duracion=13'31" |duracion=13'31"
-|sinopsis=Primitivas del tipo <math>\int [u(x)]^m \cdot u'(x) \cdot dx \quad (m \ne -1)</math>, pero que no son del todo inmediatas:+|sinopsis=
- +
#<math>\int x(7+x^2)^5 \cdot dx</math> #<math>\int x(7+x^2)^5 \cdot dx</math>
#<math>\int e^{3x}(2+e^{3x})^4 \cdot dx</math> #<math>\int e^{3x}(2+e^{3x})^4 \cdot dx</math>
#<math>\int x^2\sqrt{1+x^3} \cdot dx</math> #<math>\int x^2\sqrt{1+x^3} \cdot dx</math>
 +#<math>\int x^2\sqrt{1+x^4} \cdot dx</math>
#<math>\int \cfrac{x^2}{\sqrt{1-x^3}} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{x^2}{\sqrt{1-x^3}} \cdot dx</math>
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=sXRYwteboXE&list=PLECA0C7A8B59E5534&index=9 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=sXRYwteboXE&list=PLECA0C7A8B59E5534&index=9
Línea 80: Línea 231:
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 6 |titulo1=Ejercicio 6
-|duracion=13'31"+|duracion=6'31"
-|sinopsis=Primitivas del tipo <math>\int [u(x)]^m \cdot u'(x) \cdot dx \quad (m \ne -1)</math>, pero que no son del todo inmediatas:+|sinopsis=
- +
#<math>\int \cfrac{1}{x\sqrt[4]{1-ln \, x}} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{1}{x\sqrt[4]{1-ln \, x}} \cdot dx</math>
#<math>\int \cfrac{sen \, 3x}{\sqrt[5]{1-cos \, 3x}} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{sen \, 3x}{\sqrt[5]{1-cos \, 3x}} \cdot dx</math>
Línea 95: Línea 245:
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 7 |titulo1=Ejercicio 7
-|duracion=5'47"+|duracion=10'59"
-|sinopsis=Primitivas del tipo <math>\int [u(x)]^m \cdot u'(x) \cdot dx \quad (m \ne -1)</math>, pero que no son del todo inmediatas:+|sinopsis=
- +
#<math>\int 4^x \sqrt{1+4^x} \cdot dx</math> #<math>\int 4^x \sqrt{1+4^x} \cdot dx</math>
#<math>\int \cfrac{\sqrt{1+tg \, 2x}}{cos^2 \, 2x} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{\sqrt{1+tg \, 2x}}{cos^2 \, 2x} \cdot dx</math>
#<math>\int \sqrt{1+sen \, 4x} \cdot (cos \, 4x) \cdot dx</math> #<math>\int \sqrt{1+sen \, 4x} \cdot (cos \, 4x) \cdot dx</math>
#<math>\int \cfrac{\sqrt[4]{1+cotg \, 3x}}{sen^2 \, 3x} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{\sqrt[4]{1+cotg \, 3x}}{sen^2 \, 3x} \cdot dx</math>
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=1YaHZajpJRw&list=PLECA0C7A8B59E5534&index=12+#Determine la función "f" tal que: f(0)=0, f'(0)=5, f''(0)=1 y f'''(x)=x+1
 +#Determine la primitiva de <math>f(x)=sen \, x \cdot cos \,x </math> que pasa por el origen.
 + 
 +|url1=https://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-integral/01-calculo-de-primitivas-2/050107-seis-ejercicios-2
}} }}
}} }}
Línea 113: Línea 265:
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
-|duracion=4'26"+|duracion=8'16"
-|sinopsis=Primitivas del tipo <math>\int \cfrac{u'(x)}{u(x)} \cdot dx</math>:+|sinopsis=
 +#<math>\int \cfrac{3x^2}{5+x^3} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{e^x}{7+e^x} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{1}{1-2x} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{1}{x+a} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \left( \cfrac{2}{x+3} + \cfrac{5}{x-7} \right) \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{4x^3-5x^2+8}{x} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{1}{ax+b} \cdot dx</math>
 +#<math>\int \cfrac{1}{1+x^2} \cdot dx</math>
 +#<math>\int tg \, 5x \cdot dx</math>
 +#<math>\int cotg \, 4x \cdot dx</math>
 +|url1=https://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-integral/01-calculo-de-primitivas-2/050201-diez-ejercicios-2
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=4'26"
 +|sinopsis=
#<math>\int \cfrac{3}{(5+tg \,3x)\cdot cos^2 \,3x} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{3}{(5+tg \,3x)\cdot cos^2 \,3x} \cdot dx</math>
#<math>\int \cfrac{cos \, 3x}{1-sen \, 3x} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{cos \, 3x}{1-sen \, 3x} \cdot dx</math>
Línea 124: Línea 292:
}} }}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio 2+|titulo1=Ejercicio 3
|duracion=2'36" |duracion=2'36"
-|sinopsis=Primitivas del tipo <math>\int \cfrac{u'(x)}{u(x)} \cdot dx</math>:+|sinopsis=
- +
#<math>\int \cfrac{1}{\sqrt{x} \cdot (1+\sqrt{x})} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{1}{\sqrt{x} \cdot (1+\sqrt{x})} \cdot dx</math>
#<math>\int \cfrac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot (1+\sqrt[3]{x^2})} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot (1+\sqrt[3]{x^2})} \cdot dx</math>
Línea 143: Línea 310:
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
|duracion=10'25" |duracion=10'25"
-|sinopsis=Primitivas del tipo <math>\int u'(x)^\cdot a^{u(x)} \cdot dx \quad a>0</math>:+|sinopsis=
- +
#<math>\int 5x^4 \cdot 7^{x^5} \cdot dx</math> #<math>\int 5x^4 \cdot 7^{x^5} \cdot dx</math>
#<math>\int 4x^3 e^{x^4} \cdot dx</math> #<math>\int 4x^3 e^{x^4} \cdot dx</math>
Línea 160: Línea 326:
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=cXr-eCstlug&list=PLECA0C7A8B59E5534&index=15 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=cXr-eCstlug&list=PLECA0C7A8B59E5534&index=15
}} }}
 +
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 168: Línea 335:
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
|duracion=6'33" |duracion=6'33"
-|sinopsis=Primitivas del tipo <math>\int u'(x) \cdot sen \, u(x) \cdot dx \quad a>0</math>:+|sinopsis=
- +
#<math>\int \cfrac{sen \, (ln \, x)}{x} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{sen \, (ln \, x)}{x} \cdot dx</math>
#<math>\int \cfrac{x \cdot sen \, \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{x \cdot sen \, \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \cdot dx</math>
Línea 191: Línea 357:
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
|duracion=7'28" |duracion=7'28"
-|sinopsis=Primitivas del tipo <math>\int u'(x) \cdot cos \, u(x) \cdot dx \quad a>0</math>:+|sinopsis=
- +
#<math>\int 3x^2 \cdot cos \, x^3 \cdot dx</math> #<math>\int 3x^2 \cdot cos \, x^3 \cdot dx</math>
#<math>\int \cfrac{3x^2 \cdot cos \, \sqrt{1+x^3}}{2 \, \sqrt{1+x^3}} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{3x^2 \cdot cos \, \sqrt{1+x^3}}{2 \, \sqrt{1+x^3}} \cdot dx</math>
Línea 215: Línea 380:
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
|duracion=6'39" |duracion=6'39"
-|sinopsis=Primitivas del tipo <math>\int \cfrac{u'(x)}{cos^2 \, u(x)} \cdot dx</math>:+|sinopsis=
- +
#<math>\int \cfrac{3x^2}{cos^2 \, x^3} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{3x^2}{cos^2 \, x^3} \cdot dx</math>
#<math>\int \cfrac{3x^2}{2 \, \sqrt{1+x^3} \cdot cos^2 \, \sqrt{1+x^3}} \cdot dx</math> #<math>\int \cfrac{3x^2}{2 \, \sqrt{1+x^3} \cdot cos^2 \, \sqrt{1+x^3}} \cdot dx</math>
Línea 232: Línea 396:
|titulo=Ejercicios resueltos: ''Primitivas inmediatas'' |titulo=Ejercicios resueltos: ''Primitivas inmediatas''
|enunciado=Primitivas del tipo <math>\int \cfrac{u'(x)}{sen^2 \, u(x)} \cdot dx</math> |enunciado=Primitivas del tipo <math>\int \cfrac{u'(x)}{sen^2 \, u(x)} \cdot dx</math>
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios|enunciado=+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2+|titulo1=Ejercicio 1
-|titulo1=1. Ejemplo+|duracion=5'24"
-|duracion=3'01"+
|sinopsis= |sinopsis=
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cintegral/01/in01_05g1_media/in01_05g1.wmv+#<math>\int \cfrac{1}{2 \, \sqrt{x} \cdot sen^2 \, \sqrt{x}} \cdot dx</math>
-}}+#<math>\int \cfrac{x^4}{sen^2 \, x^5} \cdot dx</math>
-{{Video_enlace2+#<math>\int \cfrac{3^x}{sen^2 \, 3^x} \cdot dx</math>
-|titulo1=2. Ejemplo+#<math>\int \cfrac{sen \, x}{sen^2 \, (cos \, x)} \cdot dx</math>
-|duracion=4'12"+#<math>\int \cfrac{1}{x \cdot sen^2 \, (ln \, x^3)} \cdot dx</math>
-|sinopsis=+#<math>\int \cfrac{1}{\sqrt{1+x} \cdot sen^2 \, \sqrt{1+x}} \cdot dx</math>
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cintegral/01/in01_05g2_media/in01_05g2.wmv+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=05mXNQAehUI&index=20&list=PLECA0C7A8B59E5534
-}}+
}} }}
}} }}
Línea 251: Línea 413:
|titulo=Ejercicios resueltos: ''Primitivas inmediatas'' |titulo=Ejercicios resueltos: ''Primitivas inmediatas''
|enunciado=Primitivas del tipo <math>\int \cfrac{u'(x)}{a^2+[u(x)]^2} \cdot dx</math> |enunciado=Primitivas del tipo <math>\int \cfrac{u'(x)}{a^2+[u(x)]^2} \cdot dx</math>
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios|enunciado=+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2+|titulo1=Ejercicio 1
-|titulo1=1. Ejemplo+|duracion=12'49"
-|duracion=3'42"+
|sinopsis= |sinopsis=
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cintegral/01/in01_05h1_media/in01_05h1.wmv+#<math>\int \cfrac{4x^3}{9+x^8} \cdot dx</math>
-}}+#<math>\int \cfrac{3e^{3x}}{25+e^{6x}} \cdot dx</math>
-{{Video_enlace2+#<math>\int \cfrac{x^2}{21+x^6} \cdot dx</math>
-|titulo1=2. Ejemplo+#<math>\int \cfrac{cos \, 7x}{5+sen^2 \, 7x} \cdot dx</math>
-|duracion=3'10"+#<math>\int \cfrac{2 \, sen \, x \cdot cos \, x}{9+sen^4 \, x} \cdot dx</math>
-|sinopsis=+#<math>\int \cfrac{1}{\sqrt{x} \cdot (5+x)} \cdot dx</math>
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cintegral/01/in01_05h2_media/in01_05h2.wmv+#<math>\int \cfrac{1}{9+5x^2} \cdot dx</math>
-}}+#<math>\int \cfrac{1}{5+2x+x^2} \cdot dx</math>
-{{Video_enlace2+#<math>\int \cfrac{4x^{\frac{1}{3}}}{3(13 + x^{\frac{8}{3}})} \cdot dx</math>
-|titulo1=3. Ejemplo+#<math>\int \cfrac{1}{x \cdot (17+(ln \, x)^2)} \cdot dx</math>
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-|sinopsis=+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=S-jHBiuP3HU&index=21&list=PLECA0C7A8B59E5534
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Tabla de contenidos

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Integrales inmediatas básicas

Empezaremos viendo aquellas funciones cuyas primitivas son las funciones elementales. Basta con recordar las reglas de derivación que vimos en un tema anterior y que puedes ver en el siguiente enlace: Ver reglas de derivación.

video
Integrales básicas
Tutorial 1a (7'25")     Sinopsis:

Reglas básicas de integración:

  • Integral de un número.
  • Integral de una potencia.
Tutorial 1b (8'50")     Sinopsis:

Reglas básicas de integración:

  • Integral de una potencia (ampliación).
  • Integral del logaritmo neperiano.
Tutorial 1c (6'48")     Sinopsis:

Reglas básicas de integración:

  • Integral de funciones exponenciales.
Tutorial 1d (5'27")     Sinopsis:

Reglas básicas de integración:

  • Integral de funciones trigonométricas.
Tutorial 1e (7'24")     Sinopsis:

Reglas básicas de integración:

  • Integral de funciones trigonométricas (ampliación).

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Integrales inmediatas

En este apartado estudiaremos las integrales de funciones cuyas primitivas son funciones compuestas. Más concretamente:

ejercicio

Proposición

\int g'[f(x)] \cdot f'(x) \, dx = g[f(x)] + k
Demostración:

Demostración:

Es inmediato si a partir de la derivada de la función compuesta

(g[f(x)])'= g[f(x)] \cdot f'(x)
integramos ambos miembros.

video
Integrales inmediatas
Tutorial 1a (7'57")     Sinopsis:

Integrales inmediatas.

Tutorial 1b (9'31")     Sinopsis:

Integrales inmediatas (continuación).

Tutorial 1c (9'49")     Sinopsis:

Integrales inmediatas (continuación).

Tutorial 2 (5'31")     Sinopsis:

Integrales inmediatas

Ejemplos 1 (10'22")     Sinopsis:
  1. \int x^2-5x+9 \cdot dx
  2. \int \cfrac{1}{x^3}+\cfrac{7}{x^2} \cdot dx
  3. \int \sqrt[4]{x} \cdot dx
  4. \int 2(2x-8)^6 \cdot dx
  5. \int x(x^2-8)^3 \cdot dx
  6. \int \cfrac{x^2}{(x^3+5)^4} \cdot dx
  7. \int \cfrac{3}{\sqrt{5x}} \cdot dx
Ejemplos 2 (10'14")     Sinopsis:
  1. \int e^{-6x} \cdot dx
  2. \int e^{\cfrac{3x}{2}} \cdot dx
  3. \int 3x \cdot e^{x^2} \cdot dx
  4. \int 4^x \cdot ln\,4 \cdot dx
  5. \int 4^x \cdot dx
  6. \int 5^{7x} \cdot dx
Ejemplos 3 (8'36")     Sinopsis:
  1. \int \cfrac{2x}{x^2+3} \cdot dx
  2. \int \cfrac{x}{x^2-1} \cdot dx
  3. \int \cfrac{1}{2-x} \cdot dx
  4. \int \cfrac{x^2-2}{x^3-6x+1} \cdot dx
  5. \int \cfrac{7x}{x^2+3} \cdot dx
  6. \int \cfrac{1}{x \cdot ln\,x} \cdot dx
Ejemplos 4 (7'18")     Sinopsis:
  1. \int sen(4x+3) \cdot dx
  2. \int cos\left(\cfrac{2x}{5}\right) \cdot dx
  3. \int tan\left({x}{6}\right) \cdot dx
  4. \int x^2 \cdot sen(x^3) \cdot dx
  5. \int 3e^x \cdot tan(e^x) \cdot dx
Ejemplos 5 (14'57")     Sinopsis:
  1. \int \cfrac{1}{1+(3x)^2} \cdot dx
  2. \int \cfrac{1}{1+9x^2} \cdot dx
  3. \int \cfrac{1}{1+7x^2} \cdot dx
  4. \int \cfrac{1}{4+x^2} \cdot dx
  5. \int \cfrac{1}{5+x^2} \cdot dx
  6. \int \cfrac{1}{3+2x^2} \cdot dx

De esta manera tenemos las siguientes integrales inmediatas:

ejercicio

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo \int [u(x)]^m \cdot u'(x) \cdot dx \quad (m \ne -1)

video
Ejercicios
Ejercicio 1 (7'01")     Sinopsis:
  1. \int 4x^3(1+x^4)^{20} \cdot dx
  2. \int 3(3x+5)^7 \cdot dx
Ejercicio 2 (10'22")     Sinopsis:
  • Primitivas del tipo \int x^m \cdot dx (m \ne 1). Ejemplos
  • Ejercicios:
  1. \int \left( x^2 +x^4+x^7+x^{19} \right) \cdot dx
  2. \int \left( \cfrac{1}{x^3} + \cfrac{1}{x^5} + \cfrac{1}{x^6}\right) \cdot dx
  3. \int \left( \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} + \sqrt[8]{x}\right) \cdot dx
  4. \int \left( \cfrac{1}{\sqrt[5]{x}} + \cfrac{1}{\sqrt[7]{x}} + \cfrac{1}{\sqrt[9]{x}}\right) \cdot dx
  5. \int \left( 5x^4 -3x^6+9x^8 \right) \cdot dx
  6. \int \left( 5 -3\sqrt{x}+9\sqrt[5]{x} \right) \cdot dx
  7. \int \sqrt{x}(1-x) \cdot dx
  8. \int x(5x^2+2x) \cdot dx
  9. \int x^2(5x+\cfrac{7}{x^2}) \cdot dx
Ejercicio 3 (10'12")     Sinopsis:
  • Primitivas del tipo \int x^m \cdot dx (m \ne 1) en las que hay que aplicar el binomio de Newton.
  • Ejercicios:
  1. \int \left( 1+\sqrt{x} \right)^2 \cdot dx
  2. \int \left( 3x^2-x \right)^2 \cdot dx
  3. \int \left( 2+ \sqrt[3]{x} \right)^3 \cdot dx
  4. \int \left( 2- \sqrt[3]{x} \right)^3 \cdot dx
  5. \int \left( 2+\sqrt{x} \right)^4 \cdot dx
Ejercicio 4 (6'27")     Sinopsis:
  1. \int e^x(1+e^x)^3 \cdot dx
  2. \int 6x^5(1+x^6)^{10} \cdot dx
  3. \int (1+3x^2)(x+x^3)^{13} \cdot dx
  4. \int 3\sqrt{1+3x} \cdot dx
  5. \int \cfrac{5}{\sqrt{1+5x}} \cdot dx
  6. \int (1+sen \, x)^6 \cdot cos \, x \cdot dx
Ejercicio 5 (13'31")     Sinopsis:
  1. \int x(7+x^2)^5 \cdot dx
  2. \int e^{3x}(2+e^{3x})^4 \cdot dx
  3. \int x^2\sqrt{1+x^3} \cdot dx
  4. \int x^2\sqrt{1+x^4} \cdot dx
  5. \int \cfrac{x^2}{\sqrt{1-x^3}} \cdot dx
Ejercicio 6 (6'31")     Sinopsis:
  1. \int \cfrac{1}{x\sqrt[4]{1-ln \, x}} \cdot dx
  2. \int \cfrac{sen \, 3x}{\sqrt[5]{1-cos \, 3x}} \cdot dx
  3. \int \cfrac{1}{x}(1+ln \, x)^3 \cdot dx
  4. \int \cfrac{7}{\sqrt[3]{1+7x}} \cdot dx
  5. \int 2\sqrt[3]{1+2x} \cdot dx
  6. \int \cfrac{sen \, x}{1-cos \, x} \cdot dx
  7. \int \cfrac{cos \, x}{\sqrt[3]{1+sen \, x}} \cdot dx
  8. \int \cfrac{1}{x\sqrt[4]{1+ln \, x}} \cdot dx
Ejercicio 7 (10'59")     Sinopsis:
  1. \int 4^x \sqrt{1+4^x} \cdot dx
  2. \int \cfrac{\sqrt{1+tg \, 2x}}{cos^2 \, 2x} \cdot dx
  3. \int \sqrt{1+sen \, 4x} \cdot (cos \, 4x) \cdot dx
  4. \int \cfrac{\sqrt[4]{1+cotg \, 3x}}{sen^2 \, 3x} \cdot dx
  5. Determine la función "f" tal que: f(0)=0, f'(0)=5, f(0)=1 y f'(x)=x+1
  6. Determine la primitiva de f(x)=sen \, x \cdot cos \,x que pasa por el origen.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo \int \cfrac{u'(x)}{u(x)} \cdot dx

video
Ejercicios
Ejercicio 1 (8'16")     Sinopsis:
  1. \int \cfrac{3x^2}{5+x^3} \cdot dx
  2. \int \cfrac{e^x}{7+e^x} \cdot dx
  3. \int \cfrac{1}{1-2x} \cdot dx
  4. \int \cfrac{1}{x+a} \cdot dx
  5. \int \left( \cfrac{2}{x+3} + \cfrac{5}{x-7} \right) \cdot dx
  6. \int \cfrac{4x^3-5x^2+8}{x} \cdot dx
  7. \int \cfrac{1}{ax+b} \cdot dx
  8. \int \cfrac{1}{1+x^2} \cdot dx
  9. \int tg \, 5x \cdot dx
  10. \int cotg \, 4x \cdot dx
Ejercicio 2 (4'26")     Sinopsis:
  1. \int \cfrac{3}{(5+tg \,3x)\cdot cos^2 \,3x} \cdot dx
  2. \int \cfrac{cos \, 3x}{1-sen \, 3x} \cdot dx
  3. \int \cfrac{sen \, 7x}{1+cos \, 7x} \cdot dx
  4. \int \cfrac{1}{x ln \, x} \cdot dx
  5. \int \cfrac{e^{6x}}{1-e^{6x}} \cdot dx
Ejercicio 3 (2'36")     Sinopsis:
  1. \int \cfrac{1}{\sqrt{x} \cdot (1+\sqrt{x})} \cdot dx
  2. \int \cfrac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot (1+\sqrt[3]{x^2})} \cdot dx

ejercicio

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo \int u'(x)^\cdot a^{u(x)} \cdot dx \quad a>0

Ejercicio 1 (10'25")     Sinopsis:
  1. \int 5x^4 \cdot 7^{x^5} \cdot dx
  2. \int 4x^3 e^{x^4} \cdot dx
  3. \int e^{sen \, x} \cdot cos \, x \cdot dx
  4. \int e^{kx} \cdot dx
  5. \int e^{5x} \cdot dx
  6. \int e^{2x} \cdot dx
  7. \int e^{\frac{x}{6}} \cdot dx
  8. \int \cfrac{3^{arctg \, x}}{1+x^2} \cdot dx
  9. \int \cfrac{5^{arcsen \, x}}{\sqrt{1-x^2}} \cdot dx
  10. \int x \cdot e^{x^2} \cdot dx
  11. \int \cfrac{5^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \cdot dx
  12. \int \cfrac{x \cdot 3^{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-x^2}} \cdot dx
  13. \int \cfrac{x \cdot 5^{arcsen \, x^2}}{\sqrt{1-x^4}} \cdot dx

ejercicio

Ejemplos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo \int u'(x) \cdot sen \, u(x) \cdot dx \quad a>0

Ejercicio 1 (6'33")     Sinopsis:
  1. \int \cfrac{sen \, (ln \, x)}{x} \cdot dx
  2. \int \cfrac{x \cdot sen \, \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \cdot dx
  3. \int \cfrac{3 \cdot sen \, (tg \, 3x)}{cos^2 \, 3x} \cdot dx
  4. \int x^2 \cdot sen \, x^3 \cdot dx
  5. \int (cos \, x)\cdot sen \, (sen \, x) \cdot dx
  6. \int \cfrac{sen \, \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot dx
  7. \int e^{2x} \cdot sen \, e^{2x} \cdot dx
  8. \int sen \, kx \cdot dx
  9. \int sen \, 2x \cdot dx
  10. \int sen \, 5x \cdot dx
  11. \int sen \, \cfrac{x}{7} \cdot dx

ejercicio

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo \int u'(x) \cdot cos \, u(x) \cdot dx \quad a>0

Ejercicio 1 (7'28")     Sinopsis:
  1. \int 3x^2 \cdot cos \, x^3 \cdot dx
  2. \int \cfrac{3x^2 \cdot cos \, \sqrt{1+x^3}}{2 \, \sqrt{1+x^3}} \cdot dx
  3. \int \cfrac{5 \, cos \, (tg \, 5x)}{cos^2 \, 5x} \cdot dx
  4. \int x^3 \cdot cos \, x^4 \cdot dx
  5. \int e^{3x} \cdot cos \, e^{3x} \cdot dx
  6. \int (cos \, x)\cdot cos \, (sen \, x) \cdot dx
  7. \int \cfrac{cos \, (ln \, x^5)}{x} \cdot dx
  8. \int \cfrac{cos \, \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot dx
  9. \int cos \, kx \cdot dx
  10. \int cos \, 2x \cdot dx
  11. \int cos \, 5x \cdot dx
  12. \int cos \, \cfrac{x}{7} \cdot dx

ejercicio

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo \int \cfrac{u'(x)}{cos^2 \, u(x)} \cdot dx

Ejercicio 1 (6'39")     Sinopsis:
  1. \int \cfrac{3x^2}{cos^2 \, x^3} \cdot dx
  2. \int \cfrac{3x^2}{2 \, \sqrt{1+x^3} \cdot cos^2 \, \sqrt{1+x^3}} \cdot dx
  3. \int \cfrac{1}{2 \, \sqrt{x} \cdot cos^2 \, \sqrt{x}} \cdot dx
  4. \int \cfrac{x^3}{cos^2 \, x^4} \cdot dx
  5. \int \cfrac{1}{x \cdot cos^2 \, (ln \, x^7)} \cdot dx
  6. \int \cfrac{5^x}{cos^2 \, 5^x} \cdot dx
  7. \int \cfrac{sen \, x}{cos^2 \, (cos \, x)} \cdot dx
  8. \int \cfrac{1}{\sqrt{1-x} \cdot cos^2 \, \sqrt{1-x}} \cdot dx

ejercicio

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo \int \cfrac{u'(x)}{sen^2 \, u(x)} \cdot dx

Ejercicio 1 (5'24")     Sinopsis:
  1. \int \cfrac{1}{2 \, \sqrt{x} \cdot sen^2 \, \sqrt{x}} \cdot dx
  2. \int \cfrac{x^4}{sen^2 \, x^5} \cdot dx
  3. \int \cfrac{3^x}{sen^2 \, 3^x} \cdot dx
  4. \int \cfrac{sen \, x}{sen^2 \, (cos \, x)} \cdot dx
  5. \int \cfrac{1}{x \cdot sen^2 \, (ln \, x^3)} \cdot dx
  6. \int \cfrac{1}{\sqrt{1+x} \cdot sen^2 \, \sqrt{1+x}} \cdot dx

ejercicio

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo \int \cfrac{u'(x)}{a^2+[u(x)]^2} \cdot dx

Ejercicio 1 (12'49")     Sinopsis:
  1. \int \cfrac{4x^3}{9+x^8} \cdot dx
  2. \int \cfrac{3e^{3x}}{25+e^{6x}} \cdot dx
  3. \int \cfrac{x^2}{21+x^6} \cdot dx
  4. \int \cfrac{cos \, 7x}{5+sen^2 \, 7x} \cdot dx
  5. \int \cfrac{2 \, sen \, x \cdot cos \, x}{9+sen^4 \, x} \cdot dx
  6. \int \cfrac{1}{\sqrt{x} \cdot (5+x)} \cdot dx
  7. \int \cfrac{1}{9+5x^2} \cdot dx
  8. \int \cfrac{1}{5+2x+x^2} \cdot dx
  9. \int \cfrac{4x^{\frac{1}{3}}}{3(13 + x^{\frac{8}{3}})} \cdot dx
  10. \int \cfrac{1}{x \cdot (17+(ln \, x)^2)} \cdot dx

ejercicio

Ejercicios resueltos: Primitivas inmediatas

Primitivas del tipo \int \cfrac{u'(x)}{\sqrt{a^2-[u(x)]^2}} \cdot dx

Ejercicio 1 (10'49")     Sinopsis:
  1. \int \cfrac{4x^3}{\sqrt{9-x^8}} \cdot dx
  2. \int \cfrac{x^2}{\sqrt{21-x^6}} \cdot dx
  3. \int \cfrac{3e^{3x}}{\sqrt{25-e^{6x}}} \cdot dx
  4. \int \cfrac{cos \, 7x}{\sqrt{5-sen^2 \, 7x}} \cdot dx
  5. \int \cfrac{1}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{5-x}} \cdot dx
  6. \int \cfrac{2 \, sen \, x \cdot cos \, x}{\sqrt{9-sen^4 \, x}} \cdot dx
  7. \int \cfrac{4x^{\frac{1}{3}}}{3 \sqrt{15 - x^{\frac{8}{3}}})} \cdot dx
  8. \int \cfrac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}} \cdot dx
  9. \int \cfrac{1}{x \cdot \sqrt{17-(ln \, x)^2}} \cdot dx
  10. \int \cfrac{1}{\sqrt{9-5x^2}} \cdot dx
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